1、第 21 卷 第 8 期牡丹江大學學報Vol.21 No.82012 年 8 月Journal of Mudanjiang UniversityAug. 2012文章編號：1008-8717（2012）08-0119-04含參變量無窮積分一致收斂性的判斷技巧與應用劉 紅 玉（隴南師范高等專科學校數學系, 甘肅 成縣 742500）摘 要：在探討各類數學分析教材中關于含參變量無窮積分的定義和判斂方法的基礎上,通過幾個常見問題 的分析解答,歸納出含參變量無窮積分一致收斂性的判斷的若干技巧,并討論了含參變量無窮積分在學習和實踐中的 應用價值.關鍵詞：含參變量反常積分；一致收斂性；類比；探索式教學中圖

2、分類號：G642 文獻標識碼：A含參變量無窮積分是分析學中的重要內容，但在教學的過程中學生很難掌握.一致收斂是含參變量無窮積分的一 個重要性質.有效地判別含參變量無窮積分的一致收斂對進一步研究含參變量無窮積分的性質起著重要的作用.本文 對含參變量無窮積分的一致收斂性的判斷方法做了總結并指出了學生在學習過程中應注意的問題，以便學生平時學 習或考研時參考.反常積分包括無窮區間積分和無界函數反常積分兩種形式.本文只討論在區間 a,+ )上的無窮區間+ b無窮積分 a f (x,u)dx .對于 f (x,u)dx ，以及無界函數的反常積分，可以類似地得到相應的結果.一、含參變量無窮積分一致收斂性的判

3、斷方法的歸納和總結1利用定義判斷若 a+ f (x,u)dx 對 u I 逐點收斂，要證明 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂，即要證明 A+ f (x,u)dx 在 I上一致收斂于 0 （當 A + 時）即： > 0, A0 > 0, 當 A > A0 時有A+ f (x,u)dx< (u I ) ； 要 證 a+ f (x,u)dx 對 u I 非 一 致 收 斂 ， 即 要 證 明 ： > 0,A > 0, A > A 及 u I ，使得+ f (x,u )dx .00101A1012利用 Cauchy 準則判斷+ af (x,u)dx

4、 在 I 上一致收斂的充要條件是 > 0, A0> A0 時，有> a, 當 A> AAA12 f (x,u)dx < 判斷一致收斂的 M 判別法， Abel 與 Dirichlet 判別法也是根據 Cauchy 準則證明出來的.3Weierstass 判別法（ M 判別法）設 a+ f (x,u)dx 在 u I 上收斂，如果（1） f (x,u) F (x)(x a,u I ) ，（2） a+ F (x)dx 收斂，則 a+ f (x,u)dx 關于 u I 一致收斂.收稿日期：2012-05-20作者簡介：劉紅玉（1980），女，甘肅清水人，講師，研究方向：

5、數學分析和概率統計的教學和研究。 119使用 M 判別法，關鍵在于將被積函數的絕對值 f (x,u) 適當地放大，以找出函數 F(x) （優函數），使得f (x,u) F (x)(x a,u I ) 且 a+ F (x)dx 收斂.則 a+ f (x,u)dx 關于 u 在 I 上一致收斂.在判別函數項級數(函數列)一致收斂時，需要對某些表達式進行適當放大，從而達到判別函數項級數(函數列)一 致收斂，這種方法叫放大法.值得注意的是上面說的是判別含參變量無窮積分的一致收斂常用的三個判別法則.從這三 個法則我們可以看出無論是用哪一個定理，要實現對含參變量無窮積分一致收斂的判別，均要對一定的表達式進

6、行 有效的放大.放大法的技巧有以下幾種：a. 利用已知不等式進行放大如利用柯西不等式: (ab f (x)g(x)dx)2 ab f 2 (x)dxab g 2 (x)dx 進行放大b. 通過求最大值進行放大 c. 利用 Taylor 公式等進行變形后放大 d. 利用遞推的方法進行放大 e. 確界法 f. 利用 Abel 變換進行放大利用 Cauchy 收斂準則證明含參變量無窮積分的一致收斂性時一個重要的問題是將“片斷” AA12 f (x,u)dx進行變形，這種變形的一個重要方法是利用 Abel 變換.M 判別法，使用比較方便，但適用面較窄。特別若所討論積分本身一致收斂，同時又是條件收斂時，

7、顯然，M 判別法，對于這種情況是無能為力的.只好用下面的判別法.證明：含參變量積分 0+cos x2ydx在 < y < + 上一致收斂.例11 + x2cos x2 y1+ 1證明對 < y < + ，有無窮積分 0dx 收斂，故含參變量積分x2+11 + x21+ x220+cos x ydx 在 < y < + 上一致收斂.21 + xcos x2 y1+ 1但我們也可以這樣做，但無窮積分 0dx 收斂嗎？不收斂.x2+ 1x2x2+ cos xy例2 證明：含參變量積分 1dx在 < y < + 上一致收斂.x2+ y2cos xy1+

8、1證明對 < y < + ，有無窮積分 1dx 收斂，故含參變量積分x2+ y2x2x2+ cos xy dx 在 < y < + 上一致收斂.1 x2 + y 2M 判別法得的結論是絕對一致收斂，但并不是所有絕對收斂的積分都能用 M 判別法來判斷.112積分 1+ e( x)dx 在 0 < < 1上雖然絕對一致收斂，但并不能用 M 判別法進行判斷1.例 3 2分析我們首先來證明該積分一致收斂；其次因被積函數為正，故也是絕對一致收斂；最后只須證明它沒有優函數 F(x) .1121事實上，假若 e( x) F (x)(x 1, (0,1) ，那么對任意 x

