1、廣西民族師范學院數計系高等數學課程教案 課程代碼：_ _ 061041210_總學時周學時： 51/3 開課時間： 2015年9 月16 日第 3周至第18周 授課年級、專業、班級：_制藥本152班 使用教材：_ 高等數學_同濟大學第7版_教研室： _ _數學與應用數學教研室_授課教師：_ _一、課程教學計劃表章 次內 容講 授實 踐一函數與極限13二導數與微分8三微分中值定理與導數應用6四不定積分8五定積分6六定積分的應用6七復習4八九總學時51二、教案正文第一章 函數與極限（一）教學目的：1理解映射與函數的概念，掌握函數的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。2了解函數的奇偶性、單

2、調性、周期性和有界性。3理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。4掌握基本初等函數的性質及其圖形。5理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。6掌握極限的性質及四則運算法則。7了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。10了解連續函數的性質和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。（二）重點、難點1重點

3、 函數與復合函數的概念，基本初等函數與初等函數，實際問題中的函數關系，極限概念與極限運算，無窮小，兩個重要極限公式，函數連續的概念與初等函數的連續性。 2難點 函數符號的運用，復合函數的復合過程，極限定義的理解，兩個重要極限的靈活運用。（三）教學方法、手段：教師講授，提問式教學，多媒體教學第一節 映射與函數一、映射1. 映射概念定義4.設X、Y是兩個非空集合, 如果存在一個法則,使得對X中每個元素x, 按法則, 在Y中有唯一確定的元素y與之對應, 則稱為從X到Y的映射, 記作f : X®Y.其中y稱為元素x(在映射f下)的像, 并記作, 即,元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像;

4、 集合X稱為映射f的定義域, 記作, 即。X中所有元素的像所組成的集合稱為映射的值域,記為 , 或f(X), 即 =f(X)=f(x)|xÎX. 注意:1)映射的三要素: 定義域 , 對應規則 , 值域 . 2)對每個xÎX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但對每個yÎR元素y 的原像不一定唯一 . 例1設 f : R®R, 對每個xÎR, f(x)=x2.f 是一個映射, f 的定義域Df =R,值域 =y|y³0. 例2設X=(x, y)|x2+y2=1,Y=(x, 0)|x|£1,f : X®Y,對每個(x,

5、 y)ÎX,有唯一確定的(x, 0)ÎY與之對應.f 是一個映射, f 的定義域Df=X, 值域 =Y.在幾何上,這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區間-1, 1上.2、滿射、單射和雙射設f是從集合X到集合Y的映射.（1）若 =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 則稱f為X到Y上的映射或滿射;（2）若對X中任意兩個不同元素x1¹x2, 它們的像f(x1)¹f(x2), 則稱f為X到Y的單射;（3）若映射f既是單射, 又是滿射, 則稱f為一一映射(或雙射). 從實數集（或其子集）X到實數集Y的映射通常稱為定義在X上的函數

6、.3. 逆映射與復合映射逆映射定義：設f是X到Y的單射, 則由定義, 對每個yÎ , 有唯一的xÎX, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個從到X的新映射g, 即g : ®X,對每個yÎ , 規定g(y)=x, 這x滿足f(x)=y. 這個映射g稱為f的逆映射, 記作f -1, 其定義域為 , 值域為X . 按定義，只有單射才存在逆映射。例如, 映射其逆映射為復合映射定義：設有兩個映射g : X®Y1, f : Y2®Z, 其中Y1ÌY2. 則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則, 它將每個xÎX映射成

7、fg(x)ÎZ. 顯然, 這個對應法則確定了一個從X到Z的映射, 這個映射稱為映射g和f構成的復合映射, 記作f o g,即 f o g: X®Z, (f o g)(x)=fg(x), xÎX . 說明：（1）映射g和f 構成復合映射的條件是： g的值域R必須包含在 f 的定義域內，即R Ì D f .（2）映射的復合是有順序的,f o g有意義并不表示g o f 也有意義. 即使它們都有意義,f o g與g o f也未必相同.例3 設有映射 g : R®-1, 1, 對每個xÎR, g(x)=sin x, 映射，對每個則映射g和f構

