1、線性代數(shù)一些證明題1題目設(shè)n階可逆矩陣A滿足A=A，求A的特征值。知識點(diǎn)特征值與特征向量 矩陣的行列式解題過程解：因為A=A所以AA=0 所以det(AA)=detA(AE)=det(A)det(AE)=0 A為可逆矩陣，所以det(A)0 所以det(AE)=0 所以A的特征值為1.常見錯誤設(shè)存在，使Ax=x成立則 det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x) (錯誤在于向量取行列式)所以 有成立.又因為A=Adet(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.由于A為可逆矩陣，det(A)0.所以 det(A)=1當(dāng)n為奇數(shù)時，=1.當(dāng)n為偶數(shù)時，=

2、1.相關(guān)例題設(shè)A為n階矩陣,若A=E，試證A的特征值是1或-1. 2題目設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣，且det(A)=1，證明det(E-A)=0.知識點(diǎn)正交矩陣的定義：AA=E單位矩陣的性質(zhì)：EA=AE=A E=E 矩陣運(yùn)算規(guī)律 轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：(A+B)=A+Bdet(A)=det(A) det(AB)=det(A)det(B) det(-A)=(-1)det(A)解題過程 A是正交矩陣EA= AAA= AAEA=( AE)Adet(A)=1det(EA)=det(AE)A)=det(AE)det(A)=det(AE)det(EA)=det(EA)=det(EA)det(AE)= det(EA)=

3、 det(AE)= (1) det(AE)n為奇數(shù)(1)= 1det(AE)=0det(EA)=0常見錯誤誤以為det(EA)= det(E) det(A)，于是det(EA)=1det(A)=11=0det(A)=1 ···=1(其中,為A作初等變換變?yōu)樯先切魏髮蔷€上的元素).det(EA)=（1-）（1-）（1-）.det(E-A)=det(A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)且det(A-E)= （-1）（-1）（-1）.（1-）（1-）（1-）=（-1）（-1）（-1）= (-1)（1-）（1-）（1-）n為奇數(shù)(1)= 1（1

4、）（1）（1）=0det(EA)=0以上證法先把A變?yōu)樯先?，再用E減去變化后的A，再求行列式，這是錯誤的。相關(guān)例題證明：若A為正交矩陣，則det(A)=±1. 3題目試就a,b的各種取值情況,討論下列線性方程組的解,若有解,則求出解。 （1） 知識點(diǎn) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)解題過程解：B= (1)當(dāng)ab0,且a0時，rank(B)=3，增廣矩陣的秩也等于3，而且等于未知數(shù)的個數(shù)，故方程組（1）有唯一解。其解為： (2)當(dāng)a-b=0，且a0時，rank(B)=2,增廣矩陣的秩也等于2，秩小于未知數(shù)的個數(shù)，此時故方程組（1）有無窮多解。其解可由，解得，代入第一個方程得到；一般解為：（3）當(dāng)

5、a=0，b 為任意數(shù)，此時增廣矩陣可化為：可見，rank(B)=2, 但增廣矩陣的秩為3，所以方程組（1）無解，常見錯誤 在討論帶參數(shù)的線性方程時，盡管初等變換結(jié)果正確，也會產(chǎn)生討論不全的錯誤。 如，當(dāng)ab時，就說原方程有唯一解，沒有指出a0，當(dāng)a=b時，就說原方程組有無窮多解，沒有指出a=b0，等等。相關(guān)例題 確定a,b的值，使下列方程組 （1） 有唯一解；（2） 無解；有無窮多解，并求出通解。4題目若線性無關(guān)，其中全不為0. 證明線性無關(guān).知識點(diǎn) 向量線性相關(guān)解題過程 證法一：（從定義出發(fā)） 設(shè)存在常數(shù)，使得 已知，代入上式，得化為： 由題意知：線性無關(guān)由定義，知線性無關(guān)證畢證法二：（由初

6、等列變換，秩相等）由于初等變換不改變矩陣的秩，所以由線性無關(guān)，知的秩為3，所以秩也為3，推出線性無關(guān)證法三：（反證法）假設(shè)線性相關(guān).則存在不全為0的常數(shù)，使得已知，代入上式，得化為： （否則，由得）即 線性相關(guān), 與題目已知條件矛盾.所以假設(shè)不成立, 即 線性無關(guān).5題目 設(shè)是的解且線性無關(guān)，試證的任一解可表示為，其中知識點(diǎn) 基礎(chǔ)解系 方程組解的結(jié)構(gòu) 解題過程證明 由因為 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，也線性無關(guān)，且所以 是的基礎(chǔ)解系因為的任一解可以表示為：的任一解可以表示為： 其中是的一個特解擴(kuò)展式，取，得化簡得令，則的解可以表示為且命題得證另外取時化簡得此時令則的解可以表示為且此時命題也成立常見錯誤不會應(yīng)用定理. 不知兩個非齊次組的解的差是齊次線性方程組的解.6題目 設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，分別屬于的特征向量，證明不是矩陣A的特征向量.知識點(diǎn)特征值 特征向量解題過程用反證法.設(shè) 是A的對應(yīng)的特征向量，則有 (1)已知 ，所以 (2)由(1)(2)知 (3)因為線