1、一、 線性規(guī)劃1求解下列線性規(guī)劃問題： 共20分 max z=2x1+7x2-3 x3x1+3x2+4x330 （第一種資源限制約束） x1+4x2- x310 （第二種資源限制約束） x1、x2、x30（1） 求出該問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值；（2） 第二種資源限量由10變?yōu)?0，最優(yōu)解是否改變；若改變請求出新的最優(yōu)解；（3） 增加一個新變量x6，其目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為3，技術(shù)消耗系數(shù)為，最優(yōu)解是否改變；若改變請求出新的最優(yōu)解。解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30;x1+4*x2-x3<=10;最優(yōu)解（x1 x2 x3）=（10

2、 0 0）最優(yōu)值=20（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30;x1+4*x2-x3<=20;最優(yōu)解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最優(yōu)值=40或?qū)Φ谝活}進行靈敏度分析(第二種資源限量可以在0到30范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基解不變最優(yōu)解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最優(yōu)值=40)（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4;x1+3*x2+4*x3+x4<=30;x1+4*x2-x3+2*x4<=10;求解得到 最優(yōu)解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0）最優(yōu)值=202某校基金會有一筆數(shù)額為5000萬元的

3、基金，打算將其存入銀行。當(dāng)前銀行存款的利率見下表2。取款政策與銀行的現(xiàn)行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。校基金會計劃在5年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在5年末仍保留原基金數(shù)額。校基金會希望獲得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助校基金會設(shè)計一個基金最佳使用方案，試建立其模型。（15分） 表2銀行存款稅后年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.944 三年期2.160五年期2.3043、某公司打算在三個不同的地區(qū)設(shè)置4個銷售點，根據(jù)市場預(yù)測部門估計，在不同的地區(qū)設(shè)置不同的數(shù)量的銷售點，每月可得到的利潤如表2所示

4、。試問在各個地區(qū)應(yīng)如何設(shè)置銷售點，才能使每月獲得的總利潤最大？其最大利潤是多少？并給出最優(yōu)方案。（15分）表2銷售點利潤地區(qū) 01234101625303220121721223010141617解：變量 為0,1變量 xij³0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4,5) 目標(biāo)函數(shù)：Max 約束條件： Cij=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17程序： model:sets: s/1.3/; d/1.5/; link(s,d):c,x; Endsets max=sum(link:c*x); !min=sum(s(i):sum(d(j)

5、:c(i,j)*x(i,j); ! 同上面相同的目標(biāo)函數(shù) ;for(s(i):sum(d(j):x(i,j)=1); sum(s(i):sum(d(j):(j-1)*x(i,j)=4; data: c=0 16 25 30 320 12 17 21 22 0 10 14 16 17;Enddata 結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 47.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X( 1, 3)

6、1.000000 0.000000 X( 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 2) 1.000000 0.000000答：地區(qū)1設(shè)2個銷售點，地區(qū)2、3個設(shè)1個銷售點，最大利潤為474一個木材儲運公司有很大的倉庫用以儲運出售木材。由于木材季度價格的變化，該公司于每季度初購進木材，一部分于本季度內(nèi)出售，一部分儲存起來以后出售。已知該公司倉庫的最大儲存量為20萬米3，儲存費用為（70+100u）千元/萬米3，u為存儲時間（季度數(shù)）。已知每季度的買進賣出價及預(yù)計的銷售量如表1所示。表1季度買進價（萬元/萬米3）賣出價（萬元/萬米3）預(yù)計銷售量（萬米3）冬410425100春4

7、30440140夏460465200秋450455160由于木材不宜久貯，所有庫存木材應(yīng)于每年秋末售完。為使售后利潤最大，試建立這個問題的線性規(guī)劃模型。（15分）解：xij:第i季度買進，第j季度賣出，（i<=j）目標(biāo)函數(shù)：Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14

8、*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100*1)*0.1約束條件：X11=100X12+x22=140X13+x23+x33=200X14+x24+x34+x44=160X12+x13+x14<=20X13+x14+x23+x24<=20X14+x24+x34<=20模型：Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455

9、-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100*1)*0.1;X11=100;X12+x22=140;X13+x23+x33=200;X14+x24+x34+x44=160;X12+x13+x14<=20;X13+x14+x23+x24<=20;X14+x24+x34<=20;結(jié)果：Global optimal solution found. O

10、bjective value: 5160.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X11 100.0000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X22 140.0000 0.000000 X13 20.00000 0.000000 X23 0.000000 7.000000 X33 180.0000 0.000000 X14 0.000000 20.00000 X24 0.000000 27.00000 X34 0.000000 27.00

