1、第3課時條件概率與獨立事件1.理解相互獨立事件的定義,掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算方法.2.理解條件概率的概念,會應用條件概率的計算公式求概率.3.培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.重點:條件概率與獨立事件的概念、特征以及求其概率的方法.難點:條件概率的求法.某人有兩個孩子,那么他的兩個孩子都是女孩的概率是.如果在已知他的一個孩子是女孩的情況下,他的兩個孩子都是女孩的概率還是嗎?問題1: 在創(chuàng)設情境中,已知他的一個孩子是女孩,求他的兩個孩子都是女孩的概率是一個條件概率問題.一般地,設A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.P

2、(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率. 問題2:相互獨立事件事件的相互獨立性:事件A(或B)是否發(fā)生,對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,即P(B|A)=P(B),這樣兩個事件叫作相互獨立事件. 問題3:如果A、B相互獨立,那么A、B、中相互獨立的有哪些?如果A,B相互獨立,可以得如下3對:A與 ,與B,與 也相互獨立. 問題4:相互獨立事件的性質(zhì)以及事件獨立性的推廣(1)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積,即P(AB)=P(A)·P(B). (2)如果事件A1,A2,A3,An是相互獨立的,那么這

3、n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積,即P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An). 互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生;兩事件相互獨立是指不同試驗下,二者互不影響.兩個相互獨立事件不一定互斥,即可能同時發(fā)生,而互斥事件不可能同時發(fā)生.1.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)等于().A.B.C.D.【解析】P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=.【答案】D2.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次,設事件A=兩個點數(shù)互不相同,B=出現(xiàn)一個5點,則P(B|A)等于().A.B.C.D.【解析】

4、出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×5=30種,出現(xiàn)一個5點共有5×2=10種,P(B|A)=.【答案】A3.設P(A|B)=P(B|A),P(A)=,則P(B)的值為.  【解析】P(A|B)=,P(B|A)=,P(B)=P(A)=.【答案】4.某班有學生40人,其中共青團員15人,全班分成四個小組,第一小組有學生10人,其中共青團員4人.現(xiàn)在要在班內(nèi)任選一名共青團員當團員代表,求這個代表恰好在第一小組的概率.【解析】設在班內(nèi)任選一名學生,該學生是共青團員為事件A,在班內(nèi)任選一名學生,該學生恰好在第一小組為事件B,則所求概率為P(B|A).又P(B|A)=.所以所求概率為

5、.求條件概率1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機取出一球,問從2號箱取出紅球的概率是多少?【方法指導】從2號箱取出紅球,有兩種互斥的情況:一是當從1號箱取出紅球時,二是當從1號箱取出白球時.【解析】記事件A:最后從2號箱中取出的是紅球;事件B:從1號箱中取出的是紅球.則P(B)=,P()=1-P(B)=,P(A|B)=,P(A|)=,從而P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.【小結(jié)】求復雜事件的概率,可以把它分解為若干個互不相容的簡單事件,然后利用條件概

6、率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果.事件的獨立性甲、乙2人各進行1次射擊,如果2人擊中目標的概率都是0.6.計算:(1)2人都擊中目標的概率;(2)其中恰有1人擊中目標的概率;(3)至少有1人擊中目標的概率.【方法指導】甲是否擊中目標對乙擊中目標沒有任何影響.若記“甲進行1次射擊,擊中目標”為事件A,記“乙進行1次射擊,擊中目標”為事件B,則A、B互為相互獨立事件.【解析】(1)記:“甲射擊1次,擊中目標”為事件A,“乙射擊1次,擊中目標”為事件B,則“2人都擊中目標”為事件A·B,又P(A)=P(B)=0.6,P(A·B)=P(A)&

7、#183;P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)“2人各射擊1次,恰有1人擊中目標”就是A·與·B有一個發(fā)生,其概率為P(A·)+P(·B),又P()=1-0.6=0.4,P()=1-0.6=0.4,P(A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.24+0.24=0.48.(3)(法一)“2人各射擊1次,至少有1人擊中目標”即為“2人都擊中目標”與“恰有1人擊中目標”有一種發(fā)生,則事件發(fā)生,因此其概率P=P(A

8、3;B)+P(A·)+P(·B)=0.36+0.48=0.84.(法二)“2人各射擊1次,至少有1人擊中目標”與“2人都未擊中目標”互為對立事件.而P(·)=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.6)=0.4×0.4=0.16.因此,至少有1人擊中目標的概率P=1-P(·)=1-0.16=0.84.【小結(jié)】要熟練掌握相互獨立事件、對立事件的概率的求法.相互獨立事件概率的靈活應用在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關,只要其中有1個開關能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關閉合的概率都是0.7,計算在這段時

9、間內(nèi)線路正常工作的概率.【方法指導】據(jù)題意可知,在這段時間內(nèi)線路正常工作,就是指3個開關中至少有1個能夠閉合,且這段時間內(nèi)3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響.進而可知,“3個開關中至少有1個能夠閉合”與“3個開關都不能閉合”互為對立事件.【解析】分別記這段時間內(nèi)開關JA、JB、JC能夠閉合為事件A、B、C,則不能閉合為事件,且3個均不能閉合為事件··.而P(A)=P(B)=P(C)=0.7,因此P()=P()=P()=0.3,P(··)=P()·P()·P()=0.027.于是這段時間內(nèi)至少有1個開關能夠閉合,從而使線路能正常工作的

