1、精選優質文檔-傾情為你奉上運籌學習題庫數學建模題（5）1、某廠生產甲、乙兩種產品，這兩種產品均需要A、B、C三種資源，每種產品的資源消耗量及單位產品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備如下表所示：ABC甲94370乙4610120360200300試建立使得該廠能獲得最大利潤的生產計劃的線性規劃模型，不求解。解：設甲、乙產品的生產數量應為x1、x2，則x1、x20，設z是產品售后的總利潤，則max z =70x1+120x2s.t.2、某公司生產甲、乙兩種產品，生產所需原材料、工時和零件等有關數據如下：甲 乙可用量原材料（噸/件）工時（工時/件）零件（套/件）2 25 2.513000噸

2、4000工時500套產品利潤（元/件） 4 3建立使利潤最大的生產計劃的數學模型，不求解。解：設甲、乙兩種產品的生產數量為x1、x2，設z為產品售后總利潤，則max z = 4x1+3x2s.t.3、一家工廠制造甲、乙、丙三種產品，需要三種資源技術服務、勞動力和行政管理。每種產品的資源消耗量、單位產品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備量如下表所示：技術服務勞動力行政管理單位利潤甲110210乙1426丙1564資源儲備量100600300建立使得該廠能獲得最大利潤的生產計劃的線性規劃模型，不求解。解：建立線性規劃數學模型：設甲、乙、丙三種產品的生產數量應為x1、x2、x3，則x1、x2

3、、x30，設z是產品售后的總利潤，則max z =10x1+6x2+4x3s.t.4、一個登山隊員，他需要攜帶的物品有：食品、氧氣、冰鎬、繩索、帳篷、照相器材、通信器材等。每種物品的重量合重要性系數如表所示。設登山隊員可攜帶的最大重量為25kg,試選擇該隊員所應攜帶的物品。序號1234567物品食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材通信設備重量/Kg55261224重要性系數201518148410試建立隊員所能攜帶物品最大量的線性規劃模型，不求解。解：引入01變量xi, xi=1表示應攜帶物品i，,xi=0表示不應攜帶物品I5、工廠每月生產A、B、C三種產品，單件產品的原材料消耗量、設備臺時的消耗量、

4、資源限量及單件產品利潤如下圖所示：產品資源A BC資源限量材料（kg）1.51.242500設備（臺時）31.61.21400利潤（元/件）101412根據市場需求，預測三種產品最低月需求量分別是150、260、120，最高需求量是250、310、130，試建立該問題數學模型，使每月利潤最大，為求解。解：設每月生產A、B、C數量為。 6、A、B兩種產品，都需要經過前后兩道工序，每一個單位產品A需要前道工序1小時和后道工序2小時，每單位產品B需要前道工序2小時和后道工序3小時?？晒├玫那暗拦ば蛴?1小時，后道工序有17小時。 每加工一個單位產品B的同時，會產生兩個單位的副產品C，且不需要任何費

5、用，產品C一部分可出售盈利，其余只能加以銷毀。 出售A、B、C的利潤分別為3、7、2元，每單位產品C的銷毀費用為1元。預測表明，產品C最多只能售出13個單位。試建立總利潤最大的生產計劃數學模型，不求解。解：設每月生產A、B數量為銷毀的產品C為。 7、靠近某河流有兩個化工廠（參見附圖），流經第一化工廠的河流流量為每天500，在兩個工廠之間有一條流量為200萬的支流。第一化工廠每天排放有某種優化物質的工業污水2萬，第二化工廠每天排放該污水1.4萬。從第一化工廠的出來的污水在流至第二化工廠的過程中，有20%可自然凈化。根據環保要求，河流中的污水含量不應大于0.2%。這兩個工廠的都需要各自處理一部分工

6、業污水。第一化工廠的處理成本是1000元/萬，第二化工廠的為800元/萬?，F在要問滿足環保的條件下，每廠各應處理多少工業污水，才能使兩個工廠的總的污水處理費用最少？列出數學模型，不求解。附圖： ¤工廠1 ¤工廠2 500萬 200萬解：設第一化工廠和第二化工廠的污水處理量分別為每天和x2萬，st8、消費者購買某一時期需要的營養物（如大米、豬肉、牛奶等），希望獲得其中的營養成分（如：蛋白質、脂肪、維生素等）。設市面上現有這3種營養物，其分別含有各種營養成分數量，以及各營養物價格和根據醫生建議消費者這段時間至少需要的各種營養成分的數量（單位都略去）見下表。營養物營養成分甲乙丙至