11、000 X44 160.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5160.000 1.000000 2 0.000000 15.00000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 5.000000 5 0.000000 5.000000 6 0.000000 3.000000 7 0.000000 20.00000 8 20.00000 0.000000答：最大利潤為：5160，季度冬買進120，本季度賣出100，等到季度夏賣出20季度春買進140，本季度賣出140季度秋買進180本季度賣出140季度秋買進160本季

12、度賣出160二、 對偶分析1、求解下列線性規(guī)劃問題： 共25分 max z=4x1+x2+2x38x1+3x2+x32 （第一種資源限制約束） 6x1+x2+x38 （第二種資源限制約束） x1、x2、x30（1） 求出該問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值；（2） 第一種資源限量由2變?yōu)?，最優(yōu)解是否改變，若改變請求出新的最優(yōu)解；（3） 現(xiàn)有新產(chǎn)品丁，每單位產(chǎn)品需消耗第一種資源2單位，消耗第二種資源3單位，問該產(chǎn)品的售價至少為多少時才值得生產(chǎn)？（4） 由于資源缺乏，現(xiàn)有第三種原來并不受約束資源現(xiàn)在受到限制，限制方程為：，問此時最優(yōu)解是否受到影響，若需要改變，請求出新的最優(yōu)解解：（1）最優(yōu)解x1=x2=0,x

13、3=2,最優(yōu)值為4程序：max =4*x1+x2+2*x3;8*x1+3*x2+x3<=2 ; 6*x1+x2+x3<=8 ; 結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 4.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X3 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 2.000000(2)法一：第一題進行靈敏度分析(

14、第二種資源限量可以在0到8范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基解不變最優(yōu)解（x1 x2 x3）= 0 0 4）最優(yōu)值=8) Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 4.000000 12.00000 INFINITY X2 1.000000 5.000000 INFINITY X3 2.000000 INFINITY 1.500000 Righthand Side Ranges

15、 Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 2.000000 6.000000 2.000000 3 8.000000 INFINITY 6.000000法二：程序：max =4*x1+x2+2*x3;8*x1+3*x2+x3<=4 ; 6*x1+x2+x3<=8 ; 結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 8.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Va

16、lue Reduced Cost X1 0.000000 12.00000 X2 0.000000 5.000000 X3 4.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8.000000 1.000000 2 0.000000 2.000000 3 4.000000 0.000000（3）程序：max=4*x1+x2+2*x3+x4;8*x1+3*x2+x3+2*x4<=2;6*x1+x2+x3+3*x4<=8;靈敏度分析：x4可由一個單位增加3個單位，即當(dāng)x4>4時生產(chǎn)，故售價至少大于4 Ranges in whic

17、h the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 4.000000 12.00000 INFINITY X2 1.000000 5.000000 INFINITY X3 2.000000 INFINITY 1.500000 X4 1.000000 3.000000 INFINITY Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS

18、Increase Decrease 2 2.000000 6.000000 2.000000 3 8.000000 INFINITY 6.000000（4）最優(yōu)基解不變，最優(yōu)解為（x1 x2 x3）= 0 0 2）最優(yōu)值=4) 程序：max=4*x1+x2+2*x3;8*x1+3*x2+x3<=2;6*x1+x2+x3<=8;2*x1+3*x2+4*x3<=10;結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 4.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iteration

19、s: 1 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 12.00000 X2 0.000000 5.000000 X3 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.000000 1.000000 2 0.000000 2.000000 3 6.000000 0.000000 4 2.000000 0.0000002. 某廠的二種產(chǎn)品I、II分別在四種設(shè)備A1 、A2 、A3 、A4上加工。產(chǎn)品所需的機器臺時、設(shè)備在計劃內(nèi)的有效臺時、每件產(chǎn)品利潤如下表所示：A1 A2 A3 A4利潤I2 1 4

20、02 百元II2 2 0 43 百元有效臺時12 8 16 12（1） 請制定一份最佳生產(chǎn)計劃，使其總收入達到最大。試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。（2）求解此問題。 （3）若把機器臺時出租, 問應(yīng)如何定價? （20）解：設(shè)生產(chǎn)1型x1 ，生產(chǎn)2型x2，目標(biāo)函數(shù)：max z=2*x1+3*x2約束條件：2*x1+2*x2<=12 X1+2*x2<=84*x1<=164*x2<=12程序：max =2*x1+3*x2;2*x1+2*x2<=12; x1+2*x2<=8;4*x1<=16; 4*x2<=12;解得：（x1 x2）=（4 2）最優(yōu)值=14（2）

