1、飛揚(yáng)教育寒假教材五年級(jí)基礎(chǔ)提高教材目 錄第1講 巧算（一） 2 第2講 巧算（二） 5第3講 列方程解應(yīng)用題 7第4講 行程問(wèn)題（一） 10第5講行程問(wèn)題（二） 12第6講行程問(wèn)題（三） 15第7講 多邊形的面積 18第8講 植樹(shù)問(wèn)題（一）22第9講 植樹(shù)問(wèn)題（二）24第1講 巧算（一）德國(guó)大教育家高斯（1777-1855）讀小學(xué)的時(shí)候，有一天，老師出了這樣一道題：1+2+3+99+100的和是多少？老師剛把這道題說(shuō)完，小高斯已迅速、準(zhǔn)確地說(shuō)出了答案5050，這令班上的同學(xué)吃驚不已。原來(lái)高斯是用一種巧妙的方法算出這道題的。后來(lái)人們稱這種計(jì)算方法為“高斯原理”。同學(xué)們一定想提高自己的計(jì)算能力，使

2、自己計(jì)算時(shí)算得又快又巧。這一講，我們學(xué)習(xí)整數(shù)的巧算，也就是根據(jù)數(shù)的 點(diǎn)，數(shù)的排列規(guī)律，巧妙地運(yùn)用運(yùn)算定律或性質(zhì)，使計(jì)算簡(jiǎn)便。例題與方法例1計(jì)算（1+3+3+1999）-（2+4+6+1998）例2計(jì)算99999×77778+33333×66666例3計(jì)算654321×123456-654322×123455例4計(jì)算1234562-1234552例59=3×3，16=4×4，這里“9”和“16”都叫做“完全平方數(shù)”。在前300個(gè)自然數(shù)中，“完全平方數(shù)”的和是多少？練習(xí)與思考1計(jì)算1+2+3+199+2002計(jì)算100+99-98+97-

3、96+3-2+13計(jì)算1961+1971+1981+1991+20014計(jì)算1990-1985+1980-1975+20-15+10-55計(jì)算999+99+9+9999+999996計(jì)算33333×666667計(jì)算9999×2222+3333×33348計(jì)算1989×1999-1988×20009計(jì)算1999+999×99910已知數(shù)列1，4，7，10，（1）這列數(shù)的第21項(xiàng)是多少？（2）118是這列數(shù)中的第幾個(gè)數(shù)？11在前200個(gè)自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？12計(jì)算2974×302613計(jì)算

4、202-192+182-172+22-1214計(jì)算1997×19981998-1998×19971997第2講 巧算（二）上一講我們學(xué)習(xí)了整數(shù)的巧算，這一講我們學(xué)習(xí)小數(shù)的巧算。例2計(jì)算0.9999××2.7例3計(jì)算3.6×31.4+43.9×6.4例47.37×12.5×0.15×16例5計(jì)算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99例6計(jì)算（44332-443.32）÷（88664-886.64）練習(xí)與思考用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。1 15.4-2.17-3.83+4.

5、62. 25.6-(0.23+5.6)-51.74. 12.5×0.64×2.55. 36.3×4.5+6.37×456. 1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.57. 0.876+0.765+0.654+0.543+0.4328. 36×2.54+1.8×49.29. 5.76×1.1+57.7×0.8910. (22944-22.944) ÷(45888-45.888)11. 16.15÷1.8+1.85÷1.812.(4.8+3.6+2.4+1.