7、少需要的營養成分數量A462080B11265C10370D21735450價格252045問：消費者怎么購買營養物，才能既獲得必要的營養成分，而花錢最少？只建立模型，不用計算。解：設購買甲、乙、丙三種營養物的數量分別為， 則根據題意可得如下線性規劃模型： 9、某公司生產的產品A，B，C和D都要經過下列工序：刨、立銑、鉆孔和裝配。已知每單位產品所需工時及本月四道工序可用生產時間如下表所示：刨立銑鉆孔裝配A0.52.00.53.0B1.01.0.0.51.0.C1.01.01.02.0D0.51.01.03.0可用生產時間（小時）1800280030006000又知四種產品對利潤貢獻及本月最少銷

8、售需要單位如下：產品最少銷售需要單位元/單位A1002B6003C5001D4004問該公司該如何安排生產使利潤收入為最大？（只需建立模型）解：設生產四種產品分別x1,x2,x3,x4單位則應滿足的目標函數為：max z=2 x1+3 x2+ x3+ x4滿足的約束條件為：10、某航空公司擁有10架大型客機、15架中型客機和2架小型客機，現要安排從一機場到4城市的航行計劃，有關數據如表1-5，要求每天到D城有2個航次（往返），到A,B,C城市各4個航次（往返），每架飛機每天只能完成一個航次，且飛行時間最多為18小時，求利潤最大的航班計劃。 客機類型到達城市飛行費用（元/次）飛行收入（元/次）飛

9、行時間（h/d）大型A6000700080001000050007000100001800012510BCD中型A100020004000-300040006000-24820BCD小型A200035006000-400055008000-12619BCD解：設大型客機飛往A城的架次為x1A，中型客機飛往A城的架次為x2A，小型客機飛往A城的架次為x3A，其余依此類推。資源限制 派出的大型客機架次不能超過10架，表示為 同理 班次約束 飛往各城的班次要滿足 非負性約束 且為整數；（i=1,2,3;j=A,B,C,D）目標函數為 11、 CRISP公司制造四種類型的小型飛機：AR1型（具有一個座

10、位的飛機）、AR2型（具有兩個座位的飛機）、AR4型（具有四個座位的飛機）以及AR6型（具有六個座位的飛機）。AR1和AR2一般由私人飛行員購買，而AR4和AR6一般由公司購買，以便加強公司的飛行編隊。為了提高安全性，聯邦航空局（F.A.A）對小型飛機的制造做出了許多規定。一般的聯邦航空局制造規章和檢測是基于一個月進度表進行的，因此小型飛機的制造是以月為單位進行的。表說明了CRISP公司的有關飛機制造的重要信息。AR1AR2AR4AR6聯邦航空局的最大產量（每月生產的飛機數目）建造飛機所需要的時間（天）每架飛機所需要的生產經理數目每架飛機的盈利貢獻（千美元）841621771841192103

11、15112125CRISP公司下個月可以得到的生產經理的總數是60人。該公司的飛機制造設施可以同時在任何給定的時間生產多達9架飛機。因此，下一個月可以得到的制造天數是270天（9*30，每月按30天計算）。Jonathan Kuring是該公司飛機制造管理的主任，他想要確定下個月的生產計劃安排，以便使盈利貢獻最大化。解：設表示下個月生產AR1型飛機的數目，表示AR2型，表示AR4型， 表示AR6型 目標函數： 約束條件： 為整數12、永輝食品廠在第一車間用1單位原料N可加工3單位產品A及2單位產品B，產品A可以按單位售價8元出售，也可以在第二車間繼續加工，單位生產費用要增加6元，加工后單位售價

12、增加9元。產品B可以按單位售價7元出售，也可以在第三車間繼續加工，單位生產費用要增加4元，加工后單位售價可增加6元。原料N的單位購入價為2元，上述生產費用不包括工資在內。3個車間每月最多有20萬工時，每工時工資0.5元，每加工1單位N需要1.5工時，若A繼續加工，每單位需3工時，如B繼續加工，每單位需2工時。原料N每月最多能得到10萬單位。問如何安排生產，使工廠獲利最大？解：設為產品A的售出量；為A在第二車間加工后的售出量；表示產品B的售出量；表示B在第三車間加工后的售出量；為第一車間所用原材料的數量， 則目標函數為： 約束條件： Ø 化標準形式（5）1、將下列線性規劃模型化為標準形

