1、2017年全國高中數學聯賽模擬試題13第一試（時間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1若正實數滿足和，則的值是 2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整數，且A >B>C，則tan B= 3設，當時，的小數點后第一位數字是 4若，則的值是 5函數滿足則的值是 6在四面體ABCD內部有一點O，滿足OA=OB=OC=4, OD=l，則四面體ABCD體積的最大值為 7設是橢圓的長軸端點，是橢圓上異于的點，自分別作直線則的交點軌跡方程是 8某人在黑板上玩寫數字的游戲，每次他隨機地寫上中的某個數，如果他最后寫上去的兩數之和是一

2、個質數，那么游戲結束則他完成游戲時所寫的最后一個數為的概率為 二、解答題：本大題共3小題，共56分.9設函數（l）證明：當時，； (2)數列滿足，證明：數列遞減且 10設拋物線和雙曲線交于點，這兩條曲線的公切線分別切拋物線于點，切雙曲線于點求的面積11設是3個模不大于1的復數，是方程的兩個根 證明：對j1，2，3，都有2017年全國高中數學聯賽模擬試題13加試（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）設為給定素數，是個整數，均不被整除，且?；ゲ煌?， 設其中記這里，表示整數被除的余數證明：二、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，已知，的角平分線與邊交于點，點分別在邊上

3、，使得四點共圓且滿足求證：的內心是的外心三、（本題滿分50分）對于任意一個實數數列，定義數列如下：求最小的正數，使得對任意實數數列及一切正整數，均有四、（本題滿分50分）對于任意的整數證明：數列自某項起，各項對同余2017年全國高中數學聯賽模擬試題13第一試參考解答（時間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1若正實數滿足和，則的值是 解：令，則，從而解得因此2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整數，且A >B>C，則tan B= 解：由于A > B > C，所以B, C都是銳角， tanB, tanC都是

4、正整數，這樣所以A是銳角這時， 我們有,即但是，比較可知只可能3設，當時，的小數點后第一位數字是 解：由于，這兩式相乘得因此，小數點后第一位數字是74若，則的值是 解：注意滿足，從而又注意的虛部相等，結合可知，只需針對進行計算即可這時我們有 將代入，得故本題答案為5函數滿足則的值是 解：記，其中等號右端有個那么注意從到這個過程中，的個數減少了2同樣的推理可知繼續此過程，就有.6在四面體ABCD內部有一點O，滿足OA=OB=OC=4, OD=l，則四面體ABCD體積的最大值為 解：首先，固定A，B,C, D四點時，要使ABCD的體積最大，則D點到平面ABC的距離應最大但D點在以O為球心，1為半徑

5、的球面上運動，故取最大值時，OD平面 ABC 設O在平面ABC的投影點為E，且|OE|=x那么， D到ABC的距離為1 + x而EA= EB=EC=，可知ABC的面積（注：這里用到，若 A , B , C是半徑為 R 的圓上三點，則ABC的面積） 因此，ABCD的體積考慮函數，易知, 可見在（0, 3）上有唯一的臨界點，在（0, 3）的最大值為=36. 從而所求最大值為7設是橢圓的長軸端點，是橢圓上異于的點，自分別作直線則的交點軌跡方程是 8某人在黑板上玩寫數字的游戲，每次他隨機地寫上中的某個數，如果他最后寫上去的兩數之和是一個質數，那么游戲結束則他完成游戲時所寫的最后一個數為的概率為 二、解

6、答題：本大題共3小題，共56分.9設函數（l）證明：當時，； (2)數列滿足，證明：數列遞減且 解： (1)待證式等價于，即令，則，可見，在上單調增，因此當時， (2)記，則要證明遞減，只需證明當時，事實上，等價于，也即，注意，可見上式也等價于，即，這由（l）即證 要證明，只需證明當時，這等價于也即為證此式，令，則，且等號成立當且僅當，即因此在上單調增，于是得證 10設拋物線和雙曲線交于點，這兩條曲線的公切線分別切拋物線于點，切雙曲線于點求的面積11設是3個模不大于1的復數，是方程的兩個根 證明：對j1，2，3，都有證 由對稱性，只需證明：不妨設。令，由得 ，因此，若，結論成立另一方面，由，得，所以，因此，當時，結論成立下設，如圖，考慮以為頂點的三角形記和分別是三角形ABC的邊BC上的中線和高，則由于，所以，由此推出都小于又因為，所以，即為銳角三角形所以，外接圓半徑，于是，矛盾！因此這種情況不可能發生綜上所述，原命題成立2017年全國高中數學聯賽模擬試題13加試（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）設為給定素數，是個整數，均不被整除，且?；ゲ煌?， 設其中記這里，表示整數被除的余數證明：二、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，已知，的角平分線與邊交于點，點分別在邊