1、第三章 剛體定軸轉動 在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體 剛體在繞定軸轉動時所遵循的力學規律。 本本 章章 教教 學學 內內 容容 : : 剛體的運動及描述剛體的運動及描述 剛體定軸轉動的轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理上講內容：基本概念上講內容：基本概念1. .角動量角動量2. 轉動慣量轉動慣量iiimrJ2mrJd23、質點角動量的時間變化率質點角動量的時間變化率MFrtLddvmrprL質點質點定軸剛體定軸剛體JmrLiiiz2質點系質點系iiiiiiiiivmrprLL4、質點系角動量

2、的時間變化率、質點系角動量的時間變化率外外iiFrMtLidd質點系質點系總總角動量的時間變化率等于質點系所受角動量的時間變化率等于質點系所受外外力矩的矢量和力矩的矢量和 (合外力矩合外力矩 )5、定軸轉動剛體、定軸轉動剛體JMz剛體剛體 的的 定軸定軸轉動定理轉動定理表明表明：剛體的角加速度與外力對轉軸的力矩：剛體的角加速度與外力對轉軸的力矩 成成正比正比，與剛體對該軸的轉動慣量成，與剛體對該軸的轉動慣量成反比反比。例例1:1: 一定滑輪的質量為一定滑輪的質量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕，一輕繩兩邊分別系繩兩邊分別系 和和 兩物體掛于滑輪上，繩不兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑

3、動。不計軸的摩擦，初伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規律。角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規律。m1m2mr2m1mrm已知：已知：0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度JMz剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律解：解：在地面參考系中，分別以在地面參考系中，分別以 為研究對象，用隔離法，分別以牛頓為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。mmm,21思考：思考：?2121TTaa 以向下為正方向以向下為正方向1111amTgm(1):1m以向上為正

4、方向以向上為正方向2222amgmT(2):2m2m1mrmm1gT1a1a2T2m2gr+1T2TNmg四個未知數：四個未知數：三個方程三個方程 ？,2121TTaaa繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：)4(ra 解得：解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210以順時針方向為正方向以順時針方向為正方向對滑輪對滑輪:rTrTmr21221(3)例例2. 質量為質量為 M 的勻質圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的勻質圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質量為的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質量為 m、長為

5、、長為 l 的勻質柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試的勻質柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側繩長差為求當圓盤兩側繩長差為 s 時，繩的加速度的大小。時，繩的加速度的大小。解：解：在地面參考系中，建立如圖在地面參考系中，建立如圖 x 坐坐標，設滑輪半徑為標，設滑輪半徑為 r 有：有：ox1x2sMABABrxmrxxBBABAAl21,2BB1AAxlmmxlmmrlmmAB21xxsox1x2sMABABrxmCBCA用隔離法列方程用隔離法列方程: (以逆時針方向為正以逆時針方向為正)2221rmMrJJJABABMamTgmAA1JrTrT21amgmTBB221

6、xxsra又：解得：解得：lMmmgsa)21(T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgMgN 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 起 跳空中翻滾入水 高空跳水是一種十分驚險的跳水運動，運動員從很高的懸崖上或特制的超高跳臺上起跳并完成空中動作后入水。在比賽時，為得到更好的成績，運動員為何時而盡量卷縮四肢，時而伸開四肢呢？ 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 力矩的功力矩的功五.動能定理1.力矩的功Fdrr dOs dzPFrd力 在位移 上所做的元功為dsin2cosdddFr)(sFrFA力 對轉軸 Z 的力矩的大小為 Fs

7、inFrM ddMA21dMA力矩對剛體做的功 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 動能定理動能定理 2.定軸轉動的動能2222212121JrmrmEEiiiiiiikik 即：剛體繞定軸轉動的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角速度平方乘積的一半。2k12Emv2k12EJ 比較質點的動能公式和剛體定軸轉動的動能公式比較質點的動能公式和剛體定軸轉動的動能公式 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 動能定理動能定理 3.定軸轉動的動能定理將轉動定律代入力矩功的表達式可得： ddddddJtJJA則外力矩對剛體作功為 21222121

8、dd21JJJAA 即：合外力矩的功等于剛體轉動動能增量，稱此為剛體繞定軸轉動的動能定理。JM 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 動能定理動能定理 例題1：一質量為m，長度為l的均質細桿，可繞通過其一端O且與桿垂直的光滑水平軸轉動。若將此桿在水平位置時由靜止釋放，求當桿轉到與水平方向的夾角為30o時的角速度?轉動慣量公式為lOgmC解：(1)應用剛體繞定軸的轉動定律求解。C點是均質細桿的質心,對質量分布均勻的剛體，則其重心就是質心。 根據轉動定律 ,有 JM mllmg)31(cos212231MlJ 分離變量后，積分得lglg23sin3 大大 學學 物物