13、式解： 2、將下列線性規劃模型化為標準形式解：3、將下列線性規劃變為最大值標準形。解：Ø 圖解法（5）1、用圖解法求解下面線性規劃min z =3x1+2x2解：可行解域為abcda，最優解為b點。由方程組 解出x1=11，x2=0X*=（11，0）Tmin z =3×11+2×0=332、用圖解法求解下面線性規劃min z =2x1+x2解：從上圖分析，可行解域為abcde，最優解為e點。由方程組 解出x1=5，x2=3X*=（5，3）Tmin z =Z*= 2×5+3=133、已知線性規劃問題如下：Max Z= 用圖解法求解，并寫出解的情況解： x2

14、 6 Z 4 x2=4 2Zx10 2 4 6 8 105x1+10x2=50 x1+x2=1由圖可知： 解之得： 則max Z=2+3*4=14 4、用圖解法求解下面線性規劃問題 解：5、用圖解法求解下面線性規劃問題圖解如下：可知，目標函數在B(4, 2)處取得最大值，故原問題的最優解為，目標函數最大值為。二、單純型法（15）1、用單純型法求解下面線性規劃問題的解max z= 3x1+3x2+4x3s.t.解：加入松弛變量x4，x5，得到等效的標準模型：max z= 3x1+3x2+4x3+0 x4+0 x5s.t.列表計算如下：CBXBb33400Lx1x2x3x4x50x44034（5）

15、1080x566643012200000334004x383/54/511/5040/30x542（21/5）8/503/511012/516/544/503/51/504/504x3204/712/71/73x11018/2101/75/2138324/745/71/703/705/71/7X*=（10，0，2，0，0）T max z =3×10+4×2 =382、用單純型法求解下面線性規劃問題的解max z =70x1+120x2s.t.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標準模型：max z =70x1+120x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t.列表計算

16、如下：CBXBb70120000Lx1x2x3x4x50x336094100900x420046010100/30x53003（10）0013000000701200000x324039/5010- 2/5400/130x420（11/5）001 - 3/5100/11120x2303/10 100 1/1010036120001234000120x31860/1100139/1119/1170x1100/11100 5/11- 3/11120x2300/11010- 3/22 2/11701200170/1130/11000-170/1130/11X*=（，0，0）Tmax z =70

17、15;+120×=3、用單純型法求解下面線性規劃問題的解max z = 4x1+3x2s.t.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標準形式：max z= 4x1+3x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t.用表解形式的單純形法求解，列表計算如下：CBXBb43000Lx1x2x3x4x50x33000221003000/2 =15000x4400052.50104000/5 =8000x5500（1）0001500/1 =50000000 430000x320000210-22000/2 =10000x415000（2.5）01-51500/2.5 =6004x1500100

18、01400040 300-40x3800001-0.8（2）800/2 =4003x26000100.4-24x150010001500/1 =5004301.2-2000-1.2 20x5400000.5-0.413x21400011-0.404x110010-0.50.4046004310.4000-1-0.40據上表，X*=（100，1400，0，0，400）T max z =4×100+3×1400=4604、用單純型法求解下面線性規劃問題的解max z =10x1+6x2+4x3s.t.解：加入松弛變量x4，x5，x6，得到等效的標準模型：max z =10x1+

19、6x2+4x3+0 x4+0 x5+0 x6s.t.列表計算如下：CBXBb1064000Lx1x2x3x4x5x60x41001111001000x5600（10）45010600x630022600115000000010640000x4400（3/5）1/211/100200/310x16012/51/201/1001500x618006/5501/5115010450100210106x2200/3015/65/31/6010x1100/3101/62/31/600x610000420110620/310/32/30008/310/32/30X*=（，0，0，0，100）Tmax z

