1、2020年高考文科數學不等式題型歸納與訓練【題型歸納】題型一一元二次不等式解法及其應用 例1 若a >b >0 , c<d<0,則一定有(D.A.11【解析】由c<d <0: - > >0 ,又d ca >b>0 ,由不等式性質知：a>b>0,所以芻<2d cd c1322例2 關于x的不等式x -2ax -8a < 0 a a 0)的解集為(x1, x2),且 x2 - X = 15 ,則 aD.1525715A. -B. -C.224【答案】A【解析】由 x2 一2ax 8a2 <0 (a a 0),

2、得(x 4a)(x +2a) <0 ,即-2a<x<4a,x1 = 2a,x2 =4a .一 、一 一155 ，- x2 -x1 =4a -(-2a) =6a =15 ,a =一 =一.故選 A .62.， x -9八一例3不等式x一9 > 0的解集是. x-2【答案】(-3,2) 一(3，二)的取值范圍【解析】不等式可化為(x +3)(x -2)(x-3) > 0采用穿針引線法解不等式即可.例4 已知函數f (x) =x2 +mx-1,若對于任意 xWm,m+1,都有f(x)<0成立，則實數 m是.2【答案】(一一,0)2【解析】由題意可得f(x) <

3、;0對于xWm, m+1上恒成立,日口 f (m) =2m2 -1 <0珈/曰.2 八即' '2,解得J <m<0.f (m 1) = 2m 3m ： 02題型二應用基本不等式求函數最值例1 已知x <5 ,則函數y =4x -2 + 1 的最大值.44x -5【答案】1【解析】因4x5<0,所以首先要 調整”符號，又(4x241 $不是常數， 所以對4x-2要進行拆、湊項.；x < ,.-, 5 -4x >0 , 二 y =4x -2 +- = - '5 -4x 十一-(十3 - -2+ 3 144x -55-4x一，1當且僅

4、當5 4x即x=1時，上式等號成立，故當 x = 1時，ymax=1.5 -4x【易錯點】注意x <5，則4x-5為負數，要提-“'使其變"+” .4【思維點撥】 本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值 例2 當0<x<4時，則y =x(82x)的最大值是 .【答案】8.【解析】因為 y =x(82x)=52x(8 2x) <l(2x+8-2x)2 =8222當且僅當2x=82x,即x =2時取等號，所以當 x = 2時，y = x(8 2x)的最大值為8.【思維點撥】 由0 < x m 4知，8-2x>0 ,利用均值不等式求

5、最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。 注意到2x+(8-2x) =8為定值，故只需將y = x(8-2x)湊上一個系數 即可.2_, x2 7x 10例3函數y = -一20 (x A 1)的值域為 。x 1【答案】9, .二【解析】工'十7工十10 (工十1"十5a+1)十4 ，八 4 二y =(x + 1) + 5工十 1x +1x +1當x >T,即x+1 >0時，y之2 J(x+1)父一4+5 =9 (當且僅當x=1時取 匚”號).【思維點撥】 本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離1

6、9例4 已知x >0, y >0 ,且一 + =1,則x + y的最小值為.x y【答案】16【解析】：'x >0, y >0,1+9 =1 ,二 x+y =（x+y，1+9 = +9x+10>6 + 10=16 x ylx y J x yy 9x19.當且僅當上=時，上式等號成立，又 一十一=1,可得x = 4,y=12時，（x+yLn=16. xyx y【易錯點】錯解：x >0, y >0 ,且二十旦=1 ,= x + y = 1 +- |'x + y ）>2 叵 2*Qy = 12x yx yxy '故 x - y

7、min =12錯因：解法中兩次連用均值不等式，在 x + y > 2歷等號成立條件是x = y ,在1+9至2叵等號成立條件 x y - xy-19是一=即y =9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成x y立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法?！舅季S點撥】 多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯 1例5已知a , b為正頭數，2b+ab+b = 30,則函數y =的最小值是 .ab18【易錯點】本題考查不等式 亙上 >Vab (a,bw R5的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知 2不等

