1、教學內容：簡單的數列問題（一） 世界著名的數學家高斯（1777年1855年），幼年時代聰明過人。上小學時，有一天數學老師出了一道題讓全班同學計算：123499100？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快地說出了正確答案5050。那些正忙著把這100個數一個一個相加求和的同學大吃一驚!小高斯有什么竅門呢？原來小高斯通過細心觀察，發現1100這一串數中，110029939849525051101。即：與這串數首末兩端距離相等的每兩個數的和，都等于首末兩數的和，這樣的和為101的數共有100÷250對。于是小高斯就把這道題巧算為：12399100（1100）×

2、;100÷25050像1，2，3，99，100這樣的一串數我們稱為“等差數列”，下面介紹有關等差數列的概念。若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。從第一項開始，后項與前項之差都相等的數稱為等差數列，后項與前項之差稱為公差，數列中數的個數稱為項數。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首項為5，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為4，末項為804，公差為8的等差數列

3、；（4）中前后兩項的差都不相等，它不是等差數列。從高斯的故事我們知道，要想求出像1，2，3，99，100這一等差數列的和，只要用第一個數1與最后一個數100相加求和，再乘以這串數的個數100，最后除以2。由此，我們得到等差數列的求和公式為：數列和（首項末項）×項數÷2 例1 計算1231999分析與解 這串加數組成的數列1，2，3，1999是等差數列，公差是1，首項是1，末項是1999，項數是1999。根據等差數列求和公式可解得：原式（11999）×1999÷21999000 例2 求首項是5，公差是3的等差數列的前1999項的和。分

4、析 等差數列中首項、末項、公差的關系是：末項首項公差×（項數1）解 末項53×（19991）5999和（55999）×1999÷26000998 例3 計算371199分析 這串加數組成的數列是等差數列，公差是4，首項是3，末項是99，但是我們發現項數從題中看不出來，這時就需要先求出項數。根據上例中介紹的等差數列中首項、末項、公差的關系，可以得到：項數（末項首項）÷公差1解 項數（993）÷4125原式（399）×25÷21275 例4 計算（1）20003695154（2）（246969810

5、0）（135959799）（3）199119981985198211852分析與解 （1）利用第一講中的知識，“某數連續減去幾個數，等于減去這幾個數的和”，可將原式轉化為：2000（3695154），所以，此題關鍵是求3695154的和。3695154（354）×（543）÷31÷257×9513從而，原式20005131487。（2）同學們可能已經發現和式2498100，1359799中的項成等差數列，從而可能想到先求和，再做減法。這樣做，很自然，也比較簡便。有其他更為簡單的解法嗎？再看題，你會冒出一個好想法：運用加減法性質，先做減法：21，43，65

6、，10099，它們的差都等于1，然后計算等于1的差數有多少個。由于題中1至100的全部偶數之和作為被減數，奇數之和為減數，所以，相鄰的奇偶數相減（以大減?。?，共得50個差數1，從而，原式（21）（43）（9897）×（10099）50（3）利用求解題（2）的經驗，容易發現199119883，198519823，523這樣，此題就歸結為計算上述差的個數?？梢赃@樣計算，由于此數列為等差數列，公差是3，由求項數公式可求得項數為：（19912）÷31664（個）這664個數兩兩配對做減法運算，共得到664÷2332個差數，因而3×332996思考 還可以怎樣計算

7、出差的個數？（還可根據每個括號中被減數所組成的等差數列的項數。） 例5 2000×19991999×19981998×19971997×19964×33×22×1解原式1999×（20001998）1997×（19981996）3×（42）2×1（1999199731）×2（19991）×（19991）÷21÷2×22000×10002000000 小結 解簡單的數列問題，首先要判斷該數列是否為等差數列，再

8、找出首項、末項、項數等相關量，最后運用相應公式正確求解。 【能力訓練】1計算：（1）123767778  （2）135959799  （3）261014202206210  （4）4710292295298  2求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。  3求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。  4計算：（1）4000123767778  （2）560557554551500497  （3）20419819

9、21862418126  *5計算：（1）（1351999）（2461998）  （2）12345678910111225262728 參考答案【能力訓練】1（1）（178）×78÷23081（2）（199）×50÷22500（提示：1到100這一百個自然數中奇、偶數各一半）（3）（2210）×（2102）÷41÷25618（4）（4298）×（2984）÷31÷2149492（593）×（935）÷41÷21127

10、3末項13（301）×5158和（13158）×30÷225654（1）4000（12378）4000（178）×78÷240003081919（2）3×1133（等差數列560，557，554，551，500，497，共有（560497）÷3122項）（3）6×17102（等差數列204，198，192，12，6，共有（2046）÷6134項）*5（1）1（32）（54）（76）（19991998）1999×11000（2）（123425262728）2×（482428）（128）&

11、#215;28÷22×（428）×（284）÷41÷229×1416×1413×14182 教學內容：簡單的數列問題（二）  上一講中，我們學習了什么是等差數列，等差數列的求和公式，以及求項數、末項的公式。這一講，我們介紹如何利用這些公式，解決與等差數列有關的問題。 例1 求所有被2除余數是1的三位數的和。分析 首先應分析一下被2除余數是1的三位數是哪些數。能被2整除的三位數中最小的是100，所以被2除余數是1的三位數中最小的是101。采用同樣的辦法可知，三位數中最大的被2除

