1、精選優質文檔-傾情為你奉上常微分方程計算題2.指出下列方程中的階數，是線性方程還是非線性方程，并說明理由；（1） t+t+( t-1)u=0（2） =x+y;（3）+=03.求曲線族y=Ce+Cx e所滿足的微分方程4驗證函數y= Ce+ Ce是微分方程y-4y=0的解，進一步驗證它是通解。5.試用一階微分方程形式不變性求解方程=2x6.什么叫積分一個微分方程？7什么是求解常微分方程的初等積分法？8分離變量一階方程的特征是什么？9求下列方程的通解（1） ysinx（2） xyy+1=y（3） tgx=1+y（4） =exp(2x-y)（5） =（6） xydx=(1- y+x-xy)dx（7）

2、( x+1)( y-1)dx+xydy=010.敘述齊次函數的定義11試給出一階方程yf(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0為齊次方程的特征。說明二個方程的關系。12求解齊次方程通常用什么初等變換，新舊函數導數關系如何？13求解下列方程14求解下列方程（1）（x+2y）dxxdy=0 (2) =+15. =16(x+y)dx2xydy=017. =18192027283738444549505657626368697172818287889293949597981001011051061131141222（1）未知函數u的導數最高階為2，u,u,u 均為一次，所以它是二階線性方

3、程。（2） 為y最高階導數為1，而y為二次，故它是一階非線性常微分方程。（3） 果y是未知函數，它是一階線性方程；如果將x看著未知函數，它是一階非線性方程。3. 提示：所滿足的方程為y2 y+y=04 直接代入方程，并計算Jacobi行列式。5.方程變形為dy=2xdx=d(x),故y= x+C6. 微分方程求解時，都與一定的積分運算相聯系。因此，把求解一個微分方程的過程稱為一個微分方程。微分方程的解又稱為（一個）積分。7 把微分方程的通解用初等函數或通過它們的積分來表達的方法。注意如果通解能歸結為初等函數的積分表達，但這個積分如果不能用初等函數表示出來，我們也認為求解了這個微分方程，因為這個

4、式子里沒有未知函數的導數或微分。8 yf(x,y)主要特征是f(x,y)能分解為兩個因式的乘積，其中一個因式僅含有x,另一因式僅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分離變量方程的主要特征，就像f(x,y)一樣，p,q分別都能分解成兩個因式和乘積。9（1） 積分得x=-cosx+c（2） 將方程變形為xydy=(y-1)dx或，當xy0,y1時積分得y+ln+=c (3)方程變形為dx,當y-1,sinx0時積分得y=Csinx-1(4)方程變形為exp(y)dy=exp(2x)dx,積分得exp(y) exp(2x)C(5)當y1時，求得通積分ln=x+c(6)方程化為xyd

5、x=(1- y)(1+x)dx或dx=dy,積分得xarctgxln+y=C(7)當x(y-1)0時，方程變形得 dx+=0兩邊積分并化簡得y1exp(-x)10.二元函數f(x,y)滿足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,則稱f(x,y)為m次齊次函數。m=0則稱它為0次齊次函數。11如果f(x,y)是0次齊次函數，則yf(x,y)稱為齊次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同為m次齊次函數，則pdx+qdy=0為齊次方程。如果q0則 f(x,y)，由p,q為m次齊次函數推知f(x,y)為0次齊次函數故yf(x,y)為齊次方程。12 求解齊次方程經常用變換y=zx.用函數乘積導

6、數的公式得=xz13 這是齊次方程。令y=zx, =xz,將方程化為z+x=,并即x分離變量得積分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或C用z=yx代入得原來的變量。xyCy.注意y=0方程的解。14（1） 當x0時，方程化為=12令y=ux,則原方程化為x=1+u,當1+u0時,可分離變量得u+1=cx:;通解為y=cx+x（2） 作變換y=ux,則原方程化為2udu=于是u=ln|x|+C,代回原變量，得通積分：yx（ln|x|+C）15. 這是齊次方程。令y=zx原方程化為du=兩邊積分得ln|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。16.變形為=+，令y=ux得=積分得-ln|1-u|=ln|x|-c,代原變量得通積分x- y=cx17. 方程右邊分子，分母兩條直線交點為（x , y）=(-2,1)作變換u=x+2,v=y-1,原方程化為，此為齊次方程，令v=uz,經簡單計算得dz=,積分得C原方程通積分為y