1、食餌捕食者模型摘要自然界中不同種群之間存在著一種有趣的既有依存，又有制約的生存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群乙靠捕食種群甲為生。生態學上稱種群甲為食餌，種群乙為捕食者，二者共處組成食餌捕食者系統（簡稱系統）。為了對食餌、捕食者的數量關系做出分析和預測，建立了食餌捕食者模型：根據微分方程穩定性理論輔之以相軌線分析，對具有自身阻滯作用的兩種群的數量關系做出分析和預測。關鍵詞食餌捕食者，模型，生態學，規律。問題重述討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌捕食者模型，首先根據兩種群的相互關系建立模型，解釋參數的意義，然后進行穩定性分析，解釋平衡點穩定的實際意義，對模型進行相軌線分析來驗證理論分析的正

2、確性。模型建立種群甲（食餌）靠豐富的自然資源生長，而種群乙（捕食者）靠捕食種群甲為生，食餌（甲）和捕食者（乙）在時刻的數量分別記為，是甲的固有增長率，種群甲和乙的最大容量分別為、。數量的演變均遵從規律。于是對種群甲有其中因子反映由于甲對有限資源的消耗導致的對它本身增長的阻滯作用，可解釋為相對于而言單位數量的甲消耗別的供養甲的食物量（設食物總量為1）。當兩個種群在同一自然環境中生存時，考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產生的影響，可以合理的在因子中再減去一項，該項與種群乙的數量（相對于而言）成正比，于是得到種群甲增長的方程為 （1）這里的意義是：單位數量乙（相對于而言）消耗的供養甲的食物量為

3、單位數量甲（相對）消耗的供養甲的食物量的倍。類似的，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙沒有甲的存在會死亡，設其死亡率為，甲為乙提供食物，甲對乙的增長起到了促進作用，乙的增長又會受到自身的阻滯作用，于是得到種群乙增長的方程為 （2）其中：反映食餌對捕食者的供養能力。穩定性分析為了研究種群甲、乙的結局，即時，、的趨向，需對它的平衡點進行穩定性分析。首先根據微分方程（1）、（2）解代數方程組 （3）得到4個平衡點：，。按照判斷平衡點穩定性的方法計算 將4個平衡點，的結果及穩定條件列入下表1.平衡點穩定條件不穩定不穩定表1 種群甲、乙的平衡點及穩定性上表的穩定條件由微分方程穩定性理論分析：“若，則平衡點

4、穩定；若或，則平衡點不穩定”可以得到，且平衡點要在第一象限。在代數方程（3）中記對于，的不同取值范圍，直線和在相平面上的相對位置不同。O.O.模型計算與驗證數值解：記食餌和捕食者的初始數量分別為， （4）為求微分方程（1）、（2）及初始條件（4）的數值解，（并作圖）及相軌線，把用代替，設，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=

5、0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0)>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,相軌線的圖形，時，數值解，的圖形。設，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*

6、x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid, ，時，數值解，的圖形。相軌線的圖形設，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=

7、1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，時

8、，數值解，的圖形。相軌線的圖形設，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，時，數值解，的圖形。相軌線的圖形模型解釋根據模型中與1的大小關系（與1的大小關系定了，與與1的大小關系無關，即點，的穩定性由與1的大小關系決定），說明，兩穩定點在生態學上的意義。當時，點穩定，因食餌不能為捕食者提供足夠食物，即捕食者滅絕，而食餌趨向最大容量；當時，點穩定，這時食餌與捕食者的數量隨時間的增加趨于各自的極限值，而趨于生態平衡，時間足夠長之后，食餌與捕食者將保持自己的數量不會有大的變化。參考文