1、因式分解的高級(jí)方法一雙十字相乘法1雙十字相乘法原理計(jì)算從計(jì)算過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，乘積中的二次項(xiàng)只和乘式中的一次項(xiàng)有關(guān)，而與常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)；乘積中的一次項(xiàng)，只和乘式中的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系；乘積中的常數(shù)項(xiàng)，只和乘式中的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系。2所以運(yùn)用雙十字乘法對(duì)型的多項(xiàng)式分解因式的步驟：（1）用十字相乘法分解前三項(xiàng)組成的二次三項(xiàng)式；（2）在這個(gè)十字相乘圖右邊再畫(huà)一個(gè)十字，把常數(shù)項(xiàng)分解為兩個(gè)因數(shù)，填在第二個(gè)十字的右端，使這兩個(gè)因數(shù)在第二個(gè)十字中交叉之積之和，等于原式中含的一次項(xiàng)的系數(shù)E，同是還必須與第一個(gè)十字中左列的兩個(gè)因數(shù)交叉相乘，使其交叉之積之和等于原式中含的一次項(xiàng)的系數(shù)D二對(duì)稱(chēng)式與輪換對(duì)稱(chēng)式【定義1】一個(gè)元代

2、數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，即對(duì)于任意的（），都有那么，就稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為元對(duì)稱(chēng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)式。例如，都是對(duì)稱(chēng)式。如果元對(duì)稱(chēng)式是一個(gè)多項(xiàng)式，那么稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。由定義1知，在對(duì)稱(chēng)式中，必包含任意交換兩個(gè)字母所得的一切項(xiàng)，例如，在對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式中，若有項(xiàng)，則必有項(xiàng)；若有項(xiàng)，則必有，項(xiàng)，這些項(xiàng)叫做對(duì)稱(chēng)式的同形項(xiàng)，同形項(xiàng)的系數(shù)都相同。根據(jù)對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的定義，可以寫(xiě)出含個(gè)字母的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的一般形式，例如，含有三個(gè)字母的二次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的般形式是：【定義2】如果一個(gè)元多項(xiàng)式的各項(xiàng)的次數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)多項(xiàng)式為元次齊次多項(xiàng)式。由定義2知，元多項(xiàng)式是次齊次多項(xiàng)式，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)

3、任意實(shí)數(shù)有例如，含三個(gè)字母的三元三次齊對(duì)稱(chēng)式為： 【定義3】一個(gè)元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式均改變符號(hào)，即對(duì)于任意的，都有那么就稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為元交代式。例如，均是交代式?！径x4】如果一個(gè)交代數(shù)式，如果將字母以代，代代代后代數(shù)式不變，即那么稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為元輪換對(duì)稱(chēng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)輪換式。顯然，對(duì)稱(chēng)式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱(chēng)式。例如，是對(duì)稱(chēng)式也是輪換式；是輪換式，但不是對(duì)稱(chēng)式。對(duì)稱(chēng)式、交代式、輪換式之間有如下性質(zhì)：（1）兩個(gè)同字母的對(duì)稱(chēng)式的和、差、積、商仍是對(duì)稱(chēng)式； （2）兩個(gè)同字母的交代式的和、差是交代式它們的各、商是對(duì)稱(chēng)式； （3）同字母的對(duì)稱(chēng)式與交代式的積、商是交代式；

4、 （4）兩個(gè)同字母的輪換式的和、差、積、商是交代式； （5）多變無(wú)的交代多項(xiàng)式中必有其中任意兩變?cè)畹囊蚴??！径x5】下面?zhèn)€對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式稱(chēng)為元基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。例如，二元基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式是指，三元基本對(duì)稱(chēng)式是指當(dāng)你學(xué)完了高等代數(shù)的時(shí)候就會(huì)知道，任何一個(gè)元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式都可以表示為基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的多項(xiàng)式。這個(gè)結(jié)論對(duì)解題的指導(dǎo)作用。2對(duì)稱(chēng)式、輪換式、交代式在解題中的應(yīng)用 為了初中學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，我們?cè)诒局v里主要介紹二元和三元的情形，對(duì)于多元的情形，只需作類(lèi)似的處理即可。 下面是利用對(duì)稱(chēng)式、輪換式、交代式解題的一些常用技巧（1）若是對(duì)稱(chēng)式，則在解題中可設(shè)。（為什么？） （2）若是對(duì)稱(chēng)式，則當(dāng)滿足性質(zhì)時(shí)，也滿

