1、極坐標與參數方程一、考綱要求1 .理解參數方程的概念，了解某些常用參數方程中參數的幾何意義或物理意義，掌握參數方程與普通方程的互化方法.會根據所給出的參數，依據條件建立參數方程.2 .理解極坐標的概念.會正確進行點的極坐標與直角坐標的互化.會正確將極坐標方程化為直角坐標方程，會根據所給條件建立直線、圓錐曲線的極坐標方程二、知識結構1 .參數方程的概念在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數f(t),g(t),并且對于t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M（x,y）都在這條曲線上,可編輯那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x,y的變數t叫做參變數，簡稱參

2、數。相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。常見的曲線的參數方程2 .直線的參數方程x x tcosay y tsina標準式過點Po（x0,yo）,傾斜角為”的直線l的參數方程是（t為參數，其幾何意義是PM的數量）AAAA上上上.（2）一般式b過te點Po（xo,y。）斜率k=tg后的直線的參數方程是ay v。at(t為參數,btJ)tan3 .圓錐曲線的參數方程圓 圓心在（a,b）,半徑為r的圓的參數方程是r cosb r sin（）是參數）2 x(2)橢圓橢圓a2。1（a b。）的參數方程是b2a cosbsin7Vxbcos橢圓、臺1（ab。）的參數方程是（f）為

3、參數）abyasin（3）拋物線拋物線y22px的參數方程為x2Ptt為參數y2pt4 .極坐標極坐標系在平面內取一個定點。，從O引一條射線Ox,選定一個單位長度以及計算角度的正方向（通常取逆時針方向為正方向）,這樣就建立了一個極坐標系，O點叫做極點，射線Ox叫做極軸.極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向，構成了極坐標系的四要素，缺一不可.點的極坐標設M點是平面內任意一點，用p表示線段OM的長度，。表示射線Ox到OM的角度，那么p叫做M點的極徑，0叫做M點的極角，有序數對(p,。叫做M點的極坐標.注意：點P(,)與點R(,)關于極點中心對稱；點P(,)與點P2(,)是同一個點；如果規定0

4、,02，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標(,)表示(即一一對應的關系)；同時，極坐標(，)表示的點也是唯一確定的。極之標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的.即一個點的極坐標是不惟一的.P(,)(極點除外)的全部坐標為(,+2k)或(，+(2k1),(kZ).極點的極徑為0,而極角任意取.圓的極坐標方程以極點為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是a;以(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是2acos;以(a,萬)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是2asin；直線的極坐標方程過極點的直線的極坐標方程是(0)和(0).

5、過點A(a,0)(a0),且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是cosa.化為直角坐標方程為xa.過點A(a,)且平行于極軸的直線l的極坐標方程是sina.化為直角坐標方程為2ya.極坐標和直角坐標的互化(1)互化的前提條件極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；極軸與x軸的正半軸重合兩種坐標系中取相同的長度單位.(2)互化公式222xcosysin0的象限由點(x,y)所在的象限確定xyy,tgy（x0）x三、課前預習1.直線y2x1的參數方程是()A、 xt（t為參數）y2t21B、 x2t1（t為參數）y4t1C、xt1(t為參數)D、2t1xsiny2sin（t為參數）答案：C2,已知M

6、5,-,下列所給出的不能表示點的坐標的是3A、5,B、45yC、5,D、答案：A3.在極坐標系中，圓p=-2sin0的圓心的極坐標系是B、（1,5）C、(1,0)D、(1解：將極坐標方程化為普通方程得：x22y0,圓心的坐標為（0,1）,其極坐標為(1,T),選B4.點P1,E,則它的極坐標是（A、2,3B、2,43C、2,一3D、答案：C5,直角坐標系xoy中,以原點為極點,X軸的正半軸為極軸建極坐標系，設點A,B分別在x曲線Ci:3cosA、1答案：Asin（為參數）和曲線C2:1上，則AB的最小值為B、2C、3D、46.參數方程為1t（t為參數）表示的曲線是（A、一條直線答案：D7.若直

7、線xy2t3tB、兩條直線c、一條射線D、兩條射線t為參數與直線4xky1垂直，則常數k（）A、-6B、C、6D、答案：A8.極坐標方程4cos化為直角坐標方程是（）A、(x2)2B、C、x2(y2)2D、(x1)2(y1)2答案：A4sin( x-）與曲線4A、 相交過圓心答案：DB、相交C、相切D、相離芻2的位置關系是（二t210.曲線的參數方程為3t2t22（t是參數），則曲線是（1A、線段答案：DB、雙曲線的一支C、圓D、射線11.在極坐標系中，圓2上的點到直線cos3sin6的距離的最小值答案：1x = 22 + 3tx（t為參數）的距離x=1+cosy = 1 3t12.圓C：（。

