1、高中數(shù)學(xué)向量的概念及表示一、考點(diǎn)突破知識點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明向量的概念及表示1. 了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念；2. 理解零向量、單位向量、相等向量、共線（平行）向量、相反向量的含義；3. 理解向量的幾何表示選擇填空高考必考向量是代數(shù)和幾何的知識交匯點(diǎn)，在選擇填空題中向量的幾何應(yīng)用要引起足夠的重視二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。難點(diǎn)：向量的概念和共線向量的概念。一、向量及相關(guān)概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小稱為向量的模（也就是用來表示有向線段的長度）。注意：向量與數(shù)量的區(qū)別向量有大小有方向，數(shù)量只有大小沒有方向。故長度能比較大

2、小，而向量不能說哪個大哪個小，只能說相等還是不相等。（2）零向量：長度為0的向量叫做零向量，記做0。（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量。（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。（5）相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。（6）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任一向量平行。【要點(diǎn)詮釋】兩個向量共線，不一定相等；而兩個向量相等，則一定共線。向量“共線”的含義不是平面幾何里的“共線” 的含義。平面幾何里的三點(diǎn)共線與兩個向量共線不同：首先共線向量不考慮起點(diǎn)，其次明確共線向量可分為以下五種情況：（1）方向相

3、同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共線。二、向量的表示（1）幾何法：用有向線段來表示，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)來表示，如用表示。（2）整體法：用一個小寫英文字母來表示，如a,b,c等，注意此時手寫（）與書寫體a 不一樣。（3）坐標(biāo)法：用坐標(biāo)來表示向量（以后學(xué)習(xí)）。【易錯點(diǎn)】注意：1. 零向量的手寫體為，書寫體用黑體字0表示。2. 如果有向線段表示一個向量，通常我們就說向量，但有向線段只是向量的表示，并不是說向量就是有向線段。3. 共線向量也就是平行向量，其要求是幾個非零向量的方向相同或相反，當(dāng)然向量所在的直線可以平行，也可

4、以重合。示例：四邊形ABCD滿足且，則四邊形ABCD的形狀是_。思路分析：根據(jù)相等向量的定義可得。答案：由四邊形ABCD滿足可知，四邊形ABCD為平行四邊形，又，即平行四邊形ABCD對角線相等，從而可知四邊形ABCD為矩形。【重要提示】本題是考查圖形的形狀的問題，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的邊的關(guān)系來解決。例題1 （向量的有關(guān)概念）判斷下列各說法是否正確：（1）單位向量一定相等；（2）若ab，bc，則ac；（3）若，則點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合；（4）若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；（5）若向量ab，則ab；（6）若ab，bc，則ac。思路分析：從概念的理解出發(fā)，結(jié)合具

5、體實(shí)例進(jìn)行判斷。答案：（1）不正確。向量有大小和方向兩個要素，單位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以單位向量不一定相等。（2）正確。ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac。（3）不正確。這是因?yàn)闀r，應(yīng)有及由A到B與由C到D的方向相同，但不一定有A與C重合，B與D重合。（4）不正確。“大于”、“小于”對于向量來說是沒有意義的。（5）正確。相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等。（6）不正確。對于非零向量命題正確，但當(dāng)b0時，滿足ab，bc，但a與c不一定共線。技巧點(diǎn)撥：1. 在判斷與向量有關(guān)的命題時，既要立足向量的數(shù)（

6、即模的大小），又要考慮其形（即方向性）。2. 涉及共線向量或平行向量的問題，一定要明確所給向量是否為非零向量。3. 對于判斷命題的正誤，應(yīng)該熟記有關(guān)概念，理解各命題，逐一進(jìn)行判斷，對于錯誤命題，只要舉一反例即可。例題2 （向量的表示） 一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)B，然后又改變方向向西偏北50°行駛了200千米到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)D。（1）作出向量，；（2）求思路分析：解答本題應(yīng)首先確定指向標(biāo)，然后再根據(jù)行駛方向確定有關(guān)向量，進(jìn)而求解。答案：（1）如圖，（2）由題意，易知與方向相反，故與共線，即ABCD，又，在四邊形ABCD中，AB與C

7、D平行且相等，四邊形ABCD為平行四邊形，200（千米）。技巧點(diǎn)撥：用有向線段表示向量時，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)。必要時，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向或長度（模），選擇合適的比例關(guān)系作出向量。向量在幾何證明中的應(yīng)用【例證】如圖，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又。求證：CN與MA平行且相等。思路分析：要證CNMA且CNMA，只需證四邊形AMCN是平行四邊形，而四邊形AMCN是平行四邊形，可以通過得證。答案：由條件可知ABDC且ABDC，從而四邊形ABCD為平行四邊形，從而，又M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，于是，所以ANMC且ANMC，所以四邊形AMCN是平行四邊形，從而CNMA且CNMA，即CN與MA平行且相等。技巧點(diǎn)撥：1. 若，且四點(diǎn)A，B，C，D不共線，則