1、第一節 定積分概念與性質教學目的：使學生了解定積分概念，掌握定積分的性質。 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設函數y=f(x)在區間a, b上非負、連續. 由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 求曲邊梯形的面積的近似值: 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形, 每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替, 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 具體方法是: 在區間a, b中任意插入若干個分點a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n個小區間x0,

2、 x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它們的長度依次為Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 經過每一個分點作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形. 在每個小區間xi-1, xi 上任取一點x i , 以xi-1, xi 為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1, 2, , n) , 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點越多、

3、每個小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當于令l0. 所以曲邊梯形的面積為. 2. 變速直線運動的路程 設物體作直線運動, 已知速度v=v(t)是時間間隔T 1, T 2上t的連續函數, 且v(t)0, 計算在這段時間內物體所經過的路程S . 求近似路程: 我們把時間間隔T 1, T 2分成n 個小的時間間隔Dti , 在每個小的時間間隔Dti內, 物體

4、運動看成是均速的, 其速度近似為物體在時間間隔Dti內某點x i的速度v(t i), 物體在時間間隔Dti內 運動的距離近似為DSi= v(t i) Dti . 把物體在每一小的時間間隔Dti內 運動的距離加起來作為物體在時間間隔T 1 , T 2內所經過的路程S 的近似值. 具體做法是: 在時間間隔T 1 , T 2內任意插入若干個分點T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n個小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段時間的長依次為Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t

5、n -t n-1. 相應地, 在各段時間內物體經過的路程依次為DS 1, DS 2, , DS n. 在時間間隔t i-1, t i上任取一個時刻t i (t i-1t i t i), 以t i時刻的速度v(t i)來代替t i-1, t i上各個時刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S 的近似值, 即; 求精確值: 記l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 當l0時, 取上述和式的極限, 即得變速直線運動的路程. 設函數y=f(x)在區間a, b上

6、非負、連續. 求直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積. (1)用分點a=x0x1x2 xn-1xn =b把區間a, b分成n個小區間: x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為 (i=1, 2, , n); 所求曲邊梯形面積A的近似值為 . (3)記l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲邊梯形面積的精確值為 . 設物體作直線運動, 已知速度v=v(t)是時間間隔T 1, T 2

7、上t的連續函數, 且v(t)0, 計算在這段時間內物體所經過的路程S . (1)用分點T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把時間間隔T 1 , T 2分成n個小時間段: t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn , 記Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在時間段ti-1, ti內物體所經過的路程可近似為v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值為 . (3)記l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精確值為 . 二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們在數量關系上共同的本質與

8、特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義 設函數f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干個分點a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把區間a, b分成n個小區間x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段區間的長依次為Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每個小區間xi-1, xi上任取一個點x i (xi-1 x i xi), 作函數值f (x i)與小區間長度Dxi的乘積f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 記l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不論對a,

9、 b怎樣分法, 也不論在小區間xi-1, xi上點x i 怎樣取法, 只要當l0時, 和S 總趨于確定的極限I, 這時我們稱這個極限I為函數f (x)在區間a, b上的定積分, 記作, 即 .其中f (x)叫做被積函數, f (x)dx叫做被積表達式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積分上限, a, b叫做積分區間. 定義 設函數f(x)在a, b上有界, 用分點a=x0x1x2 xn-1b時, . 性質1 函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即 . 證明: . 性質2 被積函數的常數因子可以提到積分號外面 即 . 這是因為. 性質3 如果將積分區間分成兩部分 則

10、在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和 即 . 這個性質表明定積分對于積分區間具有可加性. 值得注意的是不論a ,b ,c的相對位置如何總有等式 成立. 例如, 當abc時, 由于 , 于是有 . 性質4 如果在區間a b上f (x)1 則 . 性質5 如果在區間a, b上 f (x)0, 則 (ab). 推論1 如果在區間a, b上 f (x) g(x) 則 (ab). 這是因為g (x)-f (x)0, 從而 , 所以 . 推論2 (ab). 這是因為-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性質6 設M 及m 分別是函數f(x)在區間a, b上的最大

11、值及最小值, 則 (ab). 證明 因為 m f (x) M , 所以 , 從而 . 性質7 (定積分中值定理) 如果函數f(x)在閉區間a, b上連續, 則在積分區間a, b上至少存在一個點x , 使下式成立: . 這個公式叫做積分中值公式. 證明 由性質6 ,各項除以b-a 得 ,再由連續函數的介值定理, 在a, b上至少存在一點x , 使 ,于是兩端乘以b-a得中值公式 . 積分中值公式的幾何解釋: 應注意: 不論ab, 積分中值公式都成立. 第二節 微積分基本定理教學目的：使學生掌握變上限積分及其導數； 使學生掌握牛頓萊布尼茲公式（微積分基本定理，基本公式）一、變上限積分及其導數 設函

12、數f(x)在區間a, b上連續, 并且設x為a, b上的一點. 我們把函數f(x)在部分區間a, x上的定積分 稱為積分上限的函數. 它是區間a, b上的函數, 記為F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函數f(x)在區間a, b上連續, 則函數 F(x)在a, b上具有導數, 并且它的導數為 F(x)(ax0, 則同理可證F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 證明函數在(0, +)內為單調增加函數. 證明: , . 故.按假設, 當0t0, (x-t)f (t) 0 , 所以, , 從而F (x)0 (x0), 這就證明了F (x) 在(0, +)內為單調增加函數. 第三節定