8、成復映射f o g: R®0, 1,對每個xÎR,有二、函數1. 函數的定義：設和是兩個變量，是一個給定的數集，如果對于給定的每個數，變量按照一定法則總有確定的數值和它對應，則稱是的函數，記作，數集叫做這個函數的定義域，叫做自變量，叫做因變量的取值范圍叫函數的值域2. 定義域的求法原則：（1）分母不為零（2）（3）（4）（5）同時含有上述四項時，要求使各部分都成立的交集3. 分段函數用兩個以上表達式表達的函數關系叫分段函數如稱為分段點4. 復合函數若，當的值域落在的定義域內時稱是由中間變量u復合成的復合函數5. 反函數設函數的定義域為，值域為對于任意的，在上至少可以確定一個

9、與對應，且滿足如果把看作自變量，看作因變量，就可以得到一個新的函數：我們稱這個新的函數為函數的反函數，而把函數稱為直接函數說明：一個函數若有反函數，則有恒等式相應地有例如，直接函數的反函數為，并且有，由于習慣上表示自變量，表示因變量，于是我們約定也是直接函數的反函數6. 函數的性質（1）有界性有界定義：若有正數存在，使函數在區間上恒有，則稱在區間上是有界函數；否則，在區間上是無界函數上界定義：如果存在常數（不一定局限于正數），使函數在區間上恒有f(x)M，則稱在區間上有上界，并且任意一個的數都是在區間上的一個上界；下界定義：如果存在常數，使在區間上恒有，則稱在區間上有下界，并且任意一個的數都是

10、在區間上的一個下界顯然，函數在區間上有界的充分必要條件是在區間上既有上界又有下界（2）單調性嚴格單調遞增：設函數在區間上的任意兩點，都有（或），則稱在區間上為嚴格單調增加（或嚴格單調減少）的函數嚴格單調遞增：如果函數在區間上的任意兩點，都有（或），則稱在區間上為廣義單調增加（或廣義單調減少）的函數廣義單調增加的函數，通常簡稱為單調增加的函數或非減函數；廣義單調減少的函數則簡稱為單調減少的函數或非增函數例如，函數在區間內是嚴格單調減少的；在區間內是嚴格單調增加的而函數在區間內都是嚴格單調增加的（3）奇偶性若函數在關于原點對稱的區間上滿足（或）則稱為偶函數（或奇函數）偶函數的圖形是關于軸對稱的；奇

11、函數的圖形是關于原點對稱的例如，在定義區間上都是偶函數而、在定義區間上都是奇函數（4）周期性對于函數，如果存在一個非零常數,對一切的均有，則稱函數為周期函數并把稱為的周期應當指出的是，通常講的周期函數的周期是指最小的正周期7. 初等函數基本初等函數圖1-1 冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數和常數這6類函數叫做基本初等函數這些函數在中學的數學課程里已經學過（1）冪函數 它的定義域和值域依的取值不同而不同，但是無論取何值，冪函數在內總有定義當或時，定義域為常見的冪函數的圖形如圖1-1所示圖1-2（2）指數函數 它的定義域為，值域為指數函數的圖形如圖1-2所示圖1-3（3）對數函數

12、定義域為，值域為對數函數是指數函數的反函數其圖形見圖1-3在工程中，常以無理數e2.718 281 828作為指數函數和對數函數的底，并且記，而后者稱為自然對數函數（4）三角函數三角函數有正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數和余割函數其中正弦、余弦、正切和余切函數的圖形見圖1-4圖1-4（5）反三角函數反三角函數主要包括反正弦函數、反余弦函數、反正切函數和反余切函數等它們的圖形如圖1-5所示圖1-5 圖1-66常量函數為常數 （為常數）定義域為，函數的圖形是一條水平的直線，如圖1-6所示初等函數 通常把由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成的并用一個解析式表達的

13、函數，稱為初等函數非初等函數經常遇到例如符號函數，取整函數等分段函數就是非初等函數在微積分運算中，常把一個初等函數分解為基本初等函數來研究，學會分析初等函數的結構是十分重要的作業 P16 第1題的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小結與思考：本節復習了中學學過的各種函數，應該熟記六種基本初等函數的性態，為后繼課的學習作好準備1是否為初等函數？第二節 數列的極限一、 數列極限的定義極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產生的引例 我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用設有一圓，首先作內接正六邊形，把它的面積記為；再作內接正十

14、二邊形，其面積記為；再作內接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數加倍，一般地把內接正邊形的面積記為這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積：它們構成一列有次序的數當越大，內接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積因此，設想無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數值，這個確定的數值就理解為圓的面積這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數（所謂數列）當時的極限在圓面積問題中我們看到，正是這個數列的極限才精確地表