5、足性質(zhì)。 （3）若是輪換式，則在解題中可設(shè)最大（?。?，但不能設(shè)。（為什么？） （4）若是輪換式，且滿足性質(zhì)，則也滿足性質(zhì)。 （5）若是交代多項(xiàng)式，則是的因式，即其中是對(duì)稱(chēng)式。 其中是對(duì)稱(chēng)式。 在利用對(duì)稱(chēng)式作因式分解時(shí)，齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，齊次輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，齊次交代多項(xiàng)式是常用的。 齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的一般形式：（1）二元齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式一次：， 二次： 三次：（2）三元齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式 一次： 二次： 三次： 判定是否為多項(xiàng)式的因式的方法是：令，計(jì)算，如果，那么就是的因式，在實(shí)際操作時(shí)，可首先考慮的如下特殊情形：三拆、添項(xiàng)法將多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)符號(hào)相反的項(xiàng)，使得便于用

6、分組分解法進(jìn)行分解因式例如：四換元法將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新字母替代它，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，分解后要注意將新字母還原例如：，設(shè)，則原式，最后再換回來(lái)就是五主元法當(dāng)題目中的字母較多、問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，我們可以把某一字母作為主元，而將其他字母作為常數(shù)去解決問(wèn)題例如：六：因式定理與待定系數(shù)（1）若時(shí)，, 即，則多項(xiàng)式有一次因式；（2）若兩個(gè)多項(xiàng)式相等，則它們同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相等一考點(diǎn)：1雙十字相乘法；2對(duì)稱(chēng)式與輪換對(duì)稱(chēng)式；3拆、添項(xiàng)法；4換元法；5主元法；6因式定理與待定系數(shù)二重難點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)式與輪換對(duì)稱(chēng)式；拆、添項(xiàng)法三易錯(cuò)點(diǎn)：因式分解過(guò)程中計(jì)算錯(cuò)誤題模一：雙十字相乘法 （

7、1） （2）【答案】 （1）（2）【解析】 （1）先用十字相乘法分解，再將常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)寫(xiě)在第二個(gè)十字的右邊，由于第2列與第3列交叉相乘之積的和等于8，再看第1列與第3列交叉相乘之積的和等于13x，那么原式就可以分解成（2） （1） （2）【答案】 （1）（2）【解析】 （1）=（2）=題模二：輪換對(duì)稱(chēng)式法 分解因式【答案】 見(jiàn)解析【解析】 是它的因式。又因?yàn)槭?次齊次式，所以它還有一個(gè)一次對(duì)稱(chēng)式因式于是，可表示為令得， 分解因式【答案】 見(jiàn)解析【解析】 是3次齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式令，得是的一個(gè)因式故它的另一個(gè)因式比為二次齊次對(duì)稱(chēng)式所以可表示為令，得再令，得所以題模三：拆、添項(xiàng)法 【答案】 【解析

8、】 題模四：換元法 因式分解：【答案】 【解析】 令，則原式題模五：主元法 【答案】 【解析】 題模六：因式定理與待定系數(shù)法 因式分解：【答案】 【解析】 以 （常數(shù)6的約數(shù)）分別代入原式，若值為0，則可找到一次因式，然后用除法或待定系數(shù)法，求另一個(gè)因式。解：時(shí)，原式有一次因式，隨練1.1 因式分解：【答案】 【解析】 隨練1.2 因式分解：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 可設(shè)，可求出隨練1.3 分解因式：【答案】 【解析】 隨練1.4 分解因式：【答案】 【解析】 隨練1.5 分解因式：【答案】 【解析】 隨練1.6 因式分解：【答案】 【解析】 用最高次項(xiàng)的系數(shù)2的約數(shù)，別去除常數(shù)項(xiàng)3的約數(shù)，得商±1，±2，再分別以這些商代入原式求值，可知只有當(dāng)時(shí)，原式值為0故可知有因式設(shè)（a是待定系數(shù)）比