1、精選優質文檔-傾情為你奉上講義 無窮小 極限的簡單計算【教學目的】1、理解無窮小與無窮大的概念； 2、掌握無窮小的性質與比較 會用等價無窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法。【教學內容】1、無窮小與無窮大；2、無窮小的比較； 3、幾個常用的等價無窮小 等價無窮小替換； 4、求極限的方法。【重點難點】重點是掌握無窮小的性質與比較 用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法。【教學設計】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質的基礎上,讓學生重點掌握用等價無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習（15分

2、鐘）。【授課內容】一、無窮小與無窮大1.定義前面我們研究了數列的極限、（、）函數的極限、（、）函數的極限這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義：當在給定的下，以零為極限，則稱是下的無窮小，即。例如, 【注意】不能把無窮小與很小的數混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數，任何非零常量都不是無窮小。定義： 當在給定的下，無限增大，則稱是下的無窮大，即。顯然，時，都是無窮大量，【注意】不能把無窮大與很大的數混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數可能是無窮小也可能是無窮大，如 ， ，所以當時為無窮小，當 時為無窮大。2無窮小與無窮

3、大的關系：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。小結：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢。3.無窮小與函數極限的關系:定理1 其中是自變量在同一變化過程（或）中的無窮小.證：（必要性）設令則有（充分性）設其中是當時的無窮小，則 【意義】（1）將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);（2）3.無窮小的運算性質定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.【注意】無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小. 定理3 有界函數與

4、無窮小的乘積是無窮小.如：，推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比較例如，觀察各極限：不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1定義: 設是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且 例1 證：例2 解2常用等價無窮小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如3等價無窮小替換定理：證：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原極限= 8（2）原極限=例4 錯解: =0正解: 故原極限【注意】和、差形式

5、一般不能進行等價無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進行等價無窮小替換。例5 解: 原式三、極限的簡單計算1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數中去，若存在，即為其極限，例如；若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進去了，但我們看出了這是一個型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無窮大為無窮小法例如，實際上就是分子分母同時除以這個無窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用無窮小量性質、等價無窮小量替換求極限例如，（無窮小量乘以有界量）。又

6、如，解：商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節例3例5。6. 利用兩個重要極限求極限（例題參見§1.4例3例5）7. 分段函數、復合函數求極限例如，解: 左右極限存在且相等, 【啟發與討論】思考題1：解： 無界， 不是無窮大結論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：若，且，問：能否保證有的結論？試舉例說明.解：不能保證. 例 思考題3：任何兩個無窮小量都可以比較嗎？解：不能例如當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大，故當時和不能比較.【課堂練習】求下列函數的極限（1）；解：原極限=（2）求【分析】 “”型，拆項。解：

7、原極限=（3） ； 【分析】“抓大頭法”，用于型解：原極限=，或原極限（4）；【分析】分子有理化解：原極限=（5）【分析】型，是不定型，四則運算法則無法應用，需先通分，后計算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四則運算法則失效，使用分母有理化消零因子。 解：原極限=6（7）解: 先變形再求極限.【內容小結】一、無窮小（大）的概念無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內容: 兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:(1) 無窮小（ 大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2） 無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比較:1.反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較。高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階。2.等價無窮小的替換: 求極限的又一種