6、2) ÷1.8第3講 列方程解應(yīng)用題有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困難。此時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個(gè)未知量為x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個(gè)量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個(gè)含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡(jiǎn)潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。例1商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問(wèn)：膠鞋有多少雙？分析：此題幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來(lái)，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達(dá)出來(lái)。設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布鞋銷售收入為5.9

7、（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（46-x）雙。（46-x）=10 7.5x-271.4+5.9x=10 13.4x=281.4 x=21答：膠鞋有21雙。答：袋中共有74個(gè)球。在例1中，求膠鞋有多少雙，我們?cè)O(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個(gè)球，我們?cè)O(shè)紅球有x個(gè)，求出紅球個(gè)數(shù)后，再求共有多少個(gè)球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個(gè)未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡(jiǎn)便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使

8、用直接設(shè)元法。例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計(jì)劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問(wèn)：計(jì)劃修建住宅多少座？分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計(jì)劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程80x-40=（30x+40）×2，80x-40=60x+80， 20x=120， x=6（座）。分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。（x-40）×80=（2x+40）×30，80x

9、-3200=60x+1200， 20x=4400， x=220（米3）。由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們做練習(xí)。例4教室里有若干學(xué)生，走了10個(gè)女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問(wèn)：最初有多少個(gè)女生？分析與解：設(shè)最初有x個(gè)女生，則男生最初有（x-10）×2個(gè)。根據(jù)走了10個(gè)女生、9個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程x-10=（x-10）×2-9×5x-10=（2x-29）×5x-10=10x-1459x=135 x=15例5一群學(xué)生進(jìn)

10、行籃球投籃測(cè)驗(yàn)，每人投10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：還知道至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn)6個(gè)球，投進(jìn)不到8個(gè)球的人平均投進(jìn)3個(gè)球。問(wèn)：共有多少人參加測(cè)驗(yàn)？分析與解：設(shè)有x人參加測(cè)驗(yàn)。由上表看出，至少投進(jìn)3個(gè)球的有（x-7-5-4）人，投進(jìn)不到8個(gè)球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16）= 6x-83也等于進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，3×（x-3-4-1）+8&

11、#215;3+9×4+10×1= 3×（x-8）+24+36+10= 3x+46由此可得方程6x-83=3x+46 3x=129x=43例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過(guò)了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個(gè)人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元。求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量。分析與解：設(shè)每人可免費(fèi)攜帶x千克行李。一方面，三人可免費(fèi)攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4÷（150-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行

12、李超重（150-x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8÷（150-x）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程4÷（150-3x）=8÷（150-x）4×（150-x）=8×（150-3x） 600-4x=1200-24x20x=600x=30練習(xí)1.大、小兩個(gè)水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的1.5倍，問(wèn)：兩池中共有多少噸水？2.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個(gè)男孩看來(lái)，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個(gè)女孩看來(lái)，黃帽子是紅帽子的2倍。

13、問(wèn)：男孩、女孩各有多少人？3.教室里有若干學(xué)生，走了10個(gè)女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個(gè)女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問(wèn)：教室里原有多少個(gè)學(xué)生？ 第4講 行程問(wèn)題（一）討論有關(guān)物體運(yùn)動(dòng)的速度、時(shí)間、路程三者關(guān)系的應(yīng)用題叫做行程應(yīng)用題。行程問(wèn)題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度×時(shí)間如果用字母s表示路程，t表示時(shí)間，v表示速度，那么，上面的數(shù)量關(guān)系可用字母公式樣表示為：s=vt。行程問(wèn)題內(nèi)容豐富多彩、千變?nèi)f化。主要有一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)和兩個(gè)或幾物體的運(yùn)動(dòng)兩大類。兩個(gè)或幾個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)又可以分為相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題兩類。這一講我們學(xué)習(xí)一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題的一些簡(jiǎn)單的相遇問(wèn)題。例題與方法