20、=10×+6×=5、用單純型法求解下面線性規劃問題的解用單純形法求解，并指出問題的解屬于哪一類。解：（1）、將原問題劃為標準形得： =60 4-22000b0603111000101-120100402-220014-22000 4-22000b03004-51-304101-1201002004-60-2102-60-404-22000b0100011-1-1415101/201/21/4-2501-3/20-1/21/400-30-3-1/2所以X=（15，5，0，10，0，0）T 為唯一最優解 Max Z=4*15-2*5=50 6、用單純形法求解下述LP問題。解：引

21、入松弛變量、，化為標準形式：構造單純形表，計算如下：2.510001535105010520122.510009019/513/545/192.5212/501/550001/2145/19015/193/192.520/19102/195/190001/2由單純形表，可得兩個最優解、，所以兩點之間的所有解都是最優解，即最優解集合為：，其中。7、用單純形法解線性規劃問題解：化為標準型列出單純形表Cj21000CBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x51524506152110001000145-Z021000020x3x1x5154101051/32/310001/6-1/6001312

22、3/2-Z-801/30-1/30021x3x1x215/27/23/20100011005/41/4-1/4-15/2-1/23/2-Z-20000-1/4-1/2Z*=17/2, X*=(7/2,3/2, 15/2,0,0)8、用單純型法求解下面線性規劃問題的解解：Cj11000CBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x52241-2-112111000100012-Z011000100x1x4x5266100-2-3-1121010001-Z-203-100把表格還原為線性方程令x 3=0此時，若讓x2進基，則會和基變量x1同時增加，使目標函數值無限增長，所以本題無界9、用單純型法求

23、解下面線性規劃問題的解Cj24000CBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x584311020110001000143-Z024000004x3x4x2243110001100010-20124-Z-122000-4204x1x4x22231000011-10010-221-Z-2000-200204x1x5x24121000010-1/21/211/2-1/2010-Z-2000-200Z*=20, X*=(2,3,0,2,0)Z*=20, X*=(4,2,0,0,1)10、用單純型法求解下面線性規劃問題的解解：列表如下Cj35000CBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x541

24、21810302210001000169-Z035000050x3x2x546610301010001/2-100143-Z-30300-5/20053x3x2x16220010101001/31/2-1/3-1/301/3-Z-20000-3/2-1X*=(2,6,6,0,0) Z*=3611、用單純型法求解下面線性規劃問題的解解：化為標準型單純型表如下：Cj21000CBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x51524506152110001000145Z021000020x3x1x5154101051/32/310001/6-1/60013123/2Z001/30-1/30021x3

25、x1x215/27/23/20100011005/41/4-1/4-15/2-1/23/2Z17/2000-1/4-1/2由些可得，問題的最優解為x1=7/2，x2=3/2，最優值max z=17/212、用大M法求解如下線性規劃模型：min z =5x12x24x3解：用大M法，先化為等效的標準模型：max z/ =5x12x24x3s.t.增加人工變量x6、x7，得到：max z/ =5x12x24x3Mx6Mx7s.t大M法單純形表求解過程如下：CBXBb52400MMLx1x2x3x4x5x6x7Mx64（3）1210104/3Mx71063501015/39M4M7MMMMM9M54

26、M27M4MM005x14/311/32/31/301/30Mx72011（2）12115-M5/3-M10/3-2M+5/3M2M5/3-M0M1/3M2/32M5/3M3M+5/305x15/311/25/601/601/610/30x410（1/2）1/211/211/2255/225/605/605/601/21/605/6MM+5/652x12/3101/311/311/3x2201121215211/311/311/3001/311/3M+1M+1/3x*=（，2，0，0，0）T最優目標函數值min z =max z/ =（）=13、用大M法求解如下線性規劃模型：min z =54

27、0x1450x2720x3解：用大M法，先化為等效的標準模型：max z/ =540x1450x2720x3s.t.增加人工變量x6、x7，得到：max z/ =540x1450x2720x3Mx6Mx7s.t大M法單純形表求解過程如下：CBXBb54045072000MMLx1x2x3x4x5x6x7Mx670359101070/3Mx730（9）53010130/9=10/312M10M12MMMMM12M54010M45012M720MM00Mx660010/3（8）11/311/360/8=2.5540x110/315/91/301/901/910/3/1/3=10-300+10/3M

28、-8M180MM/3+60MM/3600-150+10/3M8M-540MM/3600M/3+60720x315/205/1211/81/241/81/2415/2/5/12=18540x15/61（5/12）01/241/81/241/85/6/5/12=2540572720135/2475/12135/275/201250135/2475/12135/2M75/2M720450x320/31011/61/61/61/6x2212/5101/103/101/103/1057003604507207515751518000751575M15M該對偶問題的最優解是x*=（0，2，0，0）T最優目

