1、精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業第 1 講任意角和弧度制及任意角的三角函數一、知識梳理1任意角的概念(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)角的分類按旋轉方向正角按逆時針方向旋轉而成的角負角按順時針方向旋轉而成的角零角射線沒有旋轉按終邊位置前提：角的頂點在原點，始邊與 x 軸的非負半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標軸上(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合 S|k360，kZ2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，弧度記作 rad.(2

2、)公式角的弧度數公式|lr角度與弧度的換算1180rad，1 rad1805718弧長公式l|r扇形面積公式S12lr12|r23.任意角的三角函數三角函數正弦余弦正切定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(x，y)，那么精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業y 叫做的正弦， 記作 sinx 叫做的余弦，記作cos yx叫做的正切，記作tan 各象限符號正正正正負負負負正負正負口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦常用結論1象限角2軸線角3三角函數定義的推廣設點 P(x，y)是角終邊上任意一點且不與原點重合，r|OP|，則 sin yr，cos xr，tanyx.二、教材衍化1角225

3、_弧度，這個角在第_象限答案：54二2設角的終邊經過點 P(4，3)，那么 2cos sin _答案：1153一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為_弧度答案：3一、思考辨析精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數值與其終邊上點 P 的位置無關()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)終邊相同的角的同一三角函數值相等()(5)若0，2 ，則 tan sin .()(6)若為第一象限角，則 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易錯糾偏常見誤區|(

4、1)終邊相同的角理解出錯；(2)三角函數符號記憶不準；(3)求三角函數值不考慮終邊所在象限1下列與94的終邊相同的角的表達式中正確的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)解析：選 C由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和弧度，應為42k或 k36045(kZ).2若 sin 0，且 tan 0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：選 C由 sin 0 知的終邊在第三、第四象限或 y 軸的非正半軸上；由 tan 0 知的終邊在第一或第三象限，故是第三象限角故選 C3已知角的終邊在直線 yx 上，且 cos 0，則

5、 tan _解析：如圖，由題意知，角的終邊在第二象限，在其上任取一點 P(x，y)，則 yx，由三角函數的定義得 tan yxxx1.答案：1精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業考點一任意角與弧度制(基礎型)復習指導|了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化核心素養：數學抽象角度一象限角及終邊相同的角1給出下列四個命題：34是第二象限角；43是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確命題的個數為()A1B2C3D4解析：選 C34是第三象限角，故錯誤；433，所以43是第三象限角，故正確；40036040，所以400是第四象限角，故正確；31536045，所以3

6、15是第一象限角，故正確，故選 C2若角是第二象限角，則2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：選 C因為是第二象限角，所以22k2k，kZ，所以4k22k，kZ.當 k 為偶數時，2是第一象限角；當 k 為奇數時，2是第三象限角所以2是第一或第三象限角3集合 |k4k2，kZ中的角所表示的范圍(陰影部分)是()精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業解析：選 C當 k2n(nZ)時，2n42n2，此時表示的范圍與42表示的范圍一樣；當 k2n1(nZ)時，2n42n2，此時表示的范圍與42表示的范圍一樣，故選 C4在7200范圍內所有與 45終邊相同的角為

7、_解析：所有與 45終邊相同的角可表示為：45k360(kZ)，則令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得765360k45360(kZ)，從而 k2 和 k1，代入得675和315.答案：675和3155終邊在直線 y 3x 上，且在2，2)內的角的集合為_解析：如圖，在坐標系中畫出直線 y 3x，可以發現它與 x 軸的夾角是3，在0，2)內，終邊在直線 y 3x 上的角有兩個：3，43；在2，0)內滿足條件的角有兩個：23，53，故滿足條件的角構成的集合為53，23，3，43 .答案：53，23，3，43(1)表示區間角的三個步驟先按逆時針方向找到區域的起始和終止

8、邊界；按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的360360范圍內的角和， 寫出最簡區間；精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業起始、終止邊界對應角，再加上 360的整數倍，即得區間角集合(2)象限角的兩種判斷方法圖象法： 在平面直角坐標系中， 作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；轉化法：先將已知角化為 k360(0360，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角，再由角的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角提醒注意“順轉減，逆轉加”的應用，如角的終邊逆時針旋轉 180可得角180的終邊，類推可知k180(kZ)表示終邊落在角的終邊所在直線上的角角度二扇形的弧長及面積公式已

9、知扇形的圓心角是 ，半徑為 R，弧長為 l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長 l；(2)若扇形的周長為 20 cm，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？【解】(1)603，l103103(cm)(2)由已知得，l2R20，則 l202R，0R0，cos tan 0，得的終邊落在第一或第三象限，由 cos tan cos sin cos sin 0，得的終邊落在第三或第四象限，綜上的終邊落在第三象限故選 C【答案】C三角函數值的符號及角的位置的判斷已知一角的三角函數值(sin ，cos ，tan )中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位

10、置注意終邊在坐標軸上的特殊情況1(2020江西九江一模)若 sin x0，則角 x 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：選 D因為1cos x1，且 sin(cos x)0，所以 0cos x1，又 sin x0，所以角 x 為第四象限角，故選 D2點 P 從(1，0)出發，沿單位圓逆時針方向運動23弧長到達 Q 點，則 Q 點的坐標為()A12，32B32，12C12，32D32，12解析：選 A由三角函數定義可知 Q 點的坐標(x，y)滿足 xcos2312，ysin2332.所以 Q 點的坐標為12，32 .3若角的終邊落在直線 yx 上，則sin |cos |s

