1、復數的運算說課稿 林萍萍 2012-10-21一、說教材（一）教材的地位與作用：1、依據新大綱及教材分析，復數四則運算是本章知識的重點。2、新教材降低了對復數的要求，只要求學習復數的概念，復數的代數形式及幾何意義，加減乘除運算及加減的幾何意義。因此，復數的概念，復數的代數運算是重點，在教學中要注意與實數運算法則和性質的比較，多采用類比的學習方法，在復數的概念和復數的代數運算的教學中，應避免煩瑣的計算，多利用復數的概念解決問題。 3、將實數的運算通性、通法擴充到復數，是對數學知識的一種創新，有利培養學生的學習興趣和創新精神。（二）學情分析：1、學生以了解復數的概念與定義以及復數在數域內的地位。2

2、、學生知識經驗與學習經驗較為豐富，以具有類比知識點的學習方法。3、學生思維活潑，積極性高，已初步形成對數學問題的合作探究能力。4、學生層次參差不齊，個體差異比較明顯。（三）教學目標：1、知識目標：掌握復數代數形式的加、減、乘、除、乘方運算法則。2、能力目標：培養學生運算的能力。3、情感、價值觀目標培養學生學習數學的興趣，勇于創新的精神。（四）教學重點：復數的概念，復數的代數運算是重點（五）教學難點：復數代數形式的乘、除法法則。教學方法：（六）啟發式教學法關鍵：掌握復數加法、減法的定義和復數相等定義的運用。二、說教法： 1、本節課通過復習整式的運算，復數的運算，通過類比思想體會整式的運算與復數的

3、運算的共性，使學生體會其中的思想方法，培養學生創新能力和運用數學思想方法解決問題的能力。 2、例題的學習，使學生在學會復數運算的基礎上歸納計算方法，提高運算能力，歸納、概括能力。三、說學法： 1、復習已學知識，為本節課學習作鋪墊。通過對數系學習的回憶，引出課題，激發學生學習動機。 2、讓學生板演運算法則，有利于培養學生創新能力和主動實現學習目標。 3、通過例題學會復數的運算，歸納運算簡便方法。培養學生歸納問題、轉化問題的努力。四、說課過程：（一）、復習提問：1、1.虛數單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2、與1的關系:

4、就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3、復數的概念：形如a+bi(a，bR)叫做復數，a，b分別叫做它的實部和虛部。4、復數的分類：復數a+bi(a，bR)，當b=0時，就是實數;當b0時，叫做虛數;當a=0，b0時，叫做純虛數;5、復數Z1=a1+b1i與Z2=a2+b2i 相等的充要條件是a1=a2，b1=b2。6、復數的分類：虛數不能比較大小，只有等與不等。即使是 也沒有大小。7、復數的模：若向量表示復數z，則稱的模r為復數z的模， ；積或商的模可利用模的性質（1），（2）8、復平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi(a、bR)可

5、用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數對為(0，0)， 它所確定的復數是z=0+0i=0表示是實數.故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數復平面內的點（二）類比代數式，引入復數運算：一、復數代數形式的加減運算類似根據代數式的加減法，則復數z1與z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 復數z1與z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d

6、)i. 二、復數的加法運算滿足交換律和結合律1、復數的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R).z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1.即復數的加法運算滿足交換律.2、 復數的加法運算滿足結合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)證明：設z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a

7、3，b1，b2，b3R).(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復

8、數的加法運算滿足結合律三、復數代數形式的加減運算的幾何意義復數的加(減)法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 與多項式加(減)法是類似的.就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加(減). 復平面內的點平面向量2. 復數平面向量3.復數加法的幾何意義：設復數z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量是，= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i4. 復數減法的幾何意義：復數減法是加法的逆運算，設z=(ac)+(bd)i，所以zz1

9、=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量就與復數zz1的差(ac)+(bd)i對應由于，所以，兩個復數的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.講解范例：例1計算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例2計算：(12i)+(2+3i)+(34i)+(4+5i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+(2+34+5+20032004i)=(2003

10、1001)+(10012004)i=10021003i.解法二：(12i)+(2+3i)=1+i， (34i)+(4+5i)=1+i，(20012002i)+(2002+2003)i=1+i.相加得(共有1001個式子)：原式=1001(1+i)+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i例3已知復數z1=2+i，z2=1+2i在復平面內對應的點分別為A、B，求對應的復數z，z在平面內所對應的點在第幾象限？解：z=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i，z的實部a=10，虛部b=10，復數z在復平面內對應的點在第二象限內.點評：任何向量所對應的復

11、數，總是這個向量的終點所對應的復數減去始點所對應的復數所得的差.即所表示的復數是zBzA.，而所表示的復數是zAzB，故切不可把被減數與減數搞錯盡管向量的位置可以不同，只要它們的終點與始點所對應的復數的差相同，那么向量所對應的復數是惟一的，因此我們將復平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長度有關，而與位置無關5、復數的乘除法運算：復數的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 復數的乘法運算滿足交換律、結合律和分配律。實數集R中正整數指數的運算律,在復數集C中仍然成立.即對z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn,

12、(z1z2)n=z1nz2n.6、共軛復數：若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；，兩共軛復數所對應的點或向量關于實軸對稱。，7、復數的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母實數化是常規方法復數的運算，典型例題精析：例4（1）復數等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 復數=，選C（2）若復數同時滿足2，（為虛數單位），則 解：已知；（3）設復數z滿足關系，求z；解：設z=a+bi（a,b為實數），由已知可得由復數相等可得：，解得，所以設z=a+bi-x+yi（a,b為實數）復數問題實數化

13、。（4）若，解方程解：設x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復數相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例4：(1)復數z滿足，則z對應的點在復平面內表示的圖形為（A）A直線 B圓 C橢圓 D拋物線解：令z=x+yi（x，yR），則x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故選A。8. 復數的代數式運算技巧：（1）i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（2） （3）“1”的立方根的性質： 擴充知識：9、特別地， zBzA.，為兩點間的距離。z對應的點的軌跡是線段的垂直平分線；， z對應的點的軌跡是一個圓；， z

14、對應的點的軌跡是一個橢圓；， z對應的點的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式：11、實系數一元二次方程的根問題：（1）當時，方程有兩個實根 。（2）當時，方程有兩個共軛虛根，其中 。此時有 且。注意兩種題型： 虛系數一元二次方程有實根問題：不能用判別式法，一般用兩個復數相等求解。但仍然適用韋達定理。已知是實系數一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當時，(2)當時， 已知是實系數一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當時，即，則 即，則 （2）當時，例6（1）計算： 答案：（2）設復數z滿足：，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為，最小值為；（3）若，解方程解：設x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復數相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。(4)設，則復數，在復平面內對應的圖形面積為_。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面積S=。【思維點撥】復數問題實數化是處理復數問題的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b為實數，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。