8、式ab=a+2b+30(a,b= R5出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到 a+b與ab之間的關系，由此想到不等式且二 >Vab (a,bw R 5 ,這樣將已知條件轉換為含 ab的不等式，進而解得 ab的范圍.2【思維點撥】 這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。題型三線性規劃 -y +2 >0例1已知x + y 4之0 ，則:2x -y -5

9、 _ 0(1) z = x +2y -4的最大值(2) z = x2 + y2 10y +25 的最小值2y 1 , (3)z ='一的取值范圍是x 1(3)【答案】(1) 21;【解析】作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標A(1,3),B(3,1), C(7,9).(1)易知直線x+2y 4 =z過點C時，z最大.所以x= 7,y= 9時，z取最大值21.(2)2 = 乂2+(丫5 2表示可行域內任一點(x,y您|J定點M(0,5)的距離的平方,過點M作直線AC的垂線，易知垂足 N在線段AC上,故z的最小值是92y- -1"2 2 1，(3) z = 2 三一"表

10、不可行域內任一點(x, y將定點Q -1,x-(-1 )<1 一-|連線斜率的27.3 37倍.因為kQA= , kQB =一，所以z的取值氾圍為.匚，二.48_4 2【易錯點】作出直線圖像后要熟練掌握如何找到滿足條件的可行域1.【思維點撥】(1)把直線直線x + 2y -4=z變形為y = -x + z+4可知在y軸上你的截距越大z就越大； 2(2)根據點線距離求即可;，、，11(3)先確定定點 Q -1, - - |再利用斜率求.<2Jlx -1,例2已知xy+1W0,貝Ux2+y2的最小值是2x-y -2<0【答案】5【解析】如圖，只要畫出滿足約束條件的可行域，而x2

11、+y2表示可行域內一點到原點的距離的平方,由圖易知 A1, 2 )是滿足條件的最優解，x2 + y2的最小值是為5.【思維點撥】 本題屬非線性規劃最優解問題。求解關鍵是在挖掘目標關系幾何意義的前提下,尋求最優解。題型四基本不等式的應用作出可行域,例1已知a、b、cwR+，且a+b+c=1。求證:口一1丫1一1丫1一心8.laAb 人 c【答案】va、b、cwR + a+b+c=1/. -1 =1 = blc >Zbc a a a a同理1 _i _2_ac , 1_2Jb上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得 b b c cl1 一W2、ac1 一a = b = c =一時取等節3【思維

12、點撥】 不等式右邊數字8 ,使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2連乘，又1-1 a上a =b_c _2_bc ,可由此變形入手.例 2 若 a>b>1, P=Jg a lg b,Q =)(lg a +lg b), R = lg(9-),則 P,Q,R的大小關系是22【答案】R Q P1【斛析】a > b >1 . . lg a0,lg b >0 ,則 Q =( Ig a+lgb)Jlga “g b = p2_ a b 1R = lg() aIg % ab = Ig ab = Q . R >Q > P.22【思維點撥】 因為Ig a >

13、; 0,lg b a 0所以可以利用均值不等式進行判斷大小.【鞏固訓練】題型一 一元二次不等式解法及其應用.一 21 .不等式x+x 2 M0的解集為.【答案】-2,1【解析】易得不等式x2+x2<0的解集為(2,1).22 .已知關于x的不等式x -ax+2a>0在R上恒成立，則實數 a的取值范圍是 .【答案】0, 8【解析】因為不等式x2 -ax +2a >0在R上恒成立.= (a)2 8a < 0 ,解得0 < a <8 .3 .已知函數f(x)=x2+ax+b(a,bw R)的值域為0 , +2),若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m

14、+ 6), 則實數c的值為.【答案】c = 9【解析】因為f(x)的值域為0,+ 8,所以A=0,即a 2 = 4b, 222 a 一 一一，一 ， ， ，、一一 一 一 a-一一所以x +ax +c=0的兩根，由韋達定理得 2m+6 =a,m(m+6)=c,解得c = 9.44-24.已知函數f(x)=4x 1,x0，則滿足不等式f (1x2)> f(2x)的x的范圍是.1, x ：:：0【答案】(-1,、.2-1)21 - x - 2x 【解析】22=> x = (-1,V2 -1).1 - x 025.已知f(x)的定義域為 R的偶函數，當x至0時，f(x)=x 4x,那么，