9、理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 動能定理動能定理 (2)應用剛體繞定軸轉動的動能定理求解。根據定軸轉動的動能定理 ，21222121dJJAA222606121dcos21mlJlmg積分得 lg23有六六. . 角動量定理的角動量定理的積分形式積分形式積分形式積分形式微分形式微分形式質點質點質點系質點系定軸剛體定軸剛體LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外外2121ddtZtJJtMLtMdd ddJtMZLtMdd 外(1) (1) 力矩對時間的積累：力矩對時間的積累：角沖量角沖量定義：定義：21dtttM效果：效果：改變角動量改變角動量(3) (3)

10、 同一式中，同一式中， 等角量要對同一等角量要對同一參考點或同一軸計算。參考點或同一軸計算。,JLMp變化量與變化量與 對應，描述力對時間的累積效應對應，描述力對時間的累積效應21dtttF變化率與變化率與 對應，描述力的瞬時效應對應，描述力的瞬時效應F(2) 比較比較：L變化量與變化量與 對應，描述力矩對時間的累積效應對應，描述力矩對時間的累積效應21dtttM變化率與變化率與 對應，描述力矩的瞬時效應對應，描述力矩的瞬時效應M七七. . 角動量守恒定角動量守恒定律律恒量時恒量時恒量時zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：對定軸轉動剛體，當對定軸轉動剛體，當0軸M時，時，恒量軸L由角

11、動量定理：由角動量定理：當當時，時，0外ML恒矢量恒矢量研究對象：質點系研究對象：質點系0ddtLM外 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 角動量定理角動量定理 當質點系當質點系(或剛體或剛體)所受外力對某參考點所受外力對某參考點(或軸或軸)的力矩的矢的力矩的矢量和（或代數和）為零時，質點系量和（或代數和）為零時，質點系(或剛體或剛體)對該參考點對該參考點(或或軸軸)的角動量守恒。的角動量守恒。角動量守恒定律：角動量守恒定律：1)守恒條件：守恒條件：或或0軸軸M0外外M能否為能否為?0dtM外外2)與動量守恒定律對比：與動量守恒定律對比：當當時，時，0外外ML恒

12、矢量恒矢量p恒矢量恒矢量當當時，時，0外外F彼此獨立彼此獨立 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 角動量定理角動量定理 . . 一半徑為一半徑為R、質量為、質量為 M 的轉臺，可繞通過其中心的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動的豎直軸轉動, , 質量為質量為m 的人站在轉臺邊緣，最初人和的人站在轉臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周 ( (不計阻力不計阻力) )，相對，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？于地面，人和臺各轉了多少角度？選地面為參考系，設對轉軸選地面為參考系，設對轉軸人：人：J , ; 臺：臺：J , 系統對轉軸

13、角動量守恒系統對轉軸角動量守恒0JJ2212MRJmRJMm2R人相對地面轉過的角度：人相對地面轉過的角度：MmMt22d人地臺相對地面轉過的角度：臺相對地面轉過的角度：Mmmt2)2(2d臺地臺地人地地臺人地人臺t d人地t d 臺地人沿轉臺邊緣跑一周：人沿轉臺邊緣跑一周：2ddtt2d2dtMmtMm2角動量守恒定律應用舉例角動量守恒定律應用舉例(1)(1)對于單一剛體：對于單一剛體：J J、 均不變，均不變， 則勻速轉動則勻速轉動(2) 對于系統對于系統: J Ji、 均可以變化，但均可以變化，但 不變不變iiiJ角動量守恒定律適用于以下情況：角動量守恒定律適用于以下情況：(3) 對于變

14、形體：對于變形體： 均可以變化，但均可以變化，但 不變不變,JJ(a)(b)圖3.4.3請看請看: 貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守恒過程。恒過程。見見PCAI課件分析課件分析為什么貓從高處落下時總能四腳

15、著地？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？(4)角動量定理適用于一切轉動問題，大至天體，小至角動量定理適用于一切轉動問題，大至天體，小至粒子、電子粒子、電子.體操運動員的體操運動員的“晚旋晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水芭蕾、花樣滑冰、跳水.為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？有心力場中的運動有心力場中的運動物體在物體在有心力有心力作用下的運動作用下的運動力的作用線始終通過某力的作用線始終通過某定點定點的力的力力心力心有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對力心的角動量守恒。對力心的角動量守恒。應用廣泛，例如：應用廣泛，

