1、第九單元 數學廣角雞兔同籠教學內容教材第103107的內容。教材分析“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在孫子算經中。其解法包括：列表法、假設法、方程法。由于本單元還沒學習到方程法，因此，教材主要引導學生通過猜測、列表和假設等方法來逐步解決問題，培養學生猜測、有序思考及邏輯推理能力。其編排特點如下：1利用古題激發學習興趣。2體現解決問題的策略和方法多樣化。3拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，明確其在生活中的應用。教學目標1了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。2經歷自主探究解決問題的過程，體驗解決問題策略的多樣化。了解列表法、假設法等解決問題的方法，在解決問題的過程中培

2、養邏輯推理能力，增強應用意識和實踐能力。教學建議1. 了解“雞兔同籠”問題的本質，滲透化繁為簡的數學思想。2. 引導學生探索解決問題的策略和方法，豐富解題策略。單元課時安排約2課時。教案A第1課時教學內容雞兔同籠問題：教材第103104頁例1。教學目標1了解“雞兔同籠”問題的結構特點，滲透化繁為簡的思想，掌握用列表法、假設法解決問題，初步形成解決此類問題的一般性策略。2經歷猜測的過程，嘗試用列表、假設的方法解決“雞兔同籠”問題，引導學生有序思考，使學生體會解題策略的多樣性。3在解決問題的過程中，培養學生的遷移思維能力，感受古代數學問題的趣味性。教學重點滲透化繁為簡的思想，體會用假設法的邏輯性和

3、一般性。教學難點理解用假設法解決“雞兔同籠”問題的算理。教學過程一、導入新課師：同學們，大約一千五百多年前，我國古代數學名著孫子算經中記載了一道數學趣題“雞兔同籠”問題。出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？師：這道題是以文言文的方式表述的，哪位同學看懂它的意思了？生：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只?師：從題中獲取信息，你知道了什么，要求什么問題？二、新課教學1嘗試解決，交流想法。既然“雞兔同籠”問題能流傳至今，就應該有它獨特的思考方式和解題方法。問題：同學們想一想，算一算雞和兔各有多少只？2感受化繁為簡的必要性。

4、師：大家在剛才猜了好幾組數據，經過驗證都不正確，為什么猜不對呢？數據大了不好猜，我們應該怎么辦？我們把數字改小些，先從簡單的問題入手。（課件出示例1）“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”師：從題中你們能獲取哪些信息？和生活常識聯系在一起，你還能說出哪些信息？預設：生1：雞和兔共8只，雞和兔共有26只腳。生2：雞有2只腳，兔有4只腳。3猜想驗證。師：有了這些信息，我們先來猜猜，籠子可能會有幾只雞？幾只兔？猜測需要抓住哪個條件？生：雞和兔一共有8只。師：每組都有一張表格，請大家來填一填，看看誰能又快又準確地找出答案來。學生匯報。小結：這個方法挺好，能

5、幫我們解決雞兔同籠的問題，我們把這種方法叫做列表法。（板書：列表法）師：老師剛才發現，很多同學都完成得非常快，很了不起！那么，同學們，你們覺得用列表法解決“雞兔同籠”問題怎么樣呢？ 生1：列表法能很清晰地解決這個問題。生2：因為數字比較簡單，所以列表法還可以用，但是數字變大時，列表法就會比較麻煩，會浪費很多時間。師：說得非常好，那我們就來嘗試研究一下更簡潔的方法吧。同學們再來觀察自己剛才列的表格，看看這些數量之間是否存在著一些數學規律，請將你的想法跟同組的同學相互交流一下。學生小組交流匯報。生1：雞的數量每減少1只，兔的數量就增加1只，腳的數量也跟著增加2只。生2：兔的數量每減少1只，雞的數量