21、三、 運輸問題及整數(shù)規(guī)劃 1某公司要把4個有關(guān)能源工程項目承包給4個互不相關(guān)的外商投標(biāo)者，規(guī)定每個承包商只能且必須承包一個項目，試在總費用最小的條件下確定各個項目的承包者，總費用為多少？各承包商對工程的報價如表3所示：（共10分） 表3 項目投標(biāo)者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317解：程序：model:sets: s/1.4/; d/1.4/; link(s,d):c,x; Endsets min=sum(link:c*x); !min=sum(s(i):sum(d(j):c(i,j)*x(i,j); ! 同上面相同的目標(biāo)函數(shù) ;for(s(i):

22、sum(d(j):x(i,j)=1); for(d(j):sum(s(i):x(i,j)=1); data: c=15 18 21 24 19 23 22 1826 17 16 1919 21 23 17;Enddata 結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 70.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 7 Variable Value Reduced Cost X( 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 1) 1.000000 0.0

23、00000 X( 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 4) 1.000000 0.000000答：甲承包B 乙承包A 丙承包C 丁承包D 總費用：為702已知運輸問題的調(diào)運和運價表如下，求最優(yōu)調(diào)運方案和最小總費用。（共10分）。(用qsb中的network modeling中的交通問題)銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A159215A231718A362817銷量181216結(jié)果如下：程序：model:sets: s/1.3/:a; d/1.3/:b; link(s,d):c,x; Endsets min=sum(link:c*x); !min=sum(s(i):sum(d(j

24、):c(i,j)*x(i,j); ! 同上面相同的目標(biāo)函數(shù) ;for(s(i):sum(d(j):x(i,j)<=a(i); for(d(j):sum(s(i):x(i,j)=b(j); data: a=15 18 17;b=18 12 16; c=5 9 23 1 76 2 8;Enddata end結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 116.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X( 1

25、, 1) 0.000000 7.000000 X( 1, 2) 0.000000 13.00000 X( 1, 3) 15.00000 0.000000 X( 2, 1) 18.00000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 2.000000 X( 3, 2) 12.00000 0.000000 X( 3, 3) 1.000000 0.000000答：A1運15個單位到B3 A2運18個單位到B1 A3運16個單位到B2 A3運1個單位到B3總費用：1243、石油公司有

26、三個石油貯存點，四個石油需求點。其容量和單位運價如表所示：需求點貯存d1d2d3d4貯存總?cè)萘緼15456100A23366200A32578400需求點的需求量200100150250 制定一個貯存點到需求點的運輸計劃，使總的運輸費用最小。試建立此問題的數(shù)學(xué)模型并且求解。（10） 4. 許多非洲國家由于惡劣氣候而使農(nóng)業(yè)蒙受損害，聯(lián)合國組織決定派5位農(nóng)業(yè)專家去幫助5個非洲不發(fā)達國家，以提高他們的糧食供應(yīng)。，每位專家能幫助不同國家提高糧食供應(yīng)達到不同水平，提高的期望值如下表：專家國家 A B C D E 1 12 15 13 14 17 2 11 17 14 16 19 3 14 15 11 1

27、8 18 4 15 13 12 17 16 5 13 15 12 15 14 假定每個國家有同樣的人口，試提出一個專家指派計劃，使糧食供應(yīng)的增長達到極大。試建立此問題的數(shù)學(xué)模型并且求解。（10）5. 某汽車廠與一些單位簽訂了生產(chǎn)70輛汽車的合同，按合同規(guī)定明年每季度末分別提供10，15，25和20臺汽車。該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每輛汽車的成本如表所示：季度交付輛數(shù)生產(chǎn)能力每輛成本(萬元)1025108153511125301102010113 根據(jù)生產(chǎn)能力，該廠能提前完成合同，但因此要付出相應(yīng)的貯存費。現(xiàn)規(guī)定每輛汽車積壓一個季度需付0.15萬元貯存費。試問該廠應(yīng)怎樣安排各季的生產(chǎn)計劃，使總的

28、生產(chǎn)費用最少？試建立此問題的數(shù)學(xué)模型并且求解。 （15）解：xij：第i季度生產(chǎn) 第j季度交的車輛目標(biāo)函數(shù)：min=x11*10.8+x12*(10.8+0.15)+x22*11.1+x13*(10.8+0.3)+x23*(0.15+11.1)+x33*11+x14*(0.45+10.8)+x24*(0.3+11.1)+x34*(0.15+11)+x44*11.3X11=10X12+x22=15X13+x23+x33=25X14+x24+x34+x44=20X11+x12+x13+x14<=25X22+x23+x24<=35X33+x34<=30X44<=10程序：mi

