1、第卷第期年月自然科學版）聊城大學學報（）兩類非線性發展方程的新精確解李寧（）聊城大學數學科學學院，山東聊城摘要利用擴展的（方法，得到廣義的）方程組的一些新的精確解，方程、包括雙曲函數解，三角函數解，有理函數解等關鍵詞擴展的（方法，廣義的精確解）方程組，方程，（）中圖分類號文獻標識碼文章編號引言偏微分方程的求解的問題一直是數學和物理學工作者關注的熱點問題為了得到非線性發展方程的精，（確解，學者們提出了許多行之有效的方法，如經典和非經典李群方法修正的方直接方法，），法等這些方法已經成功應用于計算不同類型非線性方程的精確解本文將利用擴展的（方法，得）包括雙曲函數解，三角函數解，有理函數解到廣義的方程

2、組更多的新精確解，方程、展開法的概述擴展的（）考慮如下偏微分方程）（），（，）是未知函數，方法的應用步驟包括：（，）是關于及其偏導數的已知多項式擴展的（），）第步，作行波變換令（則（就變為一個關于的常微分方程，（），（）第步，假設（有關于（的下述形式的解）（）（）關于（的項共有這里的（滿足二階常微分方程）項）（）（），），其中將（帶入（用最高階導數項的階數與最高階非線性），和都是待定的常數項的次數平衡以確定的值第步，確定超定代數方程組把（和（帶入到（中，令（各項的系數為零，得到關于），的代數方程組，）第步，確定精確解解代數方程組，得到利用（的解得到（的行波解，廣義方程的精確解考慮如下廣義方程收

3、稿日期：）基金項目：國家自然科學基金和中國工程物理研究院聯合基金資助（：通訊作者：李寧，聊城大學學報（自然科學版）第卷（），（）并給出了此時的洋流運動方程年提出考慮地球自轉影響下洋流的運動問題，在反映了旋轉影響的強度，是常數參數），該式中為度量旋轉效應的無量綱參數方程（）決定了色散的類型文獻中用展開法求出了（當±，以及種橢圓±時的精確解，函數表示的周期波解下面用擴展的（方法得到廣義）方程更多新的精確解），）作行波變換（其中帶入（得到方程，（）（）（）（），）（假設（有（式表達的解，把（帶入（得（）（），）平衡（與（可得，此時（寫成，（，）（），）可以得到以下三組解，其中，為

4、任意實數；，）其中，為任意實數；（）（）（），其中，為任意實數，（），把（帶入（并令（相同次冪的系數為，得到相關的代數方程組（見附錄）求解上述）個方程組）限于篇幅，僅寫出對應（的結果，其他情況類似可寫出把（帶入到（可以得到，（）這里的把（式帶入到（式中可以得到種廣義方程的行波解情況當，）（）（），這里的這是廣義方程的雙曲函都是任意的常數，數解情況當，）（）這里的這是廣義，方程的三角函，都是任意的常數，數解，）情況當（，），這里的這是廣義方程的有理函數解是任意的常數注文獻中用展開法求出了廣義以及種±時的精確解，方程當±，第期李寧：兩類非線性發展方程的新精確解以上解除情況在文獻

5、中被提到過，其余解都是新解橢圓函數表示的周期波解方程組的精確解考慮如下方程組，文獻中，利用修正的獲得了同時得到了方法，方程組的對稱群和李代數，方程組的某些新精確解下面用擴展的（方法得到）方程組更多精確解設），），（，（，（）把（代入（得到，（）（）（）（）平衡（式中式中的可設方程組（有以下形式的解與和（與得到，（）（），），）其中，是待定的常數仿照前面單個方程的求解過程，可以得到下述三組系數關系第一組：，（）（）（），這里的，是任意的常數；，（），第二組：（，）（），且是任意的常數；（），第三組：，（）（），其中，）這里的以下利用第一組的結果寫出（的解，把（帶入到（中得到，是任意的常數）（）（

6、），（），）這里的以下是方程（的三組解（），（）（，（）（情況當），這里的，這是，方程組的雙曲函數解是任意的常數，聊城大學學報（自然科學版）第卷（）（情況當（，），這里的，這是方程組的三角函數解都是任意的常數，（），（）（），（）（）情況當，這是，方程組的都是任意的常數，（）有理函數解注以上解都是在其他文獻中都沒有出現過的新解結論本文利用擴展的（方法得到廣義的并通過此方法得到）方程組的精確解，方程，了一些新解附所得到同次冪的代數方程組：；：；：；錄：；：；：；：；：；第期李寧：兩類非線性發展方程的新精確解：；：；：；：；：參考文獻（）（）：王玲維約化、群不變解及守恒律聊城大學學報：自然科學版，董仲舟，方程的對稱、（）：劉希強精確解和守恒律純粹數學與應用數學：，陳美，方程組的對稱，（）：耦合的聊城大學學報：自然科學版，方程組的對稱約化和精確解，陳美（）（）：辛祥鵬維修正聊城大學學報：自然科學版，方程的精確解，張琳琳，（）：劉希強，桑波非線性發展方程的新精確解西北師范大學學報：自然科學版，劉文健，（）：張穎元變系