6、就增加1只，腳的數量反而減少2只。4數形結合理解假設法。教師：同學們的想法非常好，我們一起繼續來看這張表格，通過分析表格來將同學們的想法表述得更加清晰。（1）假設全是雞。教師：我們先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？學生：就是有8只雞和0只兔，也就是假設籠子里全是雞。教師：那籠子里是不是全是雞呢？這也就是把什么當什么來算了？學生：不是，我們是把一只4只腳的兔當成一只2只腳的雞來算的。教師：這樣算會有什么結果呢？學生：每少算一只兔就會少算2只腳。教師：假設全是雞，一共是16只腳。實際有26只腳，這樣籠子里就少了10只腳，這說明什么呢？學生：每只雞比兔少2只腳，少了10只腳說明籠子里有5只兔

7、。教師：你們能列出算式嗎？學生嘗試列算式。師以畫圖法進行演示：8×216（只）。（如果把兔全當成雞，一共就有8×216只腳。）261610（只）。（把兔看成雞來算，4只腳的兔當成2只腳的雞算，每只兔就少算了2只腳，10只腳是少算的兔的腳數。）422（只）。（假設全是雞，就是把4只腳的兔當成2只腳的雞。所以42表示一只兔當成一只雞，就要少算2只腳。）10÷25（只）兔。（那把多少只兔當成雞算，就會少10只腳呢？就看10里面有幾個2，也就是把幾只兔當成了雞來算，所以10÷25就是兔的只數。）853（只）雞。（用雞兔的總只數減去兔的只數就是雞的只數，853只雞

8、。）（2）假設全是兔。師：我們再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思？生：就是有0只雞和8只兔，也就是假設籠子里全是兔。師：籠子里是不是全是兔呢？這個時候是把什么當什么算的？ 生：把里面的雞當成兔來計算的。師：那把一只2只腳的雞當成一只4只腳的兔來算，會有什么結果呢？生：就會多算2只腳。師：請同學們像老師那樣畫一畫，算一算。學生匯報：8×432（只）。（如果把雞全看成兔，一共就有8×432只腳。）32266（只）。（把雞當成兔來算，2只腳的雞當成4只腳的兔算，每只雞就多了2只腳，6只腳是多算了雞的腳數。）422（只）。（假設全是兔，就是把2只腳的雞當成4只腳的兔。

9、所以42表示一只雞當成一只兔，多算了2只腳。）6÷23（只）雞。（那要把多少只雞當成兔來算，就會多算6只腳呢？就看6里面有幾個2，也就是把幾只雞當成了兔來算，所以6÷23就是現在雞的只數了。）835（只）兔。（用雞兔的總只數減去雞的只數就是兔的只數，835只兔。）（3）提出假設法概念。剛才我們通過假設都是雞或都是兔來解決例1的，所以把這種方法叫做假設法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法，也是算術方法中較為普遍的一般方法。（板書：假設法）5小結：現在你能從新總結一下這些方法的優勢和適用范圍嗎？數目比較小時，用列表法。數目比較大時，列表法計算量大，就有局限性，比較麻煩，最

10、好用假設法比較好。用假設法時要特別注意：如果假設是雞而先求出的就是兔子，如果假設的是兔子那先求出的是雞，兩者相反。6課件出示：* 古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的？ （1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有26÷213只腳。 （2）這時每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。籠子里只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。 （3）這時腳的總數與頭的總數之差1385，就是兔子的只數。三、知識運用學生獨立完成古代趣題。方法展示：1列表法：答：雞有23只，兔有12只。2假設法：假設籠子里全都是雞。35×270（只） 947024（只） 422

11、（只）兔：24÷212（只）。雞：351223（只）答：雞有23只，兔有12只。假設籠子里全都是兔。35×4140（只） 1409446（只） 422（只）雞：46÷223（只）兔：352312（只）答：雞有23只，兔有12只。四、課堂小結這節課我們一起用列表法和假設法研究了古代著名的“雞兔同籠”問題。你學會了嗎？ 第2課時教學內容龜鶴同游問題：教材第105頁“做一做”第1題。教學目標1了解“龜鶴同游”問題，進一步明確“雞兔同籠”問題的實質，了解其在生活中的廣泛應用。2通過“龜鶴同游”問題，鞏固解決“雞兔同籠”問題的方法，進而建立“雞兔同籠”問題的數學模型。教學重