29、標函數值min z =（5700）=5700 14、用單純形法求解線性規劃問題化成標準形式有加入人工變量則為列出單純形表Cj30100M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70-M-Mx4x6x74191-201131-111000-10010001-Z10M-2M-34M10-M0000-Mx4x2x73163-260102-141001-13-11-3001-Z6M6M-304M+103M-4M000-3x4x2x103100101001/32/3100-1/201/2-1/20-1/21/21/31/6-Z300303/2-M-3/2-M+1/2001x4x2x305/23/20-1

30、/23/2010001100-1/2-1/43/41/21/4-3/4-1/21/41/4-Z-3/2-9/2000-3/4-M+3/4-M-1/4人工變量已不在基變量中，X*=(0,5/2,3/2,0,0,0,0) Z*=3/215、用單純形法求解線性規劃問題解 化為標準形式有列表計算Cj3200MCBXBbx1x2x3x4x50Mx3x52122314100-10123-Z-12M3M+34M+20-M0-2Mx2x5242-5101-40-101-Z4-4M-5M-10-4M-2-M0X*=(0,2,0,0,4) Z*=4M-4 說明原問題無解Ø 寫對偶問題（10）1、 寫出下

31、列線性繪畫問題的對偶問題 解： 2、寫出下述線性規劃的對偶問題解3、寫出下列線性規劃的對偶問題解：4、寫出下列線性規劃的對偶問題解Ø 對偶性質1、已知線性規劃問題如下：Max Z= 已知該問題的解為（2，4）利用對偶性質寫出對偶問題的最優解。解：該問題的對偶問題為： 將X=（2，4）T代入原問題可知：1 為嚴格不等式，所以由對偶問題性質可知： 解之得： 所以Y=（1/5，0，1）T Min Z=14 2、已知線性規劃問題用圖解法求對偶問題的解；利用(b)的結果及對偶性質求原問題解。答案：(對偶問題的最優解為；(依據z*=w*及互補松弛性，有x4=0,且解得愿問題最優解X*=(7/5,

32、0,1/5,0)。3、已知線性規劃問題 已知其對偶問題的最優解為，最優值為。試用對偶理論找出原問題的最優解。解 先寫出它的對偶問題 s.t. 將的值代入約束條件，得，為嚴格不等式；設原問題的最優解為，由互補松弛性得。因 ；原問題的兩個約束條件應取等式，故有求解后得到；故原問題的最優解為 ；最優值為。 4、已知下列問題的最優解為X*=(1/7,11/7),用互補松弛定理求其對偶問題的最優解。解：第一步，寫出對偶問題第二步，將LP，DP都化為標準型第三步：將最優解代入標準型中，確定松弛變量取值第四步：利用互補松弛定理 Y3*=0 Y1S=0 Y2S=0第五步：將Y3*=0 Y1S=0 Y2S=0

33、代入約束條件則有 對偶問題的最優解為Y*=(4/7,5/7,0)5、已知線性規劃問題：，試用對偶理論證明上述線性規劃問題無最優解。證明：首先看到該問題存在可行解，例如，而上述問題的對偶問題為： 由第一約束條件可知對偶問題無可行解，因而無最優解。由此，原問題也無最優解。5、已知線性規劃問題（1）寫出其對偶問題；（2）用圖解法求對偶問題的解；（3）利用（2）的結果及對偶性質求原問題解。解：（1）原線性規劃問題可化為：其對偶問題為：（2）用圖解法解得 （3）由互補松弛性定理知道，又由解之，可得原問題最優解Ø 對偶單純形法（15）1、用對偶單純形法解下列線性規劃問題解：先化為標準型約束條件兩邊同乘(-1) 列單純形表Cj1524500CBXBbx1x2x3x4x500x4x52105-6-2-1-11001-15-24-500-45-240x2x51/3-1/30-5101/6-2/3-1/6-1/301-150-1-4033/212-24-5x2x31/41/2-5/415/21001-1/41/21/4-3/2-15/200-7/2-3/2X*=(0,1/4,1/2) Y*=(7/2,3/2)2、用對偶單純形法