1、幾何概型教學設計文昌中學數學組 曾葉一、教材依據人民教育出版社全日制普通高級中學教科書（必修）數學3第三章第二節幾何概型二、設計思路、教學內容的分析“幾何概型”這一章節內容是在安排“古典概型”之后的第二類概率模型，是對古典概型的內容進一步拓展，是等可能事件的概念從無限向無限的延伸。此節內容也是新課本中增加的，這是與以往教材安排上的最大的不同之處。這充分體現了數學與實際生活的緊密關系，來源生活，而又高于生活。同時也暗示了它在概率論中的重要作用，在高考中的題型的轉變。本章主要學概率問題的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教學中要求應適當，難度要控制，同時有接近生活，基本應以貼近生活的例題與習題為

2、主。、教學目標的確定根據本課教材的特點、新課標教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面(知識與技能, 過程與方法, 情感態度與價值觀)確定了教學目標重視幾何概型概念的形成過程和對概念本質的認識；強調幾何概型的特點，培養學生對生活數學的抽象概括能力。、教學方法和教學手段的選擇“授之以魚，不如授之以漁”，注重發揮學生的主體性，讓學生在學習中學會怎樣發現問題、分析問題、解決問題。結合本節課的特點，采用引導發現和歸納概括相結合的教學方法，通過提出問題、分析問題、解決問題等教學過程，觀察對比、概括歸納幾何概型的概念及其概率公式，再通過具體實際問題的提出和解決，來激發學生的學習興趣，

3、調動學生的主體能動性，讓每一個學生充分地參與到學習活動中來。、教學過程的設計為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：  1 在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對幾何概型認識,使得學生對概念的認識不斷深入。2 在應用概念階段, 通過對事實過程的分析，幫助學生掌握用幾何概率公式的計算概率3 考慮到我校的學生數學基礎良好，思維活躍，具備一定的分析問題和自主探究能力。因此在教學設計中強調學生主體地位，教師的主導作用，強調數學思想方法的滲透與運用。使學生在教師創設的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和

4、動手嘗試相結合，體現了學生的主體地位，培養了學生由具體到抽象，由特殊到一般的數學思維能力，形成了實事求是的科學態度，增強了鍥而不舍的求學精神希望加深學生對知識本質的理解。 三、教學目標1、 知識與技能：（1）通過本部分內容的學習，理解幾何概型的意義、特點;掌握幾何概型的概率公式：會用公式計算幾何概型。（2）會根據古典概型與幾何概型的區別與聯系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；（3）通過解決具體問題的實例感受理解幾何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判斷方法，逐步學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的能力。感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數學思想與邏輯推理的數學方法。2、 過程與方

5、法：（1）發現法教學，通過師生共同對“問題鏈”的探究，運用觀察、類比、思考、探究、概括、歸納的方法和動手嘗試相結合體會數學知識的形成的過程，學會應用數學知識來解決問題，體會數學知識與現實世界的聯系，培養邏輯推理能力。（2）通過試驗，感知應用數字解決問題的方法，自覺養成動手、動腦的良好習慣。3、 情感態度與價值觀：本節課的主要特點是貼近生活，體會概率在生活中的重要作用，同時隨機試驗多，學習時養成勤學嚴謹的思維習慣。四、教學重點：（1）初步體會幾何概型的意義，幾何概型的概念和公式的應用，注意理解幾何概型與古典概型的區別與聯系。（2）在幾何概型中把實驗的基本事件組和隨機事件與某一特定的幾何區域及其子

6、區域對應并計算相關的概率。五、教學難點：在幾何概型中把實驗的基本事件組和隨機事件與某一特定的幾何區域及其子區域對應，并且從中理解如何利用幾何概型的知識把實際問題轉化為各種幾何概率問題，進而熟練應用幾何概型的概率公式計算相關事件發生的概率。六、教學準備實物投影儀，計算機及多媒體課件，轉盤一個。七、教學過程（整個教學過程是“以問題為載體，以學生活動為主線”進行的）師 生 活 動設計意圖復習舊知（以舊帶新，提出新知）問題：將一枚骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數。（1）點數之和是質數的概率是多少？（2）點數之和為幾時的概率最大？學生：點數之和是質數的概率是;點數之和是7時的概率最大是.老師：此種概率求

