1、用平移、旋轉和軸對稱研究幾何問題學習旋轉要解決的問題：分三個層次直接的旋轉作圖或者旋轉關系的敘述；增加干擾線段，隱含部分已知，主動發現旋轉關系，并證明 某些結論需要添加輔助線，完善圖形創造情境，進行證明。要重視的問題：共頂點的等腰三角形的出現是實現旋轉的情境；(輔助線添加方向)一、平移、旋轉和軸對稱在幾何題中的應用1 已知： ABC與厶ADE都是等腰直角三角形 .求證：BD丄EC.2. 如圖，已知 ABC ADE, Z B = 45°, / C= 20°, / EAB = 30°,則/ D = _。，若 AC > DE 交于點 F，則/ EFC3. 如圖，

2、ABC中，Z BAC=120o，以BC為邊向形外作等邊 BCD，把 ABD繞著點D按順時針方向旋轉 60o后到 ECD的位置.若AB=3, AC=2，求Z BAD的度數和 AD的長.4. 已知：如圖，A、B、C在同一直線上，且 ABE與 BCD都是等邊三角形，求證：AD CE .拓展 如圖1,點C為線段AB上一點， ACM , CBN是等邊三角形，直線 AN、MC交于點E, BM、CN交于點 F.(1) 求證：AN=BM ;(2) 求證： CEF為等邊三角形；(3) 將厶ACM繞點C按逆時針方向旋轉 900,其他條件不變，在圖 2中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2) 兩小題的結論是否仍

3、然成立(不要求證明)5. 如圖，已知正方形 ABCD和BC邊上一點E,將直角三角形 ABE繞點B逆時針旋轉90°，再沿BC方向平移，平移 距離是線段BC的長度，請畫出圖形.并回答：旋轉后三角形的斜邊與AE有什么關系？為什么？、常見的利用平移、旋轉和軸對稱變換作的輔助線幾何問題中的輔助線是對同學們幾何思維能力的考驗，通過分析找到輔助線的添加方法，能夠使幾何問題簡化，有助于問題的解決同時，通過研究平面幾何的輔助線的添加方法，能夠鍛煉同學們分類研究問題的能力平面幾何的輔助線有一定的規律，而這些規律大多與幾何圖形的三種變換有關，下面我們就來研究常見輔助線與幾何圖形變換的 關系.11. （三角

4、形的倍長中線 ）已知：在厶ABC中，AB=AC，CD是中線，延長AB到E,使BE=AB，連結CE.求證：CD= CE.2拓展1如圖1,已知 ABC中，AD是厶ABC的中線，AB=8 , AC=6，求AD的取值圍.提示：延長AD至A /,使A/ D= AD，連結BA /.根據“SAS易證 Az BD ACD，得AC = Az B .這樣將 AC 轉移到 A / BA中，根據三角形三邊關系定理可解.拓展2如圖2,已知 ABC中，AB = AC , D在AB上，E是AC延長線上一點，且 BD = CE, DE與BC交于點F.求 證：DF=EF.提示：此題輔助線作法較多，如： 作DG / AE交BC于

5、G; 作EH / BA交BC的延長線于 H ;再通過證三角形全等得 DF = EF .2.（三角形的翻折角平分線）已知：在 ABC中， B 2 C, AD是 BAC的平分線.求證：AB BD AC.拓展1如圖，已知：在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分線，P是AD上任意一點.求證： AB AC PB PC .拓展2已知： ABC中，/ A= 90,AD是BC邊上的高,BE是角平分線，且交AD 于 P.求證：AE=AP .3. （梯形的線段倍長）已知：梯形 ABCD中，AD/BC , E是DC的中點，AE平分/ BAD 求證：AB=AD+BC 拓展1如圖，已知：在梯形 ABCD中，

6、AB/CD，/ ADC=90 o, F為BC的中點，/ AFC=3 / BAF .求證：CD=CF .拓展2已知：直角梯形 ABCD中，AB/DC , AB丄AD , F為BC的中點，CF=DC .求證：/ AFC=3 / BAF .拓展3已知如圖5 ,在梯形ABCD中，AD / BC,M、N分別是BD、AC的中點。求證：1 MN/BC,MN (BC AD)。24. （正方形中的三角形旋轉）已知：如圖E是正方形ABCD邊BC上任意一點，AF平分角EAD 交 CD 于 F,試說明 BE+DF=AE .拓展1如圖，已知：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若有BE DF EF . 求