15、不等式f(x + 2)<5的解集.【答案】(7,3)【解析】當x >0時，令x24x<5,解得，0&x<5 .又因為f(x)為定義域為 R的偶函數，則不等式f(x+2) <5 等價于5<x+2 <5,即7v x <3;故解集為(-7,3).題型二應用基本不等式求函數最值一 .281.已知x, y, >0, +=1 ,則xy的取小值是 x y【答案】64【解析】xy =xy12 =a2 y J32 = 644y 64 x ” c32-2x y一,281當且僅當一 =一 =3時，即x =4.y = 16,上式取“=,”故(xy in =

16、642.已知0 <x <1 ,則函數的最小值是1 一 x【答案】9【解析】因為0<x<1,所以1x>0。4141所以 y = = x - i1 -xx 1 -x-x 1 -x4 1 -x x=5 9x 1 - x當且僅當4 1 -x x2一時，即x=2 ,上式取“=：故Ymin =933.若 log4（3a +4b ）=log2 Vab ,則 a+b 的最小值是（）A. 6+2V3B. 7 +233C. 6+4、；3D. 7+4<3【解析】 由已知得3a+4b =ab,且ab >0,可知a >0,b >0 ,生+3a > 7+4>

17、;/3 .4 34所以一+一 =1 （a >0,b >0）, a+b=（a + b）（ a b當且僅當他=3a時取等 a b4.若2x+2y =1 ,則x + y的取值范圍是（A. 0,2B.0C.-2,-：）D. （00,-2【解析】因為1所以x y=2x +2y 至2,2x 2y ,即 2x也 <2 ,< -2 ,當且僅當2x =2y,即x = y時取等5.若正實數x ,y滿足xy=2x + y+6 ,則xy的最小值是【答案】18 【解析】因為 x>0, y>0 ,所以 xy = 2x + y+6±2,2xy+ 6, xy-2厄亍-6 2 0,

18、解得Jxy主3后或Jxy WJ2 （舍） 等號當且僅當2x = y=6時成立，故xy的最小值為18.題型三線性規劃2x - y <21.設變量x、y滿足約束條件d x y2-1 ,則z =2x +3y的最大值為 x y -1【答案】18【解析】如圖，畫出可行域，得在直線 2x y = 2與直線x y = -1的交點A(3, 4虺，目標函數z最大值為18x 0Qy 0Q 一一， 一，_，2.在約束條件下，當3ESE5時，目標函數z = 3x+2y的最大值的變化范圍是()y x _ sy 2x < 4A. 6,15B. 7,15C. 6,8D. 7,8【答案】D【解析】 畫出可行域如圖

19、所示 ，當3Esc4時，目標函數z=3x + 2y在B(4 s,2s 4)處取得最大值，即 Zmax =3(4 s)+2(2s4) =s+4引7,8);當4MsM5時，目標函數 z = 3x+2y在點E(0, 4)處取得最大值，即 Zmax =3父0 +2M4 =8，故 zW7,8,從而選 D.3.在平面直角坐標系中，不等式組«x-y4y±0()A. 4&B.4【答案】B【解析】如圖，作出可行域，易知不等式組-2上0表示,的平面區域的面積是C. 242D.2x + y-2E0,«x y+2之0表小的平面區域7個一'x-y=-2y之0hr+ 7 - sx + y -2 <0角形。容易求二角形的三個頂點坐標為A(0,2 ),11的面積為：S =-| BC |，| AO |二-父4父2 =4.從而選 B 22題型四基本不等式的應用1 . 91.已知x >0, y>0且一十=1,則使/、等式x + x yB(2, 0), C(-2, 0).T#二角形/、.y至m恒成立的實數m的取值范圍是.y+2x=4【答案】m -二,1619 / x y 9x 9y (10 y 9x (【解析】 令 x+y=k,x>0, y>