11、in |cos _精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業解析：因為角的終邊落在直線 yx 上，所以角的終邊位于第二或第四象限當角的終邊位于第二象限時，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0；當角的終邊位于第四象限時，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0.所以sin |cos |sin |cos 0.答案：0基礎題組練1(多選)下列與角23的終邊相同的角是()A143B2k23(kZ)C2k23(kZ)D(2k1)23(kZ)解析：選 AC與角23的終邊相同的角為 2k23(kZ)，k2 時，423143.2已知點 P(t

12、an ，cos )在第三象限，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：選 B由題意知 tan 0，cos 0，根據三角函數值的符號規律可知，角的終邊在第二象限故選 B3若角的終邊在直線 yx 上，則角的取值集合為()A|k36045，kZB|k234，kZC|k18034，kZD|k4，kZ解析：選 D由圖知，角的取值集合為|2n34，nZ|2n4，nZ|(2n1)4，nZ|2n4，nZ|k4，kZ精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業4已知角的始邊與 x 軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角終邊上的一點 P 到原點的距離為 2，若4，則點 P 的坐標為()A(1， 2

13、)B( 2，1)C( 2， 2)D(1，1)解析：選 D設點 P 的坐標為(x，y)，則由三角函數的定義得sin4y2，cos4x2，即x 2cos41，y 2sin41.故點 P 的坐標為(1，1)5已知點 P(sin xcos x，3)在第三象限，則 x 的可能區間是()A2，B4，34C2，2D34，4解析：選 D由點 P(sin xcos x，3)在第三象限，可得 sin xcos x0，即 sin xcos x，所以342kx42k，kZ.當 k0 時，x 所在的一個區間是34，4 .6已知是第二象限角，P(x， 5)為其終邊上一點，且 cos 24x，則 x_解析：因為 cos x

14、x2524x，所以 x0 或 x 3或 x 3，又是第二象限角，所以 x 3.答案： 37若圓弧長度等于該圓內接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數是_解析：設圓半徑為 r，則圓內接正方形的對角線長為 2r，所以正方形邊長為2r，所以圓心角的弧度數是2rr 2.答案： 28已知點 P(sin ，cos )是角終邊上的一點，其中23，則與角終邊相同的最小正角為_精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業解析：因為23，故 P32，12 ，故為第四象限角且 cos 32，所以2k116，kZ，所以與角終邊相同的最小正角為116.答案：1169已知1|sin |1sin ，且 lg(cos )有意義(1

15、)試判斷角所在的象限；(2)若角的終邊上一點 M35，m，且|OM|1(O 為坐標原點)，求 m 的值及 sin 的值解：(1)由1|sin |1sin ，得 sin 0，所以是第四象限角(2)因為|OM|1，所以352m21，解得 m45.又為第四象限角，故 m0，從而 m45，sin yrm|OM|45145.10.如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，角的始邊與 x 軸的非負半軸重合且與單位圓相交于 A 點，它的終邊與單位圓相交于 x 軸上方一點 B，始邊不動，終邊在運動(1)若點 B 的橫坐標為45，求 tan 的值；(2)若AOB 為等邊三角形，寫出與角終邊相同的角的集合解：(1)由題

16、意可得 B45，35 ，根據三角函數的定義得 tan yx34.(2)若AOB 為等邊三角形，則AOB3，故與角終邊相同的角的集合為精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業|32k，kZ.綜合題組練1 (2020河北唐山第二次模擬)已知角的頂點為坐標原點， 始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊上一點 A(2sin ，3)(sin 0)，則 cos ()A12B12C32D32解析：選 A由三角函數定義得 tan 32sin ，即sin cos 32sin ，得 3cos 2sin22(1cos2)，解得 cos 12或 cos 2(舍去)故選 A2(2018高考北京卷)在平面直角坐標系中， A

17、B， CD， EF，GH是圓 x2y21 上的四段弧(如圖)，點 P 在其中一段上，角以 Ox 為始邊，OP 為終邊若 tan cos sin ，則 P 所在的圓弧是()AABBCDCEFDGH解析：選 C設點 P 的坐標為(x，y)，利用三角函數的定義可得yxxy，所以 x0，所以 P 所在的圓弧是EF，故選 C3(創新型)已知圓 O 與直線 l 相切于點 A，點 P，Q 同時從 A 點出發，P 沿著直線 l 向右運動，Q 沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當 Q 運動到點 A 時，點 P 也停止運動，連接 OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積 S1，S2的大小關系是_解析：設運動速度為 m，

18、運動時間為 t，圓 O 的半徑為 r，則AQAPtm，根據切線的性質知 OAAP，所以 S112tmrS扇形AOB，S212tmrS扇形AOB，精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業所以 S1S2恒成立答案：S1S24(創新型)(2020四川樂山、峨眉山二模)九章算術是我國古代數學成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積12(弦矢矢2)，弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧對弦長， “矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差現有圓心角為23，半徑長為 4 的弧田(如圖所示)，按照上述公式計算出弧田的面積為_解析：由題意可得AOB23，OA4.在 RtAOD 中，易得AOD3，DAO6，OD12OA1242，可得矢422.由 ADAOsin34322 3，可得弦 AB2AD4 3.所以弧田面積12(弦矢矢2)12(4 3222)4