10、概率是1-P(··)=1-0.027=0.973.在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率為0.973.【小結(jié)】要重視對立事件的概率求法.5個大小相同的乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次任取一個,不放回地取兩次,求在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率.【解析】記“第一次取到新球”為事件A,“第二次取到新球”為事件B.P(A)=,P(AB)=×=,P(B|A)=.故在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為.有外形相同的球分裝在三個不同的盒子中,每個盒子10個球,其中第一個盒子中7個球標有字母A,三個球標有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個;第三個盒子中

11、有紅球8個,白球2個,試驗按如下規(guī)則進行:先在第一個盒子中任取一球,若取得標有字母A的球,則在第二個盒子中任取一球;若第一次取得標有字母B的球,則在第三個盒子中任取一球,如果第二次取出的是紅球,則試驗成功,求試驗成功的概率.【解析】記事件X為試驗成功事件,則有以下兩種情況會成功:第一次取字母A的概率為,則取第二個盒子為紅球的概率為;第一次取字母B的概率為,則取第三個盒子為紅球的概率為,故由條件概率的計算公式得P(X)=×+×=.一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從09中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求: (1)任意按最后一位數(shù)字,不

12、超過 2 次就按對的概率; (2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率.【解析】設第i次按對密碼為事件Ai(i=1,2),則A=A1(A2)表示不超過2次就按對密碼.(1)因為事件A1與事件A2互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=+×=.(2)用B 表示最后一位按偶數(shù)的事件,則P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+×=.1.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)等于().A.B.C.D.【解析】由條件概率公式變形,得P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.【答案】C2.下列各對事件中,是相互獨立事

13、件的是().A.運動員甲射擊一次,“射中8環(huán)”與“射中9環(huán)”B.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”C.甲、乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人擊中目標”與“甲擊中但乙沒有擊中目標”D.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲擊中10環(huán)”與“乙沒有擊中目標”【解析】兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.【答案】D3.如圖,用三類不同的元件連接成系統(tǒng).當元件都正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90,則系統(tǒng)正常工作的概率為. 【解析】系統(tǒng)

14、正常工作的概率為P=0.80×0.90×0.90=0.648.【答案】0.6484.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為S=1,2,3,4,5,6,令事件A=2,3,5,B=1,2,4,5,6,求P(A),P(B),P(AB),P(AB).【解析】由題意可知P(A)=,P(B)=,P(AB)=P(AB)=,P(AB)=.(2014年·新課標卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是().A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【解析】設某天空

15、氣質(zhì)量優(yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則據(jù)題有0.6=0.75·p,解得p=0.8,故選A.【答案】A    1.根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料,某地四月份吹東風的概率為,下雨的概率為,既吹東風又下雨的概率為.則在吹東風的條件下下雨的概率為().A.B.C.D.【解析】設事件A表示“該地區(qū)四月份下雨”,B表示“四月份吹東風”,則P(A)=,P(B)=,P(AB)=,從而吹東風的條件下下雨的概率為P(A|B)=.【答案】D2.拋擲紅、黃兩顆骰子,當紅色骰子的點數(shù)為4或6時,兩顆骰子的點數(shù)之積大于20的概率是().A.B.C.D.【解析】拋擲紅、黃

16、兩顆骰子共有6×6=36個基本事件,其中紅色骰子的點數(shù)為4或6的有12個基本事件,兩顆骰子點數(shù)之積大于20的包含4×6,6×4,6×5,6×6共4個基本事件.所以其概率為=.【答案】B3.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.3,則P(A|B)=,P(B|A)=. 【解析】P(A|B)=0.5,P(B|A)=0.6.【答案】0.50.64.一個正方形被平均分成9個部分,向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中),設投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事件記為A,投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為B

17、,求P(AB),P(A|B).【解析】記這9 個正方形區(qū)域分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9,如下圖所示,123456789由題意可知A=1,4,7,B=1,2,3,5,則P(AB)=P(AB)=,P(A|B)=.5.一個盒子里有20個大小形狀相同的小球,其中5個紅的,5個黃的,10個綠的,從盒子中任取一球,若它不是紅球,則它是綠球的概率是().A.B.C.D.【解析】由條件概率知,不是紅球的概率為=,是綠球的概率為=,故所求概率為P=.【答案】C6.把一枚骰子連續(xù)擲兩次,已知在第一次拋出的是偶數(shù)點的情況下,第二次拋出的也是偶數(shù)點的概率為().A.1B.C.D.【解析】設事件A為“第一次

18、拋出偶數(shù)點”,事件B為“第二次拋出偶數(shù)點”,A與B為相互獨立事件.則P(A)=·P(AB)=P(A)·P(B)=×=,所以所求概率為P(B|A)=.【答案】B7.對同一目標進行3次獨立射擊,每次命中的概率分別是0.4,0.5,0.7.則:(1)在這3次射擊中,恰好有一次命中的概率為; (2)在這3次射擊中,至少有一次命中的概率為; (3)在這3次射擊中,至多有一次命中的概率為. 【解析】記“第i次命中”為事件Ai.(1)恰好有一次命中的概率P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)P()P()+P()·P(A2)P()+P()P()P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.(2)至少有一次命中的概率為1-P()=0.91.(3)至多有一次命中的概率為P()+P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.09+0.36=0.45.【答案】(1)0.36(2)0.91(3)0.458.甲、乙、丙三臺機器是否需要照管相互之間沒有影響,已知在某一小時內(nèi),甲、乙都需要照管的概率為0.05