13、積分換元積分法與分部積分法教學目的：使學生熟練掌握定積分換元積分法與分部積分法教學重點：定積分換元積分法一、換元積分法 定理 假設函數f(x)在區間a, b上連續, 函數x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有連續導數, 且其值域不越出a, b, 則有. 這個公式叫做定積分的換元公式. 證明 由假設知, f(x)在區間a, b上是連續, 因而是可積的; f j(t)j(t)在區間a, b(或b, a)上也是連續的, 因而是可積的. 假設F(x)是f (x)的一個原函數, 則=F(b)-F(a). 另一方面, 因為Fj(t)=

14、F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一個原函數, 從而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 計算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 當x=0時t=0, 當x=a時. 例2 計算. 解 令t=cos x, 則 . 提示: 當x=0時t=1, 當時t=0. 或 . 例3 計算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 計算. 解 . 提示: , dx=tdt; 當x=0時t=1, 當x=4時t=3. 例5 證明: 若f (x)在-a, a上連

15、續且為偶函數, 則 . 證明 因為,而 , 所以 . 討論: 若f(x)在-a, a上連續且為奇函數, 問？ 提示: 若f (x)為奇函數, 則f (-x)+f (x) =0, 從而 . 例6 若f (x)在0, 1上連續, 證明 (1); (2). 證明 (1)令, 則 . (2)令x=p-t, 則 , 所以 . 例7 設函數, 計算. 解 設x-2=t, 則 . 提示: 設x-2=t, 則dx=dt; 當x=1時t=-1, 當x=4時t=2. 二、分部積分法 設函數u(x)、v(x)在區間a, b上具有連續導數u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 等式

16、兩端在區間a, b上積分得, 或.這就是定積分的分部積分公式.分部積分過程: . 例1 計算. 解 . 例2 計算. 解 令, 則 . 例3 設, 證明 (1)當n為正偶數時, ; (2)當n為大于1的正奇數時, . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 設(n為正整數), 證明 , . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特別地 , .因此 , .課堂練習：1求2設，求。 第四節 廣義積分教學目的：使學生熟練掌握無窮區間上的廣義積分及無界函數的廣義積分教學重點：無窮區間上的廣義積分教學過程：

17、一、無窮區間上的廣義積分 定義1 設函數f(x)在區間a, +)上連續, 取ba . 如果極限 存在, 則稱此極限為函數f(x)在無窮區間a, +)上的廣義積分, 記作, 即. 這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數f(x)在無窮區間a, +)上的廣義積分就沒有意義, 此時稱廣義積分發散. 類似地, 設函數f(x)在區間(-, b 上連續, 如果極限(a0). 解 . 提示: . 例3 討論廣義積分(a0)的斂散性. 解 當p=1時, . 當p1時, . 因此, 當p1時, 此廣義積分收斂, 其值為; 當p1時, 此廣義積分發散. 二、無界函數的廣義積分 定義2 設函數f(x)在區

18、間(a, b上連續, 而在點a的右鄰域內無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數f(x)在(a, b上的廣義積分, 仍然記作, 即. 這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發散. 類似地, 設函數f(x)在區間a, b)上連續, 而在點b 的左鄰域內無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數f(x)在a, b)上的廣義積分, 仍然記作, 即. 這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發散. 設函數f(x)在區間a, b上除點c(acb)外連續, 而在點c的鄰域內無界. 如果兩個廣義積分與都收斂, 則定義. 否則, 就稱廣義積分發散. 瑕點

19、: 如果函數f(x)在點a的任一鄰域內都無界, 那么點a稱為函數f(x)的瑕點, 也稱為無界 定義2 設函數f(x)在區間(a, b上連續, 點a為f(x)的瑕點. 函數f(x)在(a, b上的廣義積分定義為. 在廣義積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此廣義積分收斂; 否則稱此廣義積分發散. 類似地,函數f(x)在a, b)(b為瑕點)上的廣義積分定義為. 函數f(x)在a, c)(c, b (c為瑕點)上的廣義積分定義為 . 廣義積分的計算: 如果F(x)為f(x)的原函數, 則有 .可采用如下簡記形式: . 類似地, 有 , 當a為瑕點時,; 當b為瑕點時,. 當c (ac1時, .

20、當q1時, . 因此, 當q0)上相應于q從0變到2p 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解: . 例5. 計算心形線r=a(1+cosq ) (a0) 所圍成的圖形的面積. 解: . 二、體 積 1旋轉體的體積 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體. 這直線叫做旋轉軸. 常見的旋轉體: 圓柱、圓錐、圓臺、球體. 旋轉體都可以看作是由連續曲線y=f (x)、直線x=a 、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體. 設過區間a, b內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V (x), 當平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx , 于是體積元素為 dV = pf (x)2dx , 旋轉體的體積為 . 例1 連接坐標原點O及點P(h, r)的直線、直線x=h 及x 軸圍成一個直角三角形. 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體. 計算這圓錐體的體積. 解: 直角三角形斜邊的直線方程為. 所求圓錐體的體積為 . 例2. 計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成