1、精選優質文檔-傾情為你奉上第3講 函數的奇偶性與周期性一、選擇題1設f(x)為定義在R上的奇函數當x0時，f(x)2x2xb(b為常數)，則f(1)等于()A3 B1 C1 D3解析由f(0)f(0)，即f(0)0.則b1，f(x)2x2x1，f(1)f(1)3.答案D2已知定義在R上的奇函數，f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為 ()A1 B0 C1 D2解析(構造法)構造函數f(x)sin x，則有f(x2)sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一個滿足條件的函數，所以f(6)sin 30，故選B.答案B3定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x2)，當x3,5時

2、，f(x)2|x4|，則下列不等式一定成立的是 ()Af>f Bf(sin 1)<f(cos 1)Cf<f Df(cos 2)>f(sin 2)解析當x1,1時，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，顯然當x1,0時，f(x)為增函數；當x0,1時，f(x)為減函數，cos，sin >，又ff>f，所以f>f.答案A4已知函數f(x)則該函數是 ()A偶函數，且單調遞增 B偶函數，且單調遞減C奇函數，且單調遞增 D奇函數，且單調遞減解析當x>0時，f(x)2x1f(x)；當x<0時，f(x)12(x)12xf(x)

3、當x0時，f(0)0，故f(x)為奇函數，且f(x)12x在0，)上為增函數，f(x)2x1在(，0)上為增函數，又x0時12x0，x<0時2x1<0，故f(x)為R上的增函數答案C5已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數，當x0,1)時，f(x)4x1，則f(5.5)的值為()A2 B1 C D1解析 f(5.5)f(5.56)f(0.5)40.511.答案D6設函數D(x)則下列結論錯誤的是 ()AD(x)的值域為0,1 BD(x)是偶函數CD(x)不是周期函數 DD(x)不是單調函數解析顯然D(x)不單調，且D(x)的值域為0,1，因此選項A、D正確若x是無理數，x，x

4、1是無理數；若x是有理數，x，x1也是有理數D(x)D(x)，D(x1)D(x)則D(x)是偶函數，D(x)為周期函數，B正確，C錯誤答案C二、填空題7若函數f(x)x2|xa|為偶函數，則實數a_.解析由題意知，函數f(x)x2|xa|為偶函數，則f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案08已知yf(x)x2是奇函數，且f(1)1.若g(x)f(x)2，則g(1)_.解析因為yf(x)x2是奇函數，且x1時，y2，所以當x1時，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.答案19設奇函數f(x)的定義域為5,5，當x0,5時，函數yf(x)的圖象如圖所示，則

5、使函數值y0的x的取值集合為_解析由原函數是奇函數，所以yf(x)在5,5上的圖象關于坐標原點對稱，由yf(x)在0,5上的圖象，得它在5,0上的圖象，如圖所示由圖象知，使函數值y0的x的取值集合為(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)10 設f(x)是偶函數，且當x>0時是單調函數，則滿足f(2x)f的所有x之和為_解析 f(x)是偶函數，f(2x)f，f(|2x|)f，又f(x)在(0，)上為單調函數，|2x|，即2x或2x，整理得2x27x10或2x29x10，設方程2x27x10的兩根為x1，x2，方程2x29x10的兩根為x3，x4.則(x1x2)(x3x4)8.答案 8

6、三、解答題11已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判斷函數f(x)的奇偶性解(1)因為對定義域內任意x，y，f(x)滿足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函數12已知函數f(x)對任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0時，f(x)0，f(1)2.(1)求證f(x)是奇函數；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)證明令

7、xy0，知f(0)0；再令yx，則f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)為奇函數(2)解任取x1x2，則x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)為減函數而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.13.已知函數f(x)是(，)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x1對稱，當x0,1時，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x1,2時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)證明函數f(x)為奇函

8、數，則f(x)f(x)，函數f(x)的圖象關于x1對稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(2) 當x1,2時，2x0,1，又f(x)的圖象關于x1對稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.14已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數；(2)若f(x)為奇函數，且當0x1時，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的個數(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(2)解當0x1時，f(x)x，設1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又設1<x<3，則1<x2<1，f(x2)(x2)又f(x)是以4為周期的周期函數f(x2)f(x2)f(