1、蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-1矩陣?yán)碚?第九講蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院2004年蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-2上節(jié)內(nèi)容回顧矩陣的條件數(shù)定義矩陣條件數(shù)的工程背景矩陣的奇異值矩陣序列矩陣序列收斂的充分必要條件收斂矩陣 矩陣級(jí)數(shù)矩陣級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂的充要條件 絕對(duì)收斂 收斂( ):,0,1,km nAACk( )lim0kkAA( )limkkAA:m nCR ( )0kkAlimkkA 0n nAC( )0kkA蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-3矩陣的冪級(jí)數(shù)矩陣冪級(jí)數(shù)設(shè) ， ，稱矩陣級(jí)數(shù)為矩陣A的冪級(jí)數(shù)方陣冪級(jí)數(shù)收斂的判別定理若復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為r，而

2、矩陣 的譜半徑為 ，則當(dāng) 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂當(dāng) 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù) 發(fā)散證明：1. ，取 ，使得 (0,1,)kaCkn nAC0kkka A0kkka A0kkka A0kkka zn nAC( )A( )Ar( )Ar( )Ar0( )rA0( )Ar:n nmCR( )mAAr蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-4矩陣的冪級(jí)數(shù)由于冪級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂2. 由于 ，設(shè) ，則當(dāng) 時(shí)，由Jordan定理， ，使得( ( )kkkkkkkkmmma AaAaAaA0( ( )kkkaA0kkka A( )maxjjAmaxljj( )lA( )Arlr

3、11211(10)innP APJorn nnPC 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-5矩陣的冪級(jí)數(shù)矩陣冪級(jí)數(shù)的對(duì)角線元素為由于 發(fā)散，從而矩陣冪級(jí)數(shù) 發(fā)散由于矩陣冪級(jí)數(shù) 與具有相同的斂散性，可知也發(fā)散。推論設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為r， 。若使得 ，則矩陣冪級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂0kkka J0(1, )kkjkajn0kklka0kkka J( )0kkA( )0kkPA Q0kkka A0kkka z:n nCRn nACAr0kkka A( )AA:n nCR蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-6矩陣的冪級(jí)數(shù)舉例判斷矩陣冪級(jí)數(shù) 的斂散性解：令 eig(A)ans = 0.8333 -

4、0.5000由于冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為r = 1 絕對(duì)收斂 018216kkkk181216A( )0.83331A0kkkz018216kkkk蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-7矩陣的冪級(jí)數(shù)Neumann級(jí)數(shù)收斂充要條件設(shè) ，稱矩陣冪級(jí)數(shù) 為Neumann級(jí)數(shù) 收斂并且在此級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其和為證明：充分性： 冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為1必要性：若矩陣冪級(jí)數(shù)收斂，記 ， ，則n nAC0kkA0kkA( )1A( )1A0kkkz0kkA收斂0kkSA( )0nnkkSA( )limnnSS0kkA( )(1)( )(1)limlim()limlimnnnnnnnnnASSSS 0( )1A1

5、()IA收斂矩陣的充要條件蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-8矩陣的冪級(jí)數(shù)當(dāng) 收斂時(shí)，取 可逆由于0kkA( )1A01( )A 0( )1A:n nCR( )1AAIA( )2()nnSIAIAAA21nnAAAA1nIA( )111()()nnSIAAIA( )1lim()nnSSIAA是收斂矩陣limnnA 0蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-9矩陣的冪級(jí)數(shù)舉例設(shè) 判斷矩陣冪級(jí)數(shù) 的斂散性，若收斂，求其和解：norm(A,1) ans = 0.9000即 ，所以 絕對(duì)收斂 inv(eye(size(A)-A) ans =2.0000 1.0000 1.00003.1429

6、 4.4286 3.00001.4286 1.7857 2.50000.20.10.20.50.50.40.10.30.2A0kkA10.91A 0kkA0kkA蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-10矩陣函數(shù)定義：矩陣函數(shù)的定義基于收斂的矩陣冪級(jí)數(shù) 。 收斂于一個(gè)唯一的矩陣，即此矩陣冪級(jí)數(shù)的和S。這樣，矩陣冪級(jí)數(shù)在矩陣 與 之間建立了一個(gè)映射：稱此映射為矩陣函數(shù)，它是以矩陣為變量（更為確切地，以方陣為變量）且取值為矩陣（方陣）的一類函數(shù)。稱S為A在映射f下的象，記作：:n nn nf CC0kkka A0kkka A( )Sf An nCn nC0()!kzkzerk 210( 1)s

7、in()(21)!kkkzzrk 20( 1)cos()(2 )!kkkzzrk 10(1)(1)kkzzr10( 1)ln(1)(1)1kkkzzrk蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-11矩陣函數(shù)相應(yīng)地，根據(jù)矩陣冪級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則，將矩陣冪級(jí)數(shù)的和分別記為下列矩陣函數(shù)0()!kn nkAACk 210( 1)()(21)!kkn nkAACk 20( 1)()(2 )!kkn nkAACk 0( ( )1)kkAA10( 1)( ( )1)1kkkAAk1,sin,cos,() ,ln()AeAAIAIA蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-12矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用許多工程問(wèn)