12、點滲透化繁為簡的思想，體會用假設法的邏輯性和一般性。教學難點理解用假設法解決“雞兔同籠”問題的算理，建立“雞兔同籠”問題的數學模型。教學過程一、導入新課1說一說，議一議。（1）雞兔共五只，腿有（ ）條。（2）籠子里有8只兔，有（ ）個頭，有（ ）只腳。（3）籠子里有5只雞和4只兔，有（ ）個頭，有（ ）只腳。得出關系式：雞的數量×2+兔的數量×4腿的數量。足數×2頭數兔數 頭數兔數雞數質疑：如果知道了腿的總數能知道雞兔各幾只嗎？2師：不但我國古代的數學著作孫子算經中就記載了雞兔同籠問題，日本人對雞兔同籠問題也有研究，不過日本怕別的國家笑話他們學中國的東西，所以日本

13、人就把“雞兔同籠問題”改稱為“龜鶴同游問題”。有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？師：日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯系嗎？生：是一樣的意思：龜就相當于兔，都是四只腳；鶴就相當于雞，都是兩只腳。師：抓住了本質的東西！看來這里的雞不僅僅代表雞，這里的兔也不僅僅是指兔！二、新課教學師：那這道“龜鶴同游”問題會解決？學生試做后，交流算法。方法一：假設全是鶴。422（假設全是鶴，是把4條腿的龜有當成兩條腿的鶴。所以42表示是一只龜當成一只鶴就要少算2條腿。）（11240×2）÷224（只）鶴（那把多少只龜當成鶴算就會少48條腿呢？就看48里面有幾個

14、2就是把幾只龜當成了鶴來算，所以48÷224就是鶴的只數。）402416（只）龜（用鶴龜的總只數減去龜的只數就是鶴的只數，402416（只）龜。師：看來做對了，最后寫上答語。方法二：假設全是龜。則有40×4160（條）腿，比實際多16011248（條）腿，每有一只鶴比一只龜少422（條）腿，所以有鶴48÷224（只），有龜 402416（只），答：龜有16只，鶴有24只。小結：比較后得出：“龜鶴同游”和“雞兔同籠”是同一類型的數學問題。古人法：龜：112÷24016（只） 鶴：401624（只）假設法：龜：（11240×2）÷216（

15、只） 鶴：401624（只）三、應用反饋這個信封里放的是5分和2分的硬幣，共8枚，34分，你能算出信封里5分和2分的硬幣各有多少枚嗎？師：這道題你能用剛才學過的方法來解決嗎？1. 學生嘗試。2. 匯報假設法。師：可以用古人的方法嗎？為什么？學生嘗試解答后交流用假設法和古人算法的情況，發現古人算法不好用了。教師引導思考揭示：古人算法只能用于2腿、4腿的“雞兔問題”。回應前面提示的：古人的方法也是有局限的。師：這個問題和我們研究的雞兔同籠問題有聯系嗎？生：其實這也是雞兔同籠問題，這里的2分硬幣的就相當于雞有2只腳，而5元的硬幣就相當于兔，這里的兔是五只腳的，我們把他叫做“怪兔”！師：你能把這個題目

16、改成“雞兔同籠”的數學問題嗎？（顯示：雞有2腳，怪兔有5腳。共8頭，34腳。雞有多少只？怪兔有多少只？）看來“雞兔同籠”中的“雞”和“兔”不一定是2只腳的雞和4只腳的兔，也可以轉換成好多腳的“怪雞”和“怪兔”。那些可以變成 “怪雞”和“怪兔”， 能聯系實際舉個例子嗎？四、課堂小結經過一節課的研究，“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？，你有什么想說的嗎？教案B第1課時教學內容雞兔同籠：教材第103104頁例1的內容。教學目標1通過對日常生活中現象的觀察和思考，發現一些特殊的規律。2從不同角度分析，掌握列表解題的策略與方法。3培養學生分析的能力，初步滲透假設的數學思想。教學重點從不同角度分析，掌握列表解