7、解問題可歸結為哪種概率模型？學生：古典概型。老師：古典概型的特征是？學生：（1）試驗中所有可能的結果（基本事件）只有有限個基本事件具有有限性。（2）每個基本事件出現的可能性相等基本事件發生具有等可能性。老師：生活中的一些概率問題都可以轉化為數學中的相應的概率模型，可是并不是所有的概率模型的基本事件的總數都是有限個的，當是這種情況時，就不再滿足古典概型的要求了。來看下面的例子。創設情境（初步探索，顯現新知內涵）情境： 海濱城市連云港五一黃金周進行有獎銷售活動，購物300元可進行搖獎一次，獎品如下： 電冰箱一臺；可口可樂一箱；色拉油一桶500毫升；謝謝回顧；肥皂一塊；毛巾一條。老師：你希望抽到什么

8、？抽到每一種獎品的概 率相同嗎? 學生：電冰箱，抽到每一種獎品的概率不相同。老師：為什么？學生：各區域不一樣大。老師：這樣的話呢？學生：相同，。（每一個區域都一樣大）老師：此種概率能用古典概型的方法來計算 嗎？這種概率模型有什么特點？學生：這種概率模型不是古典概型，它的特點是：試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個。 每個基本事件出現的可能性相等。老師：根據上述這種概率模型的特點.你能否給出比較理想的概率模型. （組織學生討論；然后老師給出結論，強調語言的準確性、抽象性的概括）構建數學（概括形成定義階段討論歸納給出定義）幾何概型：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內

9、隨機的取一點，該區域中每個點被取到的機會都一樣;而一個事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域（這里的區域可以是線段，平面圖形，立體圖形等）的點，用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型。幾何概型的特點： 試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個基本事件具有無限性。 每個基本事件出現的可能性相等基本事件發生具有等可能性。古典概型與幾何概型的區別與聯系： 相同：兩者基本事件發生的可能性都是相等的；不同：古典概型要求基本事件是有限個，幾何概型要求基本事件是無限多個。思考：幾何概型的概率應該如何求解呢？公式有如何？分析：獲得某種獎品的概率與所在扇形區域的圓弧的長度有關（或與面積有關，因為此時的面

10、積正比例于圓弧的長度），而與區域的位置無關。因為轉轉盤時，指針指向圓弧上哪一點都是等可能的。獲得某種獎品的概率與扇形區域所占比例大小有關，與圖形的大小無關。探究公式（一） ：例1：一個實驗是這樣做的，將一條5米長的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發生的概率。分析：（根據概率的特點可知此問題屬于幾何概型，我們希望先找到基本事件域，即找到其中每一個基本事件。注意到每一個基本事件都與唯一的一個斷點一一對應，例1中的實驗所對應的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點一一對應，若把離繩AB首尾兩端1的點記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點在線段M

11、N上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個數/總的基本事件個數，但這兩個數字（T包含的基本事件個數、總的基本事件個數）都是無限個，在例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長的比來表示事件T的概率似乎也是合理的，所以可以用相應區域長度來刻畫總的基本事件個數和T包含的基本事件個數。）解：P（T）=3/5 （此結果用第一節的統計的方法來驗證是正確的。）探究公式 （二）：例2 ：有一杯1升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個細菌的概率。分析：細菌在這升水中的分布可以看作是隨機的，總的基本事件個數可以用1升水來刻畫，事件A包含的基本事件個

12、數可以用取得0.1升水來刻畫。即用區域體積刻畫基本事件解：取出0.1升中“含有這個細菌”這一事件記為A則探究公式 （三）：總結： 一般地，在幾何區域中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區域內”為事件，則事件發生的概率注：當子區域和幾何區域是一維區域時，它們的大小用它們的長度來表示；當子區域 和幾何區域是二維區域時，它們的大小用它們的面積來表示，當子區域和幾何區域是三維區域時，它們的大小用它們的體積來表示；定義統一，我們幾何區域的大小統稱為這個區域的“測度”，則；由于幾何區域是幾何區域的子集，于是我們有0的測度的測度，在不等式兩側同時除以的測度（一般假定其為正數），則有 ，即，這個不等式表