15、達了圓的面積在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數學中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明數列的概念 如果按照某一法則，有第一個數，第二個數，這樣依次序排列著，使得對應著任何一個正整數有一個確定的數，那么，這列有次序的數就叫做數列數列中的每一個數叫做數列的項，第項叫做數列的一般項例如：都是數列的例子，它們的一般項依次為以后，數列也簡記為數列數列極限定義一般地：如果數列與常數有下列關系：對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在正整數，使得對于時的一切，不等式都成立，則稱常數是數列的極限，或者稱數列收斂于，記為或 如果數列沒有極限，就說數列是發散的如：例1 已知，證明數列的極限

16、是0。證 （設e <1），只要或不等式必定成立。所以，取N=，則當n>N時就有即 例2 證明析 不能直接解來求N，需變形，放大，再求N。證 解得 取 ，故因此，二、收斂數列的性質性質1（極限的唯一性） 數列不能收斂于兩個不同的極限性質2（收斂數列的有界性） 如果數列收斂，那么數列一定有界性質3 如果且，那么存在正整數，當時，有性質4（收斂數列與其子數列間的關系） 如果數列收斂于，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是練習 P26 1 、2小結與思考：1 中國古代數學家劉徽在九章算術注中介紹割圓術計算圓周率“割之彌細，所失彌少割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”這句話明確的表達

17、了極限思想第三節 函數的極限一、函數極限的定義一般地， 在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限。1函數當時的極限滿足的的范圍稱作以為中心的鄰域，滿足的范圍稱作以為中心，以為半徑的去心鄰域，記作現在考慮自變量的變化過程為如果在的過程中，對應的函數值無限接近于確定的數值，那么就說是函數當時的極限當然，這里我們首先假定函數在點的某個去心鄰域內是有定義的函數極限的解析定義：設函數在點的某一去心鄰域內有定義如果對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在正數，使得對于適合不等式的一切，對應的函數值都滿足不等式，那么常數就叫做函數當

18、時的極限，記作或（當）上述時函數的極限概念中，是既從的左側也從的右側趨于的但有時只能或只需考慮僅從的左側趨于（記作）的情形，或僅從的右側趨于（記作）的情形在的情形，在的左側，在的定義中，把改為，那么就叫做函數當時的左極限，記作或類似地，在的定義中，把改為，那么就叫做函數當時的右極限，記作或根據時函數的極限的定義，以及左極限和右極限的定義，容易證明：函數當時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即因此，即使和都存在，但若不相等，則不存在而左右極限統稱為單側極限。注：若極限存在時（1）是唯一的確定的常數；（2）表示從的左右兩側同時趨于； （3）極限的存在與在有無定義或定義的值無關

19、圖1-7例1 函數當時的極限不存在證 當時的左極限，而右極限，因為左極限和右極限存在但不相等，所以不存在（圖1-7）2函數當時的極限我們知道，當時越來越接近零如果函數當無限增大時，取值和常數要多接近就有多接近，此時稱是當時的極限，記作函數極限的解析定義：設函數當大于某一正數時有定義如果對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在著正數，使得對于適合不等式的一切，對應的函數值都滿足不等式，那么常數就叫做函數當時的極限，記作或（當）注：若（1）是唯一的確定的常數；（2）既表示趨于，也表示趨于如果時，取值和常數要多接近就有多接近，我們稱是當時的極限，記作如果時，取值和常數要多接近就有多接近，我們稱是當

20、時的極限，記作顯然，存在的充分必要條件是二、 函數極限的性質定理1 函數極限唯一性。與數列極限的唯一性一致定理2 函數極限的局部有界性。與數列極限的有界性類同定理3（極限的局部保號性） 如果，而且（或），那么就存在著點的某一去心鄰域，當在該鄰域內時，就有（或）定理1 如果（），那么就存在著的某一去心鄰域，當時，就有定理2 如果在的某一去心鄰域內（或），而且，那么（或）練習P33 1、3小結：本節講述了各種趨勢下的極限的定義第四節 無窮大與無窮小前面我們研究了 數列的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限、 函數的極限，這七種趨近方式下面我們用表示上述七種的某