8、題，常常化為求解一階常系數(shù)微分方程組的問(wèn)題由線性元件構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程組及輸出方程組其它動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或受控系統(tǒng)LCR2R1u(t)iLiCxAxBuyCxDumy(t)F(t)xAxBu蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-13矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)假設(shè)上述方程組的初始條件為 或先考察u(t) = 0時(shí)， 的解，這時(shí)狀態(tài)方程組簡(jiǎn)化為這相當(dāng)于求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)當(dāng)矩陣A為數(shù)a時(shí)，其解為可以設(shè)想，當(dāng) 而 時(shí)， 的解含有 ，可以證明 都是收斂的，因而其和是有意義的離散時(shí)間系統(tǒng)x(n)y(n)( )(1)( )m nGm nHx n( )( )( )y nCm nDx nxAxBuxAx

9、00( )x tx0(0)xx0()0( )a t tx texAten nACnxCxAxButR 01()!kkAtk0()!kAn nkAeACk 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-14矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用矩陣函數(shù) 、 及 滿足代數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)Euler公式 sin Acos AAesin()sinAA cos()cosAAcossinAeAiAcos2iAiAeeAsin2iAiAeeAi0!kiAkkieAk22100( 1)( 1)(2 )!(21)!cossinkkkkkkAiAkkAiAcos()sin()iAeAiAcossinAiAcos2iAiAeeAsi

10、n2iAiAeeAiAe蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-15矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)設(shè) ，且()A BABBAee ee esin()sincoscossinABABABcos()coscossinsinABABAB,n nA BCABBAsin22sincosAAA22cos2cossinAAA0011()()!ABkkkke eABkk01()!A BkkeABk221()()2!IABAABBAB3222231()3!AABABAB AA BABBABB221()(2)2!IABAABB32231(33)3!AA BABB充要條件蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩

11、陣?yán)碚摰?講-16矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)設(shè)若 ， 是A的特征值，則矩陣函數(shù) 的特征值為由Jordan定理， ，使得eI0n nACtrdetAAee1()AAeen nAC12,n( )f A12(),(),()nfff11211(10)innP APJorn nnPC 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-17矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用再設(shè) ，可得如下矩陣冪級(jí)數(shù)收斂。由于即矩陣冪級(jí)數(shù) 收斂，由于 的對(duì)角線元素為所以，這些復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)收斂，且0(1, )kkjkajn1100()()kkkkkkPa APaP A P0( )kkkf Aa A10()kkkPa AP1

12、00()kkkkkka P APa J0kkka J0()(1, )kkjikafjn0kkka J1000det()()()kkkkkknkkkIa Jaa12() ()()nfff110()( )kkkPa APPf A P蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-18矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用由于相似矩陣具有相同的特征值，所以 的特征值為由此， 的特征值為0( ) kkkf Aa J12(),(),()nfff( )f AAe12,neee12detnA 112212trnnnAaaa12detnAeeee12trnAee 0Ae可逆AAe eeI01()AAee蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)

13、院矩陣?yán)碚摰?講-19矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用需要注意的幾點(diǎn) 除非A為對(duì)角矩陣1111nnnnaaAaa1111nnnnaaAaaeeeee1111sinsinsinsinsinnnnnaaAaa蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-20矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 的求法舉例利用Hamilton-Cayley定理已知求解：由Hamilton-Cayley定理00AAteAte22( )det()IA ( )A022AI 0222()( 1)kkkkAII 21221()( 1)kkkkAAIA (1,2,)k 24350()()()()()(1)(1)!2!4!3!5!kAtkAtttt

14、tAeIkcossincossinsincosttAt Ittt 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-21矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 的求法舉例利用相似對(duì)角化若同理Ate112(,)nP APdiag 100( )()kkkkkkf Aa Aa P P112000112diag(,)diag( (),(),()kkkkkknkkknPaaaPPfffP112()diag( (),(),()nf AtPftftft P460350361A 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-22矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 的求法舉例利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形Jordan塊的冪Ate11iiiir rii

15、JCn nACn nnPC 121sJJP APJJ(1)()()()1!2!(1)!()1!()2!()1!iirkkkkikkkkikkkrJ 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-23矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 1(1)2200()()()1!2!(1)!()1!()()2!()1!iiirrkkkkikkk kkikikkkkkkttttrtf J ta J tatt 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-24矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 1(1)200000020000()()()1!2!(1)!()1!()()2!()1!iiirrkkkkkkkkkkkkikkkkkkkki

16、kkkkkkkkkkttttaaaartaatf J taataa 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-25矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 1(1)22( )( )( )( )1!2!(1)!( )( )1!()( )( )2!( )1!( )iiirriittft ftffrtfff J tt fftff 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-26矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 100()()k kkkkkkkf Ata A ta PJPt1010120011()()()k kkkk kkkk kkkk kksksPa J tPa J ta J tPPa J tf J tPPf J t蘭州

17、大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-27矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用已知求101120403AAe121ttJJttttteeeeee1112J蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-28矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用 的求法舉例利用矩陣多項(xiàng)式為計(jì)算利用多項(xiàng)式的帶余除法，將 表示為如下形式：由Hamilton-Cayley定理令因?yàn)樗訟te0()k kkkf Ata A t()ft()( , ) ( )( , )deg ( , )ftgtrtrtn ( )A0()( , )f Atr A t1110( , )( )( )( )nnrtbtb tb t( )()0(0,1,1;1,2, )liilris1212( )() ()()srrrs ()( , )(0,1,1;1,2, )iillillddftrtlrisdd 蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院矩陣?yán)碚摰?講-29矩陣函數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用已知求101120403AAte()tfte2( )(1) (2) 2210( , )( )( )( )rtb tb tb t210(1, )( )( )( )trtb tb tb te21(1, )2( )( )trtb tb tte2210(2, )4( )2 ( )( )trtb tb tb te2210( )( )( )Ateb t Ab t Ab t I利用矩陣A的最小