7、：EAF的度數.拓展2如圖，已知：在正方形 ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若有 EAF =45 求證：BE DF EF .拓展3如圖，正方形 ABCD邊長為1 , AB、AD上各有一點P、0,若厶APQ的周長為2.求/ PCQ的大小.拓展4如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別為BC、DC上的點，且/ EAF=45 o, AH丄EF.求證：AH=AB .拓展5如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段 EF、GH分割成4個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形 PFCH 的面積恰是矩形 AGPE面積的2倍試確定/ HAF的大小，寫出推導的過程.5. （三角形的輔助線旋轉）已知，如圖在

8、ABC 中，AB=AC，/ BAC=90°，/ DAE=45° , BD=2 , CE=3 .求證：DE的長.拓展1如圖，在等腰三角形 ABC中，P是三角形的一點，且/ APB= / APC .求證PB=PC .拓展 2 ABC 中，AB=AC , D 是三角形一點，若/ ADB >/ADC .求證/ DBC >/ DCB .分析 將厶ABC以A為中心逆時針旋轉一角度/BAC，到 ACE的位置.連 DE，由/ ADB >/ ADC ,得 / AEC >/ ADC .又 / ADE= / AED，相減，得 / DEC >Z EDC . CD &g

9、t; CE .即 CD > BD，從而/ DBC >Z DCB .拓展3若P為正方形 ABCD 一點，PA : PB : PC=1 : 2 : 3 .試證/ APB= ° .分析 利用正方形的特點設法經過旋轉使AP、PB、PC相對集中，為簡單起見不妨設PA=1 , PB=2, PC=3 .繞B點順時針旋轉 90o，使 CBP 到厶 ABE 的位置，這時 BE=2 , AE=3，/ PBE=90oPE=2. 2，/ BPE=45o。又2 2 2AP PE 189 AE / APE=90 ° .于是 / APB= ° .拓展4在等邊三角形有一點 P.連接P

10、與各頂點的三條線段的長為 3、4、5.求正三角形的邊長.（答案：25+13、3 ） 分析 將厶CPB旋轉到 AP'B，連接PP',延長BP,過A作AD丄BD .易知 APP'是直角三角形，因為/ BPP'=60o,所以/ APD=30 o,貝U AD=2 , DP= 2 _ 3 .6. （軸對稱變換（翻折問題）（1）如圖，將矩形 ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于E, AD=8 , AB=4 .求厶BED的面積.（2）如圖，將邊長為12厘米的正方形 ABCD折疊，使得點 A落在邊CD上的E點，然后壓平得折痕 FG .若FG

11、的 長為13厘米.求線段CE的長.(3) 如圖，點M、N為矩形ABCD 組對邊的中點，將矩形的一角向折疊，使點B落在直線MN上，得到落點B'和折痕AE，延長EB'交AD于F.判斷 AEF是什么三角形，并說明理由.(4)把一正方形紙片ABCD從中間對折后仍然攤平，得折痕為 EF，如圖(1)所示.接著，使點C不 動，把B點處的紙向右上方折起來使 B點落在EF上，得落點為B'，折痕為GC,如圖(2)所示.連AB'，問圖中/ GAB'是多少度？求/ GAB'相當于求/ AB'E 顯然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因為是對折得到的,

12、 所以 CB'=CB=1/2CF又因為EF垂直于BC,所以/ FB'C=30°假設正方形邊長為1，算出B'F=（根號3） /2所以B'E=1-（根號3） /2所以 tan / AB'E=AE/B'E=（1/2）訊1-（根號 3） /2）=2+ 根號 3 所以/ AB'E=75° = / GAB'(1)已知：如圖 2，在梯形 ABCD 中，AB/CD, A 60 , AD BCDC 求證：AB 2CD .(2)已知：如圖3，在梯形ABCD中，AB/CD,AC BD 求證：梯形 ABCD是等腰梯形.圖3(3)已知：