29、n=x11*10.8+x12*(10.8+0.15)+x22*11.1+x13*(10.8+0.3)+x23*(0.15+11.1)+x33*11+x14*(0.45+10.8)+x24*(0.3+11.1)+x34*(0.15+11)+x44*11.3;X11=10;X12+x22=15;X13+x23+x33=25;X14+x24+x34+x44=20;X11+x12+x13+x14<=25;X22+x23+x24<=35;X33+x34<=30;X44<=10;結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 7

30、73.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X11 10.00000 0.000000 X12 15.00000 0.000000 X33 25.00000 0.000000 X24 5.000000 0.000000 X34 5.000000 0.000000 X44 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 -10.95000 3 0.000000 -11.10000 4 0.0

31、00000 -11.25000 5 0.000000 -11.40000 6 0.000000 0.1500000 8 0.000000 0.2500000 9 0.000000 0.1000000答：最小費用為773，第一季度生產(chǎn)25，本季度交10，等到第二季度交15第二季度生產(chǎn)25，等到第4季度交5第三季度生產(chǎn)30，本季度交25，等到第4季度交5第4季度生產(chǎn)10顧客6. 某服務(wù)公司有4名技術(shù)員（A1,A2,A3,A4）為四位顧客（B1,B2,B3,B4）提供服務(wù)，由于技術(shù)員專長不同其服務(wù)時間隨顧客而變化。具體服務(wù)時間由下表給出：服務(wù)時間B1B2B3B4A136710A25638A32841

32、6A48659試為該公司制定一份指派計劃，使其總服務(wù)時間達到最小。試建立此問題的數(shù)學(xué)模型并求解。（10）解：xij:i技術(shù)員服務(wù)j顧客，為0,1變量Cij=367105638284168659目標(biāo)函數(shù)：約束條件： 程序：model:sets: s/1.4/; d/1.4/; link(s,d):c,x; Endsets min=sum(link:c*x); !min=sum(s(i):sum(d(j):c(i,j)*x(i,j); ! 同上面相同的目標(biāo)函數(shù) ;for(s(i):sum(d(j):x(i,j)=1); for(d(j):sum(s(i):x(i,j)>=1); data:

33、c=3 6 710 5 6 38 2 8 4 16 8 6 5 9;Enddata end結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 20.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost X( 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 4) 1.000000 0.000000答：A1服務(wù)B

34、2 A2服務(wù)B23 A3服務(wù)B1 A4服務(wù)B4四、 目標(biāo)規(guī)劃1、設(shè)有一紡織廠可生產(chǎn)衣料和窗簾布共兩種產(chǎn)品。該廠兩班生產(chǎn)，每周的生產(chǎn)時間為80小時，無論生產(chǎn)哪種產(chǎn)品，該廠每小時的產(chǎn)量都是1千米。據(jù)市場預(yù)測，每周窗簾布的銷售量為70千米，而衣料的銷售量為45千米。假定窗簾布和衣料的單位利潤分別為2.5千元/千米和1.5千元/千米，上級主管部門對該廠提出了以下四個順序目標(biāo)：（1）盡可能避免開工不足；（2）盡可能限制每周加班時間不超過10小時；（3）盡可能滿足市場需求；（4）盡可能減少加班時間。問該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能使這些目標(biāo)依序?qū)崿F(xiàn)，試建立其數(shù)學(xué)模型。（15分）解： 約束條件：QSB-Goal p

35、rogramming一級目標(biāo)：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30二級目標(biāo)：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30三級目標(biāo)：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30四級目標(biāo)：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=302、求解如下目標(biāo)規(guī)劃的滿意解： 3某農(nóng)場有3萬畝農(nóng)田，欲種植玉米、大豆和小麥三種農(nóng)作物。各種作物每畝需施肥料分別為0.12噸、0.2噸、0.15噸。預(yù)計秋后玉米每畝可收獲500千克，售價為0.24元/千克，大豆每畝可收獲200千克，售價為1.20元/千克，小麥每畝可收獲300千克，售價為0.70元/千克。農(nóng)場年初規(guī)劃時依次考慮以下的幾個方面：P1：年終收益不低于350萬元；P2：總產(chǎn)量不低于1.25萬噸；P3：小麥產(chǎn)量以0.5萬噸為宜；P4：大豆產(chǎn)量不少于0.2萬噸；P5；玉