17、題的策略與方法。教學難點從不同角度分析，掌握列表解題的策略與方法。教學過程一、導入新課 1出示謎語。（1）頂上紅冠戴 ，身披五彩衣。能測天亮時，呼得眾人醒（猜一動物）。（2）紅紅眼睛白白毛，長長耳朵短尾巴。身披一件白皮襖，走起路來輕輕跳 。（猜一動物） 老師根據學生的回答，先后在課件上出示雞和兔的圖片。 2用數學語言描述一下雞和兔各有什么特征。（目的是為后面的教學做鋪墊） 預設：雞和兔各有一個頭，雞有兩只腳，兔子有四只腳。 師：本節課我們就一起來研究雞兔同籠問題。二、新課教學1你認為“雞兔同籠”是什么意思？“雞兔同籠”問題是

18、什么樣的問題？ 2提出問題： 出示“雞兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？” 師：你知道這里的“雉”，“幾何”是什么意思嗎？ 生：“雉”是“雞”，“幾何”是“幾只”。 師：誰能將原文翻譯一下嗎？ 生：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。問雞和兔各有幾只？ 師：你能解決這個問題？從哪個方面呢？ 生：沉默 師：這個問題中的數量比較大，我們換一下，先從簡單的問題入手。 出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26

19、只腳。雞和兔各有幾只？ 3嘗試探究列舉法。 師：你們先猜一猜，看誰猜得既快又對。 生：如果有3只兔，5只雞，一共有22只腳。不對！生：如果有4只兔，4只雞，一共有24只腳。也不對！ 生：如果有6只兔，2只雞，一共有28只腳。也不對！生：如果有7只兔，1只雞，一共有30只腳。也不對！ 師：真的不好猜，為了避免猜的重復或遺漏，我們能不能按順序一個一個試哪？ 生：畫表格，并填表。教師輔導學生，看到哪些沒有思路的，提示他可以按書上的格式去畫表格，對那些基礎比較差的學生，可適當提示他，按照書上的表格填一填。雞8765兔01腳1618通過列表你發

20、現答案了嗎？你是怎樣想的？ 誰有不同意見？小組同學交流。 展示：雞876543210兔012345678腳161820222426283032雞012345678兔876543210腳323028262422201816師：在以上兩個表格中你發現什么規律？小組內交流討論。生： （1） 兔每增加1只，腳的總數增加2只；雞每增加1只，腳的總數減少2只。 師：這種方法叫做列舉法。你認為這種方法有什么優點？有什么局限性？生：很好理解，一目了然。局限性：如果數很大，很麻煩，效率低。 師：還有其他方法嗎？3嘗試探究假設法。 學生自主學習

21、小輝這樣想；（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×216只腳，這樣就多出2616=10只腳。（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有1025只兔。（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。師：你有什么疑惑？請舉手。 生：老師，為什么10÷25，5就是兔的只數？ 師：一只兔比一只雞多2只腳，多出來的10只腳除以每只兔比每只雞多出來的2只腳，就是需要的兔的數量。 師：結合課件上的圖形，給學生點撥。（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×216只腳，這樣就多出261010只腳。 （2）一只兔比一只雞多2只雞，也就是有10÷25只兔。&#

22、160;（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。 兩人一組，講一講。教師參與到他們的小組交流中。師：你能從另外一個角度解釋這個問題嗎？ 生：學生獨立思考。 （1）如果籠子里都是兔，那么就有8×432只腳，這樣就少了32266只腳。 （2）一只雞比一只兔少2只腳，也就是有6÷23只雞。 （3）所以籠子里有3只雞，5只兔。 師：這就是假設法。你能總結一下假設法的方法嗎？ 師：引導學生總結假設法解題的一般步驟： （1）先假設有一種與事實不符合的情況。（2）通過計算，找出事實與假設存在的差異。 （3

23、）分析推理，找出造成這種差異的原因。 （4）根據差異和造成差異的原因列式，先求出一個未知量，再求出另一個未知量。 師：你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠“問題的嗎？ 4學習抬腳法。 生：開始自主學習古人解決“雞兔同籠”問題的方法。 抬腳法：（1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有26÷213只腳 。（2）這時每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。籠子了只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。（3）這時腳的總數與頭的總數之差1385，就是兔子的只數。師：你有什么疑惑？ 師：給“雞兔”抬腳后，附以形象的圖示，并解釋抬腳法