14、例1小明上學(xué)時(shí)坐車，回家時(shí)步行，在路上一共用了90分。如果他往返都坐車，全部行程需30分。如果他往返都步行，需多少分？例2甲、乙兩城相距280千米，一輛汽車原定用8小時(shí)從甲城開(kāi)到乙城。汽車行駛了一半路程，在中途停留30分。如果汽車要按原定時(shí)間到達(dá)乙城，那么，在行駛后半段路程時(shí)，應(yīng)比原來(lái)的時(shí)速加快多少？例3一列火車于下午1時(shí)30分從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行60千米。1小時(shí)后，另一列火車以同樣的速度從乙站開(kāi)出，當(dāng)天下午6時(shí)兩車相員。甲、乙兩站相距多少千米？例4蘇步青教授是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家。一次出國(guó)訪問(wèn)，他在電車上碰到了一位外國(guó)數(shù)學(xué)家，這位外國(guó)數(shù)學(xué)家出了一道題目讓蘇步青做，題目是：甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)

15、，相向而行，距離是100千米。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時(shí)行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時(shí)又往乙那邊走，直到兩人相遇。這只狗一共走了多少千米？蘇步青略加思索，就把正確答案告訴了這位外國(guó)數(shù)學(xué)家。小朋友們，你能解答這道題嗎？例5甲、乙兩輛汽車同時(shí)從東、西兩地相向開(kāi)出，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行48千米，兩輛汽車在距中點(diǎn)32千米處相遇。東、西兩地相距多少千米？練習(xí)與思考 1小王、小李從相距50千米的兩地相向而行，小王下午2時(shí)出發(fā)步行，每小時(shí)行4.5千米。小李下午3時(shí)半騎自行車出發(fā)，、經(jīng)過(guò)2.5小時(shí)兩人相遇。小李騎自行車每

16、小時(shí)行多少千米？2A、B兩地相距60千米。兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)前往B地。甲車比乙車早30分到達(dá)B地。當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車離B地還有10千米。甲國(guó)君從A地到B地共行了幾小時(shí)？3一輛公共汽車和一輛面包車同時(shí)從相距255千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行33千米，面包車每小時(shí)行35千米。行了幾小時(shí)后兩車相距51千米？再行幾小時(shí)兩車又相距51千米？4甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地相對(duì)而行，甲騎車每小時(shí)行16千米，乙騎摩托車每小時(shí)行65千米。甲離出發(fā)點(diǎn)62.4千米處與乙相遇。A、B兩地相距多少千米？5小張的小王同時(shí)分別從甲、乙兩村出發(fā)，相向而行。步行1小時(shí)15分后，小張走了兩村間路程的一半還多0.75

17、千米，此時(shí)恰好與小王相遇。小王的速度是每小時(shí)3.7千米，小張每小時(shí)行多少千米？6A、B兩地相距20千米，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)去B地。甲騎車每小時(shí)行10千米，乙步行每小時(shí)行5千米。甲在途中停了一段時(shí)間修車。乙到達(dá)B地時(shí)，甲比乙落后2千米。甲修車用了多少時(shí)間？第5講 行程問(wèn)題（二）本講主要講“相遇問(wèn)題”。相遇問(wèn)題一般是指兩個(gè)物體從兩地出發(fā)，相向而行，共同行一段路程，直至相遇，這類應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：總路程=速度和×相遇時(shí)間這里的“速度和”是指兩個(gè)物體在單位時(shí)間內(nèi)共同行的路程。例題與方法例1甲、乙兩輛汽車同時(shí)從東村、西村之間公路的中點(diǎn)向相反方向行駛，6小時(shí)后，甲車到達(dá)東村，乙車離西

18、村還有42千米。已知甲車的速度是乙車的2倍。東、西兩村之間的公路長(zhǎng)多少千米？例2一支1800米長(zhǎng)的隊(duì)伍以每分90米的速度行進(jìn)，隊(duì)伍前端的聯(lián)系員用9分的時(shí)間跑到隊(duì)伍末尾傳達(dá)命令。聯(lián)絡(luò)員每分跑多少米？例3甲、乙兩車相距516千米，兩車同時(shí)從兩地出發(fā)豐向而行，乙車行駛6小時(shí)后停下修理車子，這時(shí)兩車相距72千米。甲車保持原速繼續(xù)前進(jìn)，經(jīng)過(guò)2小時(shí)與乙車相遇。求乙車的速度。例4甲、乙兩列車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地75千米處相遇。相遇后兩列車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次相遇在離B地55千米處。求A、B兩會(huì)間的路程。練習(xí)與思考1甲、乙兩人分別從東、西兩地同時(shí)相向而行。2小時(shí)后兩人相

