1、1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲祰娙獓姵龅膾佄锞€型水柱到達噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點最高點”后便下落，后便下落，經(jīng)歷了先經(jīng)歷了先“增增”后后“減減”的過程，從中我們發(fā)現(xiàn)單的過程，從中我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種“聯(lián)系聯(lián)系”，讓，讓我們來研究我們來研究函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值. .畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律： 1、從左至右圖象上升還是下降、從左至右圖象上升還是下降 _?2、在區(qū)間在區(qū)間 _上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f(x)的值隨的值隨著著 _ f(x) = x(-,+)增大增

2、大上升上升1、在區(qū)間、在區(qū)間 _ 上，上，f(x)的值隨著的值隨著x的增大而的增大而 _2、 在區(qū)間在區(qū)間 _ 上，上，f(x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _ f(x) = x2(-,0(0,+)增大增大減小減小畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律： 在某一區(qū)間內(nèi)在某一區(qū)間內(nèi)當當x x的增大時，的增大時，函數(shù)值函數(shù)值y y反而反而減小減小圖象在該區(qū)圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降間內(nèi)呈下降趨勢趨勢；在某一區(qū)間內(nèi)在某一區(qū)間內(nèi)當當x x的增大時，的增大時，函數(shù)值函數(shù)值y y也增大也增大圖象在該區(qū)圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升間內(nèi)呈上升趨勢；趨勢；函數(shù)函數(shù)的這的這種性種性質(zhì)稱質(zhì)稱

3、為函為函數(shù)的數(shù)的單調(diào)單調(diào)性性。函數(shù)函數(shù)f(x)=x : :則則f(x1)= , , f(x2)= x12x22函數(shù)函數(shù)f(x)=x在在( (0,+) )上是上是增增函數(shù)函數(shù).22x任意任意, ,都有都有12xx21x任意任意, ,都有都有12( )( )f xf x12xxx0 x1 1x2 2yf (x1)f (x2)在在(0,+)上上任取任取 x1、x2 , 12xx若)f(x)f(x21Oxy) x( fy如何用如何用x與與 f(x)來描述上升的圖象？來描述上升的圖象？)x( f11x)x ( f22x 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個稱

4、函數(shù)稱函數(shù) f(x)在在這個區(qū)間上是這個區(qū)間上是增函數(shù)增函數(shù)。) ), ,f f( (x x) )都都有有f f( (x x時時x x當當x xx x值值x x2 21 12 21 12 21 1, , , ,自變量的,21xx取在定義域某個區(qū)間上任如何用如何用x與與 f(x)來描述下降的圖象？來描述下降的圖象？12xx若)f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個稱函數(shù)稱函數(shù) f(x)在在這個區(qū)間上是這個區(qū)間上是減函數(shù)減函數(shù)。) ), ,f f( (x x) )都都有有f f(

5、(x x時時x x當當x xx x值值x x2 21 12 21 12 21 1, , , ,自變量的,21xx取在定義域某個區(qū)間上任 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì)；注意：注意： 2 、必須是對于區(qū)間必須是對于區(qū)間D內(nèi)的內(nèi)的任意任意兩個自變量兩個自變量x1，x2；當；當x1x2時，時，總有總有f(x1)f(x2) 分別是增函數(shù)和減函數(shù)分別是增函數(shù)和減函數(shù). . 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具

6、有（嚴格的）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單單調(diào)性，調(diào)性，區(qū)間區(qū)間D叫做叫做y=f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 函數(shù)的單調(diào)性定義函數(shù)的單調(diào)性定義注意注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；集；例1、下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,-2), 1,3)上上是減函數(shù)是減函數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間-2,1), 3,5 上是上是增函數(shù)。增函數(shù)。根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及

7、在每一根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)個單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). .解：解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在區(qū)間在區(qū)間-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函數(shù)是減函數(shù)；）上，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間0,20,2）,4,5,4,5上，函數(shù)是增函數(shù)上，函數(shù)是增函數(shù). .注意：注意：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不

8、存在單調(diào)性問題；對于閉而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，時，包括不包括端點包括不包括端點都可以；都可以；在在(-(-, ,0)0)上是上是_函數(shù)函數(shù)在在(0(0, ,+)+)上是上是_函數(shù)函數(shù)減減減減問問: :能否說能否說 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是減減函數(shù)函數(shù)?1yx1yx反比例函數(shù)反比例函數(shù) ：1( )f xx- -2yOx- -11- -112在在(-(-, ,0)0)上是上是_