21、一種趨近方式，即一、無窮小定義1 當在給定的下，以零為極限，則稱是下的無窮小量，即無窮小與函數極限的關系:定理1 函數具有極限A的充分必要條件是，其中是無窮小.一、無窮大定義2 當在給定的下，無限增大，則稱是下的無窮大量，記作顯然，時，都是無窮大量， 時，都是無窮小量注：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢無窮小與無窮大的關系：定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大例1 當時，是 （ ）A） 無窮小 B） 無窮大 C） 有

22、界函數 D） 無界的但不是無窮大分析：取，則，此時取，則，此時答案：D作業 P37 2、4小結與思考：本節給出了無窮小量和無窮大量的概念和它們的相關性質，注意不要錯誤的利用這些性質求極限 分析：含有絕對值符號，必須去掉絕對值，要考慮從左、右極限入手解：=所以 原極限=1 第五節 極限運算法則本節討論極限的求法，主要介紹極限的四則運算法則和復合函數極限的運算法則，利用這些法則，可以求某些函數的極限在下面的討論中，記號“”表示定理對及都是成立的定理1有限個無窮小的和也是無窮小定理2有界函數與無窮小的乘積是無窮小推論1常數與無窮小的乘積是無窮小推論2有限個無窮小的乘積是無窮小定理3如果，那么存在，且

23、（1）證因，由1.4定理1有，其中為無窮小于是由定理1知為無窮小，再由定理知定理可推廣到有限個函數的情形例如，如果都存在，則有如果，那么存在，且（16）推論1如果存在，為常數，則推論2如果存在，為正整數，則定理4如果，且，則存在，且（17）以上定理和推論對于數列也是成立的定理5 如果，而都存在，那么例1 求解 事實上，設多項式，則例2 求解因所以 如果，其中都是多項式，如果，則但必須注意，如果，則關于商的運算法則不能應用，需要特別考慮例3 求解當時，分子分母的極限都是零，所以不能運尖用商的運算法則但時，所以例4 求解因為，不能商的運算法則但，故由定理4得例5 求解 例6 求解 例7 求解 因為

24、，所以更一般地，當，和為非負整數時，有例8 求解 當時，分子分母的極限都不存在，不能應用商的運算法則但，而是時的無窮小，是有界函數，所以根據定理6，有前面已經看到，對于有理函數（有理整函數或有理分式函數），只要在點處有定義，那么時的極限必定存在且等于在點的函數值一般地，如果函數具有上述性質，即，就稱函數在點連續因此有理函數在其定義域內的每一點處都是連續的我們指出：一切基本初等函數在其定義域內的每一點處都是連續的因此，如果為基本初等函數，其定義域為，而，則有例如，是基本初等函數，它在點處有定義，所以下面介紹一個半球復合函數求極限的定理定理6 設函數當時的極限存在且等于，即，而函數在點連續，那么復

25、合函數當時的極限存在且（18）證明從略因為，所以公式（18）又可寫成例9 求解 例10 求解 作業 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3小結與思考：本節討論了極限的求法，主要介紹極限的四則運算法則和復合函數極限的運算法則，利用這些法則，可以求某些函數的極限1. 求解 2. 求解 .第六節 極限存在準則 兩個重要極限準則I 如果數列、及滿足下列條件: (1),(2) ,那么數列的極限存在，且準則I¢ 如果函數、及滿足下列條件: (1), (2),那么存在, 且注：在上面的定理中，記號“”下面沒有標明自變量的變化過程。實際上，定理對及都是成立的。準則I及準則

26、I¢稱為夾逼準則（或迫斂性準則）。第一個重要極限證 如圖,設圓心角,DB1OCAx因為 AOB的面積<圓扇形AOB的面積<AOD的面積，所以即 由偶函數性質，時也成立。又由準則I¢，即得 例1 求解 例2 求解 例3 求解 令,則,當時,有.于是由復合函數的極限運算法則得例4 求解 令t=1/x.當x+時，t0.例5 求解 令,則.當x0時，t0.例6 求解準則II 單調有界數列必有極限. 準則II的幾何解釋:以單調增加數列為例, 數列的點只可能向右一個方向移動, 或者無限向右移動, 或者無限趨近于某一定點, 而對有界數列只可能后者情況發生準則II¢