19、距96千米，5小時(shí)后兩人相距36千米。東、西兩地相距多少千米？2甲、乙兩人騎車從同一地點(diǎn)向相反方向出發(fā)，甲車每小時(shí)行13千米，乙車每小時(shí)行12千米 。如果甲先行2小時(shí)，那么，乙行幾小時(shí)后兩人相距99千米？3甲、乙兩地相距59千米，汽車行完全程要0.7小時(shí)，步行要14小時(shí)。一個(gè)人從甲地出發(fā)，步行1.5小時(shí)后改乘汽車，他到達(dá)乙地共要幾小時(shí) ？4甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行。甲車每小時(shí)行82千米，乙車每小時(shí)行72千米，兩車在離中點(diǎn)30千米處相遇。A|B兩地相距多少千米？5甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地相向開(kāi)出，甲車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)已駛過(guò)中點(diǎn)25千米，這時(shí)乙車與甲車還相距7千米。求乙

20、車的速度。6甲、乙兩車同時(shí)同地同向行進(jìn)，甲車每小時(shí)行30千米，乙車每小時(shí)行的路程是甲車的1.5倍。當(dāng)乙車行到90千米 的地方時(shí)立即按原路返回，又行了幾小時(shí)和甲車相遇？7兩輛汽車從同一地點(diǎn)向相反方向開(kāi)出，第一輛汽車每小時(shí)行48千米，第二輛汽車每小進(jìn)行52千米。如果第一輛車先行1.2小時(shí)，那么，兩輛汽車同時(shí)行駛幾小時(shí)后，它們之間的距離為557.6千米？8一架運(yùn)輸機(jī)和一架客機(jī)同時(shí)從某地起飛相背飛行，2.5小時(shí)后兩機(jī)相距3650千米。已知客機(jī)比運(yùn)輸機(jī)每小時(shí)多飛行100千米，運(yùn)輸機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？9A、B兩地相距6千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)在兩面三刀地間往返行走（到達(dá)另一地后就馬上返回

21、），在出發(fā)40分后兩人么一次相遇。乙到達(dá)A地后馬上返回，在離A地2千米的地方兩面三刀人第二次相遇。求甲、乙兩人的速度。10客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米。兩車相遇后又以原速繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙地后立即返回，貨車到達(dá)甲地后也立即返回，兩車在距中點(diǎn)108千米處再以、次相遇。甲、乙兩地相距多少千米？第6講行程問(wèn)題（三） 本講的內(nèi)容是“追及問(wèn)題”。 追及問(wèn)題一般是知兩個(gè)物體同時(shí)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間，后者追上前者的問(wèn)題。追及問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度差 ×追及時(shí)間=追及路程例1 中巴車每小時(shí)行60千米，小轎車每小時(shí)行84千米，兩車由同一個(gè)車庫(kù)出發(fā)。

22、已知道中巴車先開(kāi)出，30分鐘后小轎車順著中巴車的路線出發(fā)，小轎車經(jīng)過(guò)多少時(shí)間能追上中巴車？例2 甲、乙兩車同時(shí)、同地出發(fā)去同一目的地，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行35千米。途中甲車因故障修車用了3小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲1小時(shí)到達(dá)目的地。兩地間的路程是多少千米？例3 兄妹兩人同時(shí)離家去上學(xué)，哥哥每分走90米，妹妹每分走60米。哥哥到校門口時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即沿原路回家去取，行到離學(xué)校180米處與妹妹向隅，他們呢家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？例4 小華、小麗個(gè)小霞三人都要從甲地到乙地，早上6時(shí)小華和小麗兩人一起從甲地出發(fā)一，小華每小時(shí)走5千米，小麗每小時(shí)走4千米。小霞上午8時(shí)才從甲地出發(fā)。傍晚6時(shí)，小華