24、。師：你能用抬腳法解釋“雞兔同籠”問題嗎？生： （1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有26÷213只腳。 （2）這時每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。籠子了只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1. （3）這時腳的總數與頭的總數之差1385，就是兔子的只數。 師：你發現古人怎樣？我們應該向古人學習什么？ 生：古人很聰明，巧妙地解決問題。 生：古人善于觀察生活中的自然現象，將生活中的問題數學化，并用數學問題解決生活問題。師：我們將來可以用數學知識解決現在世界關注的“能源問題，氣溫上升問題”。 三、解決問題

25、60;師：現在用你喜歡的方法解決上課時提出來的“雞兔同籠“問題。 獨立思考，并匯報。1（1）如果籠子里都是雞，那么就有35×270只腳，這樣就多出947024只腳。 （2）一只兔比一只雞多2只雞，也就是有24÷212只兔。 （3）所以籠子里有23只雞，12只兔。 2（1）如果籠子里都是兔，那么就有35×4140只腳，這樣就少了1409446只腳。 （2）一只雞比一只兔少2只腳，也就是有46÷223只雞。（3）所以籠子里有23只雞，12只兔。師：有不同意見的同學請舉手。 生：用列舉法沒有找出答案。

26、 3生：抬腳法。 （1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有94÷247只腳。 （2）這時每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。籠子了只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。（3）這時腳的總數與頭的總數之差473512，就是兔子的只數。 （4）所以籠子里有23只雞，12只兔。 四、總結升華你有什么收獲？你有什么疑惑？生：我們學習了三種方法解決“雞兔同籠“問題。列舉法，假設法，抬腳法。師：假設法更具有普遍性。假設法解題的一般步驟：（1）先假設有一種與事實不符合的情況。 （2）通過計算，找出事實與假設存在的差異。 （3

27、）分析推理，找出造成這種差異的原因。 （4）根據差異和造成差異的原因列式，先求出一個未知量，再求出另一個未知量。 用假設法解題一般有這樣的規律，如果題目既要求A又要求B，假設全是A，先求出的是B；假設全是B，先求出的就是A。 五、達標檢測必做：有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？ 選做：小明共答10道題，答對一題加10分，答錯一題扣6分，最后得分36。 他答錯了幾道題？ 第2課時教學內容用“雞兔同籠”解決實際問題：教材練習二十四。教學目標1. 加深了解“雞兔同籠”問題本質，感受古代數學問題的趣味性。2. 在解

28、決生活實際問題的過程中，能發現“雞兔同籠”問題，并體會代數方法的一般性。教學重點加深了解“雞兔同籠”問題本質，感受古代數學問題的趣味性。教學難點理解用假設法解決“雞兔同籠”問題的算理，建立“雞兔同籠”問題的數學模型。教學過程一、導入新課在“雞兔同籠”問題中，你發現了什么規律？結論：雞增加1只，同時兔減少1只，腿減少2條。雞減少1只，同時兔增加1只，腿增加2條。腿增加和減少于兔保持一致。二、新課教學1. 小知識。“雞兔同籠”是一類中國有名的算術題，最早出現在孫子算經中。此書約成書于四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚。先傳版本的孫子算經共三卷。卷下31題，可謂是后世“雞兔同籠”的始祖。（1）金

29、雞獨立。其實對這個問題，不但咱們中國人有研究，外國人對它也有關注，美國教授波利亞，他講了一個很有趣的故事解釋了這種解法的道理。有一天雞和兔在草地上玩，雞突發奇想對兔子說：“我會金雞獨立！”說著就將一只腳提起來。兔子也不甘示弱：“我也會！”于是，兔子也將兩條前腿提起來。這時草地上的總腳數是不是只剩下原來的一半了？94÷247（只）這時草地上的腳數是不是還比雞兔的總只數多一些呢？473512（只）為什么會多？不就是因為每只兔子有兩只腳嗎？這樣總共多了幾只腳就有幾只兔子，而剩下的就是雞了。351223（只）看來我們解決數學問題有時還真需要點數學家的本領“奇思妙想”!（2）龜鶴同游。日本人對雞兔同籠問題也有研究，傳到后日本，變成“龜鶴算”：有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有11