13、如圖 7,在梯形 ABCD中，AB / CD, A B 90 , M、N分別是DC、AB的中點求證:1MN (AB CD) 2D M C幾何綜合1. 如圖1,在口ABCD中，AE丄BC于E, E恰為BC的中點，tanB 2.(1) 求證：AD=AE;(2) 如圖2,點P在BE上，作EF丄DP于點F，連結AF.求證：DF EF .2AF ;(3) 請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點(P不與點E重合)時，作EF丄DP于點F，連結AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數量關系？直接寫出你的結論圖1圖2圖32. 如圖，在平面直角坐標系 xOy中，一次函數 y . 3x 與y軸交于點B,點C

14、的坐標為(3,0),連結BC.3 3的圖象與1Ox軸交于點A,(1) 求證： ABC是等邊三角形；(2) 點P在線段BC的延長線上，連結 AP,作AP的垂直平分線，垂足為點 D,并與y軸交于點D，分別連結EA、 EP. 若CP = 6,直接寫出/ AEP的度數； 若點P在線段BC的延長線上運動(P不與點C重合)，/ AEP的度數是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求 出/ ADP的度數；(3) 在(2)的條件下，若點P從C點出發在BC的延長線上勻速運動， 速度為每秒1個單位長度.EC與AP于點F, 設厶AEF的面積為 $, CFP的面積為S2,y= Si S2,運動時間為t (t>0)

15、秒時，求y關于t的函數關系式.3. 已知：如圖1，點P在線段 AB上(AP > PB) , C、D、E分別是AP、PB、 AB的中點，正方形 CPFG和正方形 PDHK在直線 AB同側.(1) 求證： EHG是等腰直角三角形；(2) 若將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點P順時針旋轉一個角度后， 其它已知 條件不變，如圖2,判斷 EHG還是等腰直角三角形嗎？請說明理由.4. 如圖，正方形 ABCD的對角線 AC與BD相交于點 M，正方形 MNPQ與正方形 ABCD全等，射線 MN與MQ不過 A、B、C、D四點且分別交 ABCD的邊于E、F兩點.(1) 求證：ME=MF ；(2) 若將

16、原題中的正方形改為矩形，且BC 2AB 4，其他條件不變，探索線段 ME與線段MF的數量關系.PP5. 如圖10-1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C D不重合)，以CG為一邊在正方形 ABCE外卜作正方形CEFG連結BG DE我們探究下列圖中線段 BG線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：(1)請直接寫出圖10-1中線段BG線段DE的數量關系及所在直線的位置關系；將圖10-1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖10-2、如圖10-3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結論是否仍然成立，并選取圖10-2證明你的判斷.圖 1D圖

17、 10-2J E(IS 10-3)(2)將原題中正方形改為矩形(如圖10-4 10-6 ),且 ABa, BC b,CE ka,CG kb (a b,k 0)，試判斷(1)中得到的結論哪個成立，哪個不成立？并寫出你的判斷，不必證明(¥ 10-4)(圖 J0-6)(3)在圖10-5中，連結DG、BE，且a 4,b1 222, k 一，則 BE DG =21. 如圖，在邊長為 8的正方形ABCD中，E是BC邊上任意一點，把正方形沿著GH折疊，使A與E重合，D與D '重合，ED '與邊CD交于點F。(1)當點E為BC邊中點時,(2)當點E在BC邊上運動時，(1)中的結論變化

18、嗎？試說明理由。A2. 已知正方形紙片 ABCD的邊長為2.操作：如圖1,將正方形紙片折疊，使頂點 A落在邊CD上的點P處(點P與C、D不重合)，折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G .探究：(1)觀察操作結果，找到一個與 EDP相似的三角形，并證明你的結論;(2)當點 EDP周長的比是多少(圖 2為備用圖)？DC3 .幾何模型:條件如下左圖， A、B是直線I同旁的兩個定點問題：在直線l上確定一點P，使PA PB的值最小.方法：作點 A關于直線I的對稱點A，連結AB交I于點P ,則PA PB AB的值最小(不必證明)模型應用:(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點,P是AC上一動點.連結 BD ,由正方形對稱性可知,(2)(3)B與D關于直線 AC對稱連結ED交AC于P，則 如圖2, ©O的半徑為2,點A B、C在OO上, OA 的最小值是PBOB ,PE的最小值是AOC 60°