13、明幾何概率在和之間。注意到當時的測度一定為（在相應的維度中有：一個點的長度是，一個曲面的面積是，一個幾何體的體積為）；且當時，的測度必須等于的測度。數學運用（應用強化階段，主動參與合作交流，引用古典問題激發學生的學習興趣和解決問題的欲望）例1：(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設有一個投鏢靶 該靶為正方形板邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機會贏得一種意大利餡餅中的一個，投鏢靶中畫有三個同心圓，圓心在靶的中心，當投鏢擊中半徑為1厘米的最內層圓域時可得到一個大餡餅；當擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環域時，可得到一個中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間

14、的環域時，可得到一個小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設每一個顧客都能投鏢中靶，并假設每個圓的周邊線沒有寬度，即每個投鏢不會擊中線上。試求一顧客將嬴得：（a）一張大餡餅，（b）一張中餡餅，（c）一張小餡餅，（d）沒得到餡餅的概率分析：概率的特點，基本事件域的尋找，公式的選擇 解：我們實驗的樣本空間可由一個邊長為18的正方形表示。右圖表明R和子區域r1、r2、r3和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件，所以有：(a)(b) (c) (d) 答：略。課堂練習：（磁帶問題）喬和摩進行了一次關于他們前一天夜里進行的活動的談話。然而談話卻被監聽錄音機記錄了下來，聯

15、邦調查局拿到磁帶并發現其中有10秒鐘長的一段內容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發現，這段談話的一部分被聯邦調查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯了鍵，并從即刻起往后的所有內容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？解：將3O分鐘的磁帶表示為長度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動有關的談話的區間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時間位于該區間內或始于該區間左邊的任何點。 因此事件r是始于R線段的左端點且長度為的事件。因此有答：略。課后作業（C

16、B對講機問題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個CB對講機持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3:0O時莉莉正在基地正東距基地30公里以內的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？解：設x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，于是4030則他倆所有可能的距離的數據構成有序點對(x,y),這里x,y都在它們各自的限制范圍內,則所有這樣的有序數對構成的集合即為基本事件組對應的幾何區域,每一個幾何區域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置

17、,他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發生（如右圖）因此構成該事件的點由滿足不等式的數對組成，此不等式等價于 上圖中的方形區域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為 ，于是有 回顧小結（引導學生歸納總結）1.幾何概型適用于試驗結果是無窮多且事件是等可能發生的概率類型。2.幾何概型在中學階段主要用于解決長度、面積、體積有關的題目。 3.注意理解幾何概型與古典概型的聯系與區別。4.理解如何將實際概率問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求。板書設計 課題：幾何概型練習：（答案） 幾何概型定義： 例1古典概型的特征： 特

18、點： 兩種概型的聯系與區別： 例2 幾何概型的計算公式： 注意：小結： 作業： 作業:：磁帶問題；CB對講機問題實物投影、實物演示引導類型問題解決的基本方法:借助圖表法枚舉培養學生對已有的數學知識進行準確而抽象的概括能力，增強學生數學模型的應用意識。放幻燈片，一面是把轉盤均勻6等分，一面是不均勻6等分 (出示實物轉盤不均勻6等分的一面)出示實物轉盤均勻6等分的一面。與所在扇形區域的圓弧的長度有關，轉轉盤時，指針指向圓弧上哪一點都是等可能的。暗示基本事件的刻畫放映幻燈片提示學生采用類比思維進行總結，在這里可培養學生的自信心學生討論自發完成分組討論,選代表回答,同時給予適當的提示。從一維到二維到三維。老師和學生共同來完成，在中間運用類比思想這樣有利于學生認識幾何概型的本質分析學生代表描述，老師加以補充，使學生體會到數學語言的精確性和抽象性采用計算機多媒體課件，演示不同類型實物，同時加深對定義的理解.數學語言的規范性和精確性和高度的抽象概括性。讓學生體驗到數學美。應用古典的生活問題激發學生解決問題的興趣、和親身投入解決問題過程的欲望。同時使學生意識到生活中的數學，數學來源于生活，而又高于