16、例如： 天體運動天體運動（行星繞恒星、衛星繞行星（行星繞恒星、衛星繞行星.） 微觀粒子運動微觀粒子運動（電子繞核運動；原子核中質子、中（電子繞核運動；原子核中質子、中子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射.）已知已知: 地球地球 R = 6378 km 衛星衛星 近地近地: L1= 439 km v1 = 8.1 kms-1 遠地遠地: L2= 2384 km 求求 : v2 衛星衛星 質點質點 m 地球地球 均勻球體均勻球體o.dFmdmdmdF1dF2對稱性：引力矢量和過地心對稱性：引力矢量和過地心 對地心力矩為零對地心力矩為零衛星衛星 m 對地心

17、對地心 o 角動量守恒角動量守恒L2mL1衛星衛星 m 對地心對地心 O角動量守恒角動量守恒11212skm3 . 61 . 8238463784396378vLRLRv2211LRmvLRmv 增加通訊衛星的可利用率增加通訊衛星的可利用率探險者號衛星偏心率高探險者號衛星偏心率高近地近地1411skm1038. 3km9 .160vL1252skm1225km1003. 2vL大大充充分分利利用用t遠地遠地小小很很快快掠掠過過tL2mL1.O1m1R1.O2R2m21020. 如圖所示，質量分別為如圖所示，質量分別為m1和和m2、半徑為、半徑為R1和和R2的的兩個均勻圓柱的轉軸相互平行。最初它

18、們在水平面內兩個均勻圓柱的轉軸相互平行。最初它們在水平面內分別以分別以 和和 沿同一方向轉動。平移二軸，使兩圓沿同一方向轉動。平移二軸，使兩圓柱體的邊緣接觸，求接觸處無相對滑動時，兩個圓柱柱體的邊緣接觸，求接觸處無相對滑動時，兩個圓柱體的角速度體的角速度 。2021和和10解解: 因摩擦力為內力因摩擦力為內力,外力過外力過軸軸 , 外力矩為零外力矩為零,則：則：J1 + J2 系統角動量守恒系統角動量守恒 ，以順時針，以順時針方向為正：方向為正：.O1m1R1.O2R2m212接觸點無相對滑接觸點無相對滑 動動: 22211RR 3212111RmJ 4212222RmJ 聯立聯立( (1)、

19、(2)、(3)、(4)式求解，對不對？式求解，對不對？ .O1m1R1.O2R2m212 12211202101JJJJ問題問題: (1) 式中各角量是否對同軸而言？式中各角量是否對同軸而言？ (2) J1 +J2 系統角動量是否守恒？系統角動量是否守恒？0 )2(0 ) 1 (1221FFMOMO為軸為軸為軸為軸系統角動量不守恒！系統角動量不守恒！分別以分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：為研究對象，受力如圖：O2F2O1.F1f1f2對對m1 , m2 ，受力如圖：，受力如圖：選順時針轉動為正向，選順時針轉動為正向，分別對分別對m1 , m2 應用角動量定理：應用角動量定理：101

20、111d21JJtfRtt202222d21JJtfRtt對對O1:對對O2:222221112121RmJRmJ2211RR無無滑滑動動121202210111)(RmmRmRm221202210112)(RmmRmRmO2F2O1.F1f1f2121020 水平方向：水平方向： Fx = 0 ， px 守恒守恒 mv0 = (m+M)v 對對 O軸：軸： ， 守恒守恒 mv0 l = (m+M)vl0軸M0軸L質點質點 定軸剛體定軸剛體（不能簡化為質點）（不能簡化為質點）0vOlmMFxFy(2)軸作用力不能忽略，動量不守恒，軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對但對 O 軸合力矩為零，角動量

21、守恒軸合力矩為零，角動量守恒lvMlmllmv22031(1)OlmM0v質點質點質點質點柔繩無切向力柔繩無切向力 大大 學學 物物 理理 C 第三章第三章 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 角動量守恒角動量守恒 vovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統以子彈和桿為系統機械能機械能不不守恒守恒 .角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統以子彈和沙袋為系統動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統圓錐擺系統動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒 .子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩

22、質質量量不不計計回顧回顧vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0點角動量守恒對系統不守恒系統軸軸mMFO不計滑輪和繩子的質量0軸FA、B、C系統系統 不守恒；不守恒；p0軸MA、B、C系統對系統對 o 軸角動量守恒軸角動量守恒vRmmmRvmmcBABA1回顧練習回顧練習C BNxNyAo：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，繩秒，繩不可伸長。求不可伸長。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v = ?：m、M系統水平方向動量守恒系統水平方向動量守恒(F x = 0)豎直方向動量不守恒豎直方向動量不守恒(繩沖力不能忽略繩沖力不能忽略)對對O點軸

23、角動量守恒點軸角動量守恒(外力矩和為零外力矩和為零)OmMv300vvMmmv30sin0或：或：90sin30sin0lMmvlmv得：得： v = 4 ms-1解一解一：m 和和 M2 系統水平方向動量守恒系統水平方向動量守恒 mv0 = (m+M2)v解二解二： m 和和 (M1+ M2 )系統水平系統水平方向動量守恒方向動量守恒 Mv 0 = (m + M1 + M2)v解三解三： m v 0 = (m + M2) v + M1 2v以上解法對不對？以上解法對不對？. 已知已知一輕桿，一輕桿，M1 = m , M2 = 4m ,油灰球油灰球 m，m 以速以速度度 撞擊撞擊 M2 ，發生

24、完全非彈性碰撞。，發生完全非彈性碰撞。 求：求：撞后撞后M2的速率的速率 v。0vM2M1m0v2l2lA因為相撞時軸因為相撞時軸A作用力不能忽略作用力不能忽略不計，故不計，故系統動量不守恒系統動量不守恒。因為重力、軸作用力過軸，對軸因為重力、軸作用力過軸，對軸力矩為零，故力矩為零，故系統角動量守恒系統角動量守恒。lvMlvMmlmv2221210或：或：由此列出以下方程：由此列出以下方程：vlvllMlMmlm2;22200212202得：得：90vv M2M1m0v2l2lA 0 0恒恒矢矢量量外外ppF恒恒矢矢量量外外L LM 0 00dd非非保保內內外外AAdE = 0 E=恒量恒量：

25、 動量、角動量、能量守恒定律彼此獨立動量、角動量、能量守恒定律彼此獨立 恒恒矢矢量量p恒恒矢矢量量L dE = 0 E = 恒量恒量時間平移對稱性時間平移對稱性空間旋轉對稱性空間旋轉對稱性空間平移對稱性空間平移對稱性已知：已知：光滑桌面，光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ， 求：求：Bv0v思考：思考：分幾個階段分幾個階段處理？處理？各階段分別各階段分別遵循什么規遵循什么規律？律？0lk0vmMABvBM+mloM + m+ 彈簧彈簧只有彈力作功只有彈力作功0非保內外AA機械能守恒機械能守恒 2021221221 llkvMmvMmBA 過程過程研究對象研究對象條件條件原理原理

26、Am與與M相撞相撞A BA BM + m各力力矩各力力矩都為零都為零0 外外M角動量守恒角動量守恒 sin0lvMmlvMmBA 由此可解出：由此可解出：BAvvM + mmg與與N平衡平衡彈簧為原長彈簧為原長動量守恒動量守恒 AvMmmv 00 外外F四大定理、三大守恒四大定理、三大守恒四大定理四大定理1. .動能定理動能定理2. .功能原理功能原理3. .動量定理動量定理4. .角動量定理角動量定理三大守恒三大守恒1.機械能守恒機械能守恒. .動量守恒動量守恒. .角動量守恒角動量守恒力學內容總結力學內容總結平動平動轉動轉動關系關系位移位移速度速度加速度加速度12rrrtrvd/dtvad

27、/d角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度12t d/dt d/d切向加速度切向加速度tvad/d法向加速度法向加速度rvan/2rrrvra2ran22naaa42ra勻變速直線運動勻變速直線運動atvv02/20attvxxavv2202勻變速轉動勻變速轉動t02/20tt2202平動平動轉動轉動tttFI0d動量動量沖量沖量tttM0d沖量矩沖量矩vmp動量動量JLZ 剛體角動量角動量prL 質點質點動量定理質點動量定理00dvmvmtFtt質點系動量定理質點系動量定理00dpptFtt角動量定理角動量定理00dLLtMtt其中其中vmp動量守恒定律動量守恒定律pp0當合外力為當合外力為0時時角動量守恒定律角動量守恒定律LL0當合外力矩為當合外力矩為0時時平動平動轉動轉動平動慣性平動慣性 質量質量m轉