23、和小霞同到到達(dá)乙地。小霞是在什么時(shí)間追上小麗的？練習(xí)與思考1 哥哥放學(xué)回家，以每小時(shí)6千米的速度步行，18分后，弟弟也從同一所學(xué)校放學(xué)回家，弟弟騎自行車以每小時(shí)15千米的速度追上哥哥。經(jīng)過(guò)幾分弟弟可以追上哥哥？2 兩輛卡車為王村送化肥，第一輛以每小時(shí)30千米的速度由倉(cāng)庫(kù)開(kāi)往王村，第二輛晚開(kāi)12分，以每小時(shí)40千米的速度由倉(cāng)庫(kù)開(kāi)往王村，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)。倉(cāng)庫(kù)到王村的路程有多少千米？3 好馬每天走240里，劣馬每分走150里，劣馬先走12天，好馬幾天可以追上劣馬？（我國(guó)古代算題）4 小玲每分行100米，小平每分行80米，兩人同時(shí)同地背向行了5分后，小玲調(diào)轉(zhuǎn)方向去追趕小平。小玲追上小平時(shí)一共行了多少

24、米？5一架飛機(jī)從甲地飛往乙地，原計(jì)劃每分飛行9千米，現(xiàn)在按每分12千米的速度飛行，結(jié)果比原計(jì)劃提前半小時(shí)到百葉窗。甲、乙兩地相距多少千米？6一輛摩托車追前面的汽車，汽車每小時(shí)行28千米，摩托車每小時(shí)行40千米，摩托車開(kāi)出4小時(shí)后追上汽車。汽車比摩托車早出發(fā)幾小時(shí)？（得數(shù)保留一位小數(shù)）7一支隊(duì)伍長(zhǎng)450米，以每秒1。5米的速度行進(jìn)。一個(gè)戰(zhàn)士因畫(huà)需從排尾趕到排頭，并立即返回排尾。如果他的速度是每秒3米，那么，這位戰(zhàn)士往返共需多少時(shí)間？8李華以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)步持到20.4千米以外的冬令營(yíng)報(bào)到，半小時(shí)后，營(yíng)地的老師聞?dòng)嵡巴樱蠋熋啃r(shí)比李華多走1.2千米。又過(guò)了1.5小時(shí)，張明從學(xué)校

25、騎車去營(yíng)地報(bào)到，結(jié)果三人同時(shí)在途中相遇。張明騎車每小時(shí)行多少千米？9甲、乙兩人各騎一輛自行車由同一地點(diǎn)出發(fā)，到相隔45千米的某地辦事。乙比甲早出發(fā)20分，而甲比乙早到45分，甲到達(dá)時(shí)乙在甲的后面10千米處。甲每小時(shí)行多少千米？（得數(shù)保留整數(shù)）10玲玲從家到縣城上學(xué)，她以每分50米的速度走了2分后，發(fā)現(xiàn)按個(gè)人速度走下去要遲到8分，于是她加快了速度，每分多走10米，結(jié)果到學(xué)校時(shí)，離上課還有5分。玲玲家到學(xué)校的路程是多少米？  第7講 多邊形的面積我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計(jì)算，圖形及計(jì)算公式如下：正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=a

26、2，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬=ab，平行四邊形面積=底×高=ah，圓面積=半徑×半徑×=r2，扇形面積=半徑×半徑××圓心角的度數(shù)÷360°在實(shí)際問(wèn)題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計(jì)算。在本講和后面的兩講中，我們將學(xué)習(xí)如何計(jì)算它們的面積。例1 小兩個(gè)正方形組成下圖所示的組合圖形。已知組合圖形的周長(zhǎng)是52厘米，DG=4厘米，求陰影部分的面積。分析與解：組合圖形的周長(zhǎng)并不等于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和，因?yàn)镃G部分重合了。用組合圖形的周長(zhǎng)減去DG，就得到大、