9、> 1，只要 = (0,1) ，便知 2x1121 = e( x) F(x)(x > 1) 故 1+ F (x)dx 發散，所以沒有優函數. 2下面證明該積分一致收斂.1( x1)2問題在于： > 0, 找 A0 > 1，使得 A > A0 時有A+ edx< 2120由于A+ e1( x1)2dx= A+ e1( x1)2dx = 1+(A1eu2 du （令 u =1(x 1) ）（1） 2 2)但 1+ (A1) eu2 du + eu2 du = .> 1，積分（1） < 0> 1（充分大），使因此對于 0,，對任意 A成立，剩下的

10、問題只在于找 A得 A > A 時，對于 0,， + eu2du< 。由于被積函數 eu2> 0, 當 < 1時，有110( A) 1+ (A1) eu2 du A+ eu2 du （2）2由 0+ eu2 du 的斂散性知： > 0, A0 > 0 ，使得 A > A0 時積分（2） < .4 Abel 判別法與 Dirichlet 判別法該法的關鍵在于把被積函數恰當地拆成二因子相乘： f (x,u) = g(x,u)h(x,u)使得 g(x,u), h(x,u) 滿足 Abel 條件：1） a+ g(x,u)dx 對 u I 一致收斂；2）

11、h(x,u) 當 u 固定時，對 x 單調，且一致有界，即 M > 0 ，使得 h(x,u) M ， 則積分 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂（ Abel 判別法）或者（將條件 1）減弱，將條件 2）加強）使得 g(x,u), h(x,u) 滿足 Dirichlet 條件1） aA g(x,u)dx 一致有界。即： M > 0, aA g(x,u)dx M2） h(x,u) 當 u 固定時，對 x 單調，當 x + 時， h(x,u) 一致收斂 0 ，則積分 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂（ Dirichlet 判別法）例 4 證明含參量積分 0+ 1 +

12、 xu dx 在 0,+ )上一致收斂.證法 1 （ 用 Abel 判別法）首先對任意固定的 y 0 ， 原積分是 0+sin x2dx 收斂的 . 又因為u1 + x0+ sin x2 dx = 0+ sin tdt 收斂，與 u 無關，故 u 0,+ )時是一致收斂的.其次對任意固定的 u 0 ，11+ xu2t是 x 單調函數，且1 1.由 Abel 判別法知 0+sin x2dx 在 0,+ )上一致收斂.1uu+ x1 + x證法 2 （ Dirichlet 判別法 ） 將含參量積分 + sin x2 dx 改寫為 + 01 + xu010A x sin x2 dx=cos x20A

13、 1 ， u 0,+ ) . 對任意固定的 u 0 ，211 0(x + ) 故當 x + 時，1關于 u 一致收斂x(1 + xu )xx(1 + xu )2于 0 .由 Dirichlet 判別法知 + sin x dx 在 0,+ )上一致收斂.01 + xux sin x21dx . 由于x(1 + xu )1是 x 單調函數且x(1 + xu )5 Dini 定理121設 f (x,u) 在 D = a x , u 上連續且不變號， (u) = a+ f (x,u)dx 在 , 上連續，則 a+ f (x,u)dx 關于 u 在 I 上一致收斂.數學分析2中己經指出級數與無窮積分的斂

14、散性及其性質基本上是平行的，其定理在一般教科書中都能找到；同 樣函數項級數與含參變量反常積分的一致收斂判別法及其性質基本上是平行的，有下面的定理。6設 f (x,u) 必為區域 R = a x b,1 u < +上的非負函數，如果 f (x,u) 在區間 1,+ )上關于 u+ 為單調減函數，那么含參變量積分 + f (x,u)du 與函數項級數 f (x, n) 在區間 a,b上具有相同的一致收斂1n=1性3.7 若 f (x,u) 在 a,+ )×U 上連續 ， u0 為 U 的一個聚點 ， a+ f (x,u)dx 在 U u0 上收斂 ， 而a+ f (x,u0 )dx

15、 發散，則 a+ f (x,u)dx 在U 上不一致收斂.可以利用函數項級數的一致收斂性判別某些含參變量積分的性質和一致收斂，也可以利用積分的便利條件判斷 某些函數項級數的一致收斂.二、拓展應用含參量無窮積分 0+ ueux dx 在閉區間 0,+b上不一致收斂，而 0+ ueux2 dx 在閉區間 0,+b上一致收斂4.這兩個含參量無窮積分在形式上相差無幾,但一致收斂性卻截然不同.下面我們類比的方法討論二者一致收斂性質的 差異.含參量無窮積分 + ueux dx 當 u 0,3時考慮變上限積分 M ueux dx 可以做出曲線：其中每一條曲線標顯00+ M的 u 值為含參量無窮積分 0 ue

16、ux dx 中對應的參量 u 的值,橫坐標表示的是變上限積分 0 ueux dx 中 M 的取值,縱坐標表示積分 0M ueux dx 的值.可以得出：對于任意的 u 0,3,積分 0+ ueux dx 收斂;但是對于不同的 u 0,3,積分 0+ ueux dx 的收斂 步調卻不一致.含參量無窮積分 0+ ueux2 dx 當 u 0,3時考慮變上限積分 0M ueux dx 可以做出曲線：其中每一條曲線標 顯的 u 值為含參量無窮積分 0+ ueux2 dx 中對應的參量 u 的值,橫坐標表示的是變上限積分 0m ueux2 dx 中 M 的取 值,縱坐標表示積分 0m ueux2 dx 的值.可以得出：對于任意的 u 0,3,積分 0+ ueux2 dx 收斂;對于不同的 u 0,3,積分 0+ ueux2 dx 收斂情況保持步調一致.從上面兩個例子的對比可以看出含參量無窮積分的一致收斂性的直觀表現是反常積分關于參變量的同 步收斂.含參量積分的致收斂性的判別與函數項級數有許多類似的地