12、余1的數是999，而且這樣的三位數前后兩數都差2，因此它們構成一個等差數列，故可以利用等差數列求和公式求和。解 所求的三位數的和是101103105999項數（999101）÷21898÷21450和 （101999）×450÷2247500答：所有被2除余數是1的三位數的和是247500由例1可以看出，解這種類型題目的關鍵是根據題意正確地找出滿足條件的數列，然后求和。 例2 1至100內所有不能被5或9整除的數的和是多少？分析與解 如果要直接找出1至100內所有不能被5或9整除的數比較麻煩，因此我們采用間接的辦法來解?？梢韵确謩e找出能被5或9

13、整除的數，并求出它們的和，然后再從123100的和中減去它們的和，即為所求的解。1至100內所有能被5整除的數是5，10，15，100，這個等差數列的項數（1005）÷5195÷5120，因此51015100（5100）×20÷2105×20÷210501至100內所有能被9整除的數是9，18，27，99，這個等差數列的項數（999）÷9111，因此，9182799（999）×11÷2108×11÷2594應該注意到，1至100內45，90這兩個數既能被5整除，又能被9整除，因此在上面

14、兩個數列的求和中都有45、90這兩個數。所以，1至100內所有不能被5或9整除的數的和是：（123100）（51015100）（9182799）（4590）505010505941353541由例2可以看出，解這種類型的題目時，如果直接找數列比較困難，那么可以采用間接的方法求解。另外，解題時分析思考要周密細致，列算式時不要重復，也不要遺漏。 例3 用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖41所示鋪滿一個大的等邊三角形，如果這個大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴？分析與解 如果把圖中最上端的一個三角形看作第一層，與第一層緊

15、相連的3個三角形（向上的三角形2個；向下的三角形1個）看作第二層，那么這個圖中一共有10層三角形。這10層三角形每層所需火柴根數，自上而下依次為：3，6，9，3×10。它們成等差數列，且首項為3，公差為3，項數為10。求火柴的總根數，也就是求這個等差數列各項的和，即36930 （330）×10÷233×5165（根）所以，一共要放165根火柴。 例4 15個連續奇數的和是1995，其中最大的奇數是多少？分析與解 我們先來看一個簡單的五個連續奇數求和的情況。例如，35791135可以看出，用這五個連續奇數的中間一項7乘以項數5也可以得到和為35。

16、反過來，用和35除以項數5就可以得到它們的中間項7。根據這一經驗，對于例4，已知15個連續奇數的和是1995，可求得這個等差數列的中間一項是1995÷15133。現在如果把中間一項看作是第1項，那么原來的末項，即第15項就是現在的第8項。這一項，也就是最大的奇數為：133（81）×213314147思考 仿照此例題的解法，求這15個連續奇數中最小的奇數。 例5 盒子里放有1只球，一位魔術師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里。

17、這時盒子里共有多少只球？分析與解 一只球變成4只球，實際上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，多了3×13×23×103×（1210）3×55165（只）加上原有的1只球，盒子里共有球1651166（只）。 例6 有10個朋友聚會，見面時如果每人和其余的每個人只握一次手，那么10個人共握手多少次？分析 設10個人分別為，我們從開始按順序分析：這9個人的每個人握手1次，共握手9次；由于已和握過手，所以只能和這8個人的每個人握手1次，共握手8次；由于

18、已和握過手，所以只能和這7個人的每個人握手1次，共握手7次；以此類推只能和握手1次。將以上的握手次數求和即可。解 這10個人總共握手的次數為12389 （19）×9÷245（次）這題我們采用按順序逐個分析，從中找出規律的思考方法，這是個重要的方法。小結 我們通過這一講的學習知道，解與等差數列有關的問題關鍵是根據題意正確地找出滿足條件的數列，解題時分析思考要仔細，多算一項、少算一項都將造成結果的錯誤。  【能力訓練】1求所有的除以4后余1的兩位數的和。  2在1100這100個數中，所有不能被9整除的奇數的和是多少？ 

19、0;3用相同的立方體擺成如圖42的形式，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個立方體？  4有一個六邊形點陣如圖43，它的中心是一個點，算做第一層，第二層每邊兩個點，第三層每邊三個點這個六邊形點陣共100層，求這個點陣共有多少個點？  524個連續偶數的和是1992，其中最大的一個偶數是幾？  6時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等于該鐘點數，每半點也敲一下。求時鐘一晝夜總共敲打多少次？  7平面上共有10個點，沒有3個點在一條直線上，求過這些點最多可以畫出多少條直線？  8在北京與上海之間開行的火車，除起點站和終點站外，還要停靠8個火車站，問一共要準備多少種火車票？  9小明計算從1開始若干個連續自然數的和，結果不小心把1當作10來計算，得出的錯誤結果恰好是100，你知道小明算的是哪些自然數的和嗎？正確的結果應該是多少？  *10一次朋友聚會，大家見面時總共握手28次，如果參加聚會的每個人和其余的每個人只握手一次，問參加聚會的共有多少人？ 【能力訓