8、為參數）的圓心到直線l：y=sin0答案：213.已知兩曲線參數方程分別為75cos(0w的交點坐標為答案：（1,sinx)和5t2(tR),它們t14.以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，已知曲線C1、C2的極坐標方程分別為0,曲線C3的參數方程為32cos（為參數，且2sin),則曲線Ci、C2、C3所圍成的封閉圖形的面積是入2答案：23四、典例分析考向一極坐標系，曲線的極坐標方程，極坐標和直角坐標的互化相關知識點：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同x互化公式：ycos,或sin例1(1)點tanM的極坐標分別是(2,一),(4,2換算成直角坐標依次是（2）點M的

9、直角坐標分別是（2,0）,（0,2）,2,2),(73,1)如果0,0換算成極坐標依次是【例2在極坐標系中，過圓為.分析：由4cos得24過圓心的直線的直角坐標方程為4cos的圓心,一一.2cos.所以x【變式1】在極坐標系中，圓心在A、2.2cosB、,且垂直于極軸的直線的極坐標方程22y4x,(x2)x2.直線的極坐標方程為cos2y4圓心坐標2。(2,0)(2,2.2cos）且過極點的圓的方程為（C、22sinD、2.2sin分析：圓心在（4（x揚2y22。【變式2】已知曲線）即指的是直角坐標系中的（J2。）圓的直角坐標方程:圓的極坐標方程為Ci,C2的極坐標方程分別為22coscos3

10、,4cos(0,0-）,則曲線Ci與C2交點的極坐標為2解:曲線Ci,C2的直角坐標方程分別為x3,（x2)2y24,且y0,兩曲線交點的直角坐標為（3,0).即y=x2(x0)；.應選B.2xsin3.在方程（。為參數）所表示的曲線一個點的坐標是（）ycos2A、(2,-7)1B、（一3C、(：,1)22D、(1,0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2,將x=1代入，得y=J_。，應選C.4.曲線的極坐標方程pA、x2+（y+2）2=422=4sin。化成直角坐標方程為（）B、x2+(y-2)2=4C(x-2)2+y2=4D、(x+2)2+y2=4解：將=xx2y2,sin(=x2

11、y代入p=4sin0,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.，應選B.2y5.已知圓的極坐標方程p=2sin（）,則圓心的極坐標和半徑分別為（）6A、(1,3),r=2B、(i,6)j=iC、(1,-),r=1D、(1,-),r=2答案：C6.在極坐標系中，與圓p=4sin。相切的一條直線的方程是（A、psin9=2B、pcos9=2C、pcos-2)D、pcos(=-4解:點P（p,。）為l上任意一點，則有cosB2,0P得pcos（=2,應選B.7.4sin2-5表示的曲線是（2A、解:4psin22=5B、橢圓cos14p-2C、雙曲線的一支D、拋物線2cos5.把p=Jx2y2

12、pcos(=x,代入上式，得2jx2y2=2x-5.平方整理得-252=-5x+.它表示拋物線.，應選4D.8.極坐標方程4sin29=3表示曲線是（A、兩條射線B、兩條相交直線C、圓D、拋物線解：由4sin29=3，得4x=3,即y2=3x2y=/3x,它表示兩相交直線.，應選B.9.直線：3x-4y-9=0與圓:2cos2sin,（為參數）的位置關系是（）A、相切答案：DB、相離C、直線過圓心D、相交但直線不過圓心10.在極坐標系中，點到圓2cos的圓心的距離為（C、D、解：分別化為直角坐標進行計算,（2,一）化為直角坐標是（1,J3）,圓32cos的直角坐標方程是x2y2x0,圓心的坐標

13、是（1,0）,故距離為J3。答案：D11.經過點M（1,5）且傾斜角為的直線，以定點M到動點3P的位移t為參數的參數方程是A、1t2上2B、C、答案：A1t2-3t212.若直線A、3答案：C13.設a,bA、R,1t232D、bt321t2at（t為參數）與圓x2+y2-4x+1=0相切,則直線的傾斜角為B、八2c、一或一33D、或52b26,則ab的最小值是（C）B、C、一3D、43t14.若直線l的參數方程為y軸上5（t為參數），則過點（4,-1）且與l平行的直線在23t5的截距為答案：-4x15.直線y1 3t(t2 3t為參數）的傾斜角為;直線上一點 P（x , y）與點M（-1距離

14、為答案：135。，|32t|x16.圓 C y對稱白圓C3 4cos ,2 4sin的普通方程是（為參數）的圓心坐標為,和圓C關于直線x答案：(3,2);(x+2)2+(y3)2=1617.在極坐標系中，圓cos與直線cos1的位置關系是答案：相切18.在極坐標系中，直線AB.答案：8-(R)與圓4cos4j3sin交于A、B兩點，則319.在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數方程為x、3cosaysina(I)已知在極坐標(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點。為極點，以x軸正兀半軸為極軸)中，點P的極坐標為(4,),判斷點P與直線l的位置關系；(II)設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.解：(1)把極坐標下的點(4,-)化為直角坐標得：P(0,4)又點P的坐標滿足直線方程，所以點P在直線l上。(2)因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(J3sin,cos),從而點Q到直線l的距離為2cos()4,|.3cossin416八,、八,td尸!1J2