27、小正方形邊長(zhǎng)之和的三倍，所以兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。又由兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差是4厘米，可求出大正方形邊長(zhǎng)=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形邊長(zhǎng)=（16-4）÷2=6（厘米）。兩個(gè)正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，就得到陰影部分的面積。102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。例2如左下圖所示，四邊形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。分析與證明：這道題兩個(gè)平行四邊形的關(guān)系不太明了，似乎無(wú)從下手。我們添加一條輔助線，即連

28、結(jié)CE（見(jiàn)右上圖），這時(shí)通過(guò)三角形DCE，就把兩個(gè)平行四邊形聯(lián)系起來(lái)了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。兩個(gè)平行四邊形的面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。例3如左下圖所示，一個(gè)腰長(zhǎng)是20厘米的等腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到兩腰的垂線段的長(zhǎng)分別是a厘米和b厘米。求a+b的長(zhǎng)。分析與解：a，b與三角形面積的

29、關(guān)系一下子不容易看出來(lái)。連結(jié)等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊上所取的點(diǎn)，把等腰三角形分為兩個(gè)小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米（見(jiàn)右上圖）。大三角形的面積與a，b的關(guān)系就顯露出來(lái)了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個(gè)小三角形的面積分別為20×a÷2和20×b÷2。因?yàn)檫@兩個(gè)小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有20×a÷2+20×b÷2=140，10×（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通過(guò)添加輔助線，使圖形間的關(guān)系更清晰，從而使問(wèn)題得解。下面再看一例。例4如左下圖所示，

30、三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長(zhǎng)一倍到D，E，F(xiàn)，兩兩連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到一個(gè)新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。分析與解：想辦法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯(lián)系。連結(jié)FB（見(jiàn)右上圖）。因?yàn)镃A=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因?yàn)锳B=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。所以三角形DEF的面積等于20×3+10=70（厘米2）。例5一個(gè)正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下

31、的長(zhǎng)方形比原來(lái)正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長(zhǎng)方形的面積。分析與解：根據(jù)已知條件畫(huà)出下頁(yè)左上圖，其中甲、乙、丙為截去的部分。由左上圖知，丙是長(zhǎng)15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150（厘米2）。因?yàn)榧住⒈纬傻木匦蔚拈L(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，乙、丙形成的矩形的長(zhǎng)也等于原正方形的邊長(zhǎng)，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于10+15=25（厘米），長(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，面積等于（甲+丙）+（乙+丙）= 甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米2）。所以原正方形的的邊長(zhǎng)等于1875÷25=75（厘米）。剩下的長(zhǎng)方形的面積等于75

32、5;75-1725=3900（厘米2）。例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見(jiàn)右圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。分析與解：把黃色正方形紙片向左移動(dòng)并靠緊盒子的左邊。由于三個(gè)正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁(yè)右上圖。此時(shí)露出的黃、綠兩部分的面積相等，都等于（14+10）÷2=12。因?yàn)榫G：紅=A黃，所以綠×黃=紅×A，A=綠×黃÷紅 =12×12÷20=7.2。正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20

33、+12+12+7.2=51.2。 練習(xí)1.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個(gè)最大的正方形，求這個(gè)正方形的面積。2.如左下圖所示，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是75厘米，以BC為底的高是14厘米，以CD為底的高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。3.如右上圖所示，在一個(gè)正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平方米？4.如右圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是28厘米2，梯形的上底長(zhǎng)是多少厘米？5.如下圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形ABC的面積是多少？6.