9、函數(shù)函數(shù)在在(0(0, ,+)+)上是上是_函數(shù)函數(shù)減減減減1yx函數(shù)函數(shù) ：1( )f xxyOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 當當x12x2( )f x1( )f x1x1( )f xxyOx- -11- -11 取自變量取自變量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)因為因為 x1、x2 不具有任意性不具有任意性. 不不能說能說 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是減減函數(shù)函數(shù)1yxyoxoyxyoxyoxyox在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函

10、數(shù)在(-,+)是增函數(shù)在(-,0)和(0,+)是增函數(shù)yox21. aA21. aB21.aC21. aD答案：D設(shè)f(x)=(2a-1)x+1在R上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍證明函數(shù)證明函數(shù) 在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .).()(21xfxf即即122() 0 ,xx12( )() 0 ,f xf x12 ,xx, 021 xx 定定號號例例2.2.利用定義：利用定義：( )23f xx證明：設(shè)證明：設(shè) 是是R上任意兩個值，且上任意兩個值，且 ，21,xx21xx 函數(shù)函數(shù)( )23f xx在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù)取取值值作差作差，變形變形結(jié)論結(jié)論)(221xx 1212()() (

11、 23) ( 23)f xf xxx 則則判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；的正負）；5 下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的單調(diào)性）單調(diào)性） 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單上的單調(diào)性的一般步驟：調(diào)性的一般步驟：yx2ax4在在2，4上是單調(diào)函數(shù)，求上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值的取值范圍范圍.解： y

12、=x-ax=4在2,4上是單調(diào)函數(shù)且 函數(shù)對稱軸為 x = a/2 x = a/2 2 或 x = a/2 4解得 a4 或 a8 y(x3)|x|的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是_已知已知f(x)是定義在是定義在1,1上的增函數(shù)，且上的增函數(shù)，且f(x1)f(13x)，求，求x的取值范圍的取值范圍的大小。試比較有都對任意實數(shù)如果函數(shù)頁全優(yōu))4(),2(),1 ().2()2(,)(5942fffxfxfxcbxxxf).4() 1 ()2()(. 2)(),2()2(fffxfxxfxfxfx故可畫圖觀察，可得，是開口向上的二次函數(shù)又函數(shù)的對稱軸為函數(shù)都有對任意實數(shù)解：觀察下列兩個函數(shù)的圖象：觀察下

13、列兩個函數(shù)的圖象： yxox0圖圖2MB探究點探究點1 1 函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值【解答解答】第一個函數(shù)圖象有最高點第一個函數(shù)圖象有最高點A A, ,第二個函數(shù)圖第二個函數(shù)圖象有最高點象有最高點B B, ,也就是說也就是說, ,這兩個函數(shù)的圖象都有最高這兩個函數(shù)的圖象都有最高點點. .思考思考2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為圖象上最高點的縱坐標為M,M,則則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x,f(x)x,f(x)與與M M的大小關(guān)系如的大小關(guān)系如何何? ?【解答解答】 f(x)M f(x)M思考思考1 1 這兩個函數(shù)圖象有何共同特征？這兩個函

14、數(shù)圖象有何共同特征？最高點的縱坐標即最高點的縱坐標即是函數(shù)的最大值！是函數(shù)的最大值！ 最大值最大值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的最大值的最大值 請同學們仿此給請同學們仿此給出函數(shù)最小值的出函數(shù)最小值的定義定義最小值最小值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，

15、都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的最小值的最小值 2、函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M） 注意：注意：1、函數(shù)最大（小）值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0I，使得f(x0) = M；例4.求函數(shù) 在區(qū)間2，6上的最大值和最小值 12xy解：設(shè)x1,x2是區(qū)間2,6上的任意兩個實數(shù)，且x1x2,則) 1)(1()(2) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)

16、0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函數(shù) 是區(qū)間2,6上的減函數(shù).12xy 因此,函數(shù) 在區(qū)間2,6上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4 .12xy12xy利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大( (小小) )值的方法值的方法 1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大( (小小) )值值 2. 利用圖象求函數(shù)的最大利用圖象求函數(shù)的最大( (小小) )值值 3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大( (小小) )值值 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在在x=a處有處有最小值最小值f(a),在在x=b處有處有最大值最大值f(b) ； 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)遞上單調(diào)遞減減，在區(qū)，在區(qū)間間b，c上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在在x=b處有處有最小值最小值f(b)；