34、一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是28厘米，如果它的長(zhǎng)、寬都分別增加3厘米，那么得到的新長(zhǎng)方形比原長(zhǎng)方形的面積增加了多少平方厘米？第八講 植樹(shù)問(wèn)題（一）在一定長(zhǎng)度的線路上，等距離地安排若干個(gè)點(diǎn)植樹(shù)，植樹(shù)的棵數(shù)、株距（相鄰兩棵樹(shù)之間的距離）與線路的總長(zhǎng)之間存在某種數(shù)量關(guān)系，研究這種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題通常被稱為植樹(shù)問(wèn)題。植樹(shù)問(wèn)題一般分為線段上的植樹(shù)問(wèn)題和環(huán)形線路上的植樹(shù)問(wèn)題。1線段上的植樹(shù)問(wèn)題分以下三種情形討論： （1）如果植樹(shù)線路的兩端都要植樹(shù)，那么， 植樹(shù)的棵數(shù) = 線路和全長(zhǎng)÷ 株距+1 線路的全長(zhǎng) = 株距×（植樹(shù)的棵數(shù)-1） 株距 = 線路的全長(zhǎng)÷ （植樹(shù)的棵數(shù)-1） （2）如

35、果植樹(shù)線路的一端要植樹(shù)，另一端不要植樹(shù)，那么， 植樹(shù)的棵數(shù) = 線路和全長(zhǎng)÷ 株距 線路的全長(zhǎng) = 株距×植樹(shù)的棵數(shù) 株距 = 線路的全長(zhǎng)÷植樹(shù)的棵數(shù) （3）植樹(shù)的棵數(shù) = 線路和全長(zhǎng)÷ 株距-1 線路的全長(zhǎng) = 株距×（植樹(shù)的棵數(shù)+1） 株距 = 線路的全長(zhǎng)÷ （植樹(shù)的棵數(shù)+1）2環(huán)形線路上的植樹(shù)問(wèn)題，線路的全長(zhǎng)、植樹(shù)的棵樹(shù)、株距之間的數(shù)量關(guān)系是：植樹(shù)的棵數(shù) = 線路和全長(zhǎng)÷ 株距 線路的全長(zhǎng) = 株距×植樹(shù)的棵數(shù) 株距 = 線路的全長(zhǎng)÷植樹(shù)的棵數(shù)從以上數(shù)量判斷中容易看出：植樹(shù)的棵樹(shù)，株距與線路的全長(zhǎng)三

36、個(gè)量中，只要知道其中的兩個(gè)量，就能求出第三個(gè)量。例1在一條路的一邊種樹(shù)，從頭到尾一共種了45棵，相鄰兩棵樹(shù)之間相距5米，這條路長(zhǎng)多少米？例2.在一個(gè)湖泊周圍筑成周長(zhǎng)是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳樹(shù)1棵，然后在相鄰的兩棵柳樹(shù)之間栽桃樹(shù)2棵，大堤上栽柳樹(shù)和桃樹(shù)各多少棵？例3.把一根木頭鋸成4段需要6分，如果要鋸成13段，需要多少分？例4小平和小亮同住在一幢大樓里，小平住五樓，小亮住四樓，小平每天回家要走80級(jí)臺(tái)階，小亮回家要走多少級(jí)臺(tái)階？練習(xí)與思考 1一條路長(zhǎng)100米，在這條路的一旁從頭到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面彩旗？2在一條長(zhǎng)75米的長(zhǎng)廊一邊擺花盆，起點(diǎn)和終點(diǎn)都擺，一共擺了26盆。相鄰兩盆花之間的距離相等，相鄰兩盆花之間相距多遠(yuǎn)？3在一條馬路的兩側(cè)種樹(shù)，每隔10米種一棵（兩端都不種），這條馬路全長(zhǎng)240米，一共需種多少棵樹(shù)？4在一條道路的兩旁栽樹(shù)，一共栽了32棵，每隔8米