27、設函數在點的某個左鄰域內單調并且有界，則在的左極限必定存在。 注：如果，就稱數列是單調增加的；如果，就稱數列是單調減少的. 單調增加和單調減少數列統稱為單調數列第二個重要極限或其中e是個無理數, 它的值是 .變形形式：例7 求解 令.當時, .例8 求解 令，則.當時,. 作業 P52 1、（1）（3）（5）,2小結與思考：本節講述了兩個極限的收斂準則，兩個重要極限及利用兩個重要極限求限的方法1求；解：原極限=2設有個正數，令，求（“大數優先”準則）解：而，所以由夾逼準則：第七節 無窮小的比較我們已經知道，兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小。但兩個無窮小的商卻會出現不同的情形。例如，當時，都是無

28、窮小，而。這種情況的產生，在于各個無窮小趨向于零的“快慢”不一樣。在的過程中，比“快些”，反過來，比“慢些”，而與“快慢相仿”。對于無窮小之間的這種情況，我們引入無窮小的階的概念。定義 設是自變量在同一變化過程中的無窮小，也是這一過程中的極限。如果，就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小；如果，就說與是同階無窮小；如果，就說是關于的k階無窮小；如果，就說與是等價無窮小，記作。顯然，等價無窮小是同階無窮小的特殊情形。根據定義，時，是比高階的無窮小；是比低階的無窮小；與是等價無窮小；與是同階無窮小；是關于的二階無窮小（因為）。P54 例1關于等價無窮小，有下面兩個定理：定理1 與是

29、等價無窮小的充分必要條件為證（略）P54 例2 小結時常用的等價無窮小:定理2若，且存在，則。證 。這個性質表明，求兩個無窮小之比的極限時，把每一個（或其中的一個無窮小）換成它的等價無窮小，不改變比的極限值。如果用來代換的無窮小選擇得當，可以使計算簡化。 例3 求。解 因為當時，所以。例4 求。解 因為當時，所以。例5練習：P55 1、2、3、5小結：本節主要介紹了無窮小的比較方法，利用等價無窮小求極限。第八節 函數的連續性與間斷點一、 函數的連續性自然界中有很多現象，如：氣溫的變化，河水的流動、植物的生長都是連續變化著的，這種在函數關系上的反映就是函數的連續性。函數的連續性用增量來描述。對，

30、當自變量從變到，稱叫自變量的增量，而叫函數的增量函數增量的幾何解釋：P56 圖1-33定義 設函數在點的某一鄰域內有定義，如果當自變量的增量趨于零時，對應的函數的增量也趨于零，那么就稱函數在點連續它的另一等價定義是：設函數在點的某一鄰域內有定義，如果函數當時的極限存在，且等于它在點處的函數值，即，那么就稱函數在點連續下面給出左連續及右連續的概念如果存在且等于，即，就說函數在點左連續如果存在且等于，即，就說函數在點右連續在區間上每一點都連續的函數，叫做在該區間上的連續函數，或者說函數在該區間上連續如果區間包括端點，那么函數在右端點連續是指左連續，在左端點連續是指右連續連續函數的圖形是一條連續而不

31、間斷的曲線二、 函數的間斷點設函數在點的某去心鄰域內有定義在此前提下，如果函數有下列三種情形之一：1在沒有定義；2雖在有定義，但不存在；3雖在有定義，且存在，但；則函數在點為不連續，而點稱為函數的不連續點或間斷點下面我們來觀察下述幾個函數的曲線在點的情況，給出間斷點的分類： 在連續 在間斷，極限為2 在間斷，極限為2 在間斷，左極限為2，右極限為1 在 間斷在間斷，極限不存在像這樣在點左右極限都存在的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的稱作第一類間斷的可去間斷，此時只要令，則在函數就變成連續的了；被稱作第一類間斷中的跳躍間斷被稱作第二類間斷，其中也稱作無窮間斷，而稱作震蕩間斷就一般情況而言，通

32、常把間斷點分成兩類：如果是函數的間斷點，但左極限及右極限都存在，那么稱為函數的第一類間斷點不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點在第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二類間斷點P59 例1、3、4、5練習：P61 1、3小結：本節介紹了函數的連續性，間斷點的分類第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性一、連續函數的和、差、積及商的連續性由函數在某點連續的定義和極限的四則運算法則，立即可以得出下面的定理。定理1若函數都在點連續，則函數，也在點連續。例1因為，而都在內連續，所以在它們的定義域內連續。二、反函數與復合函數的連續性

33、定理2如果函數在區間上單調增加（或單調減少）且連續，那么它的反函數也在對應的區間上單調增加（或單調減少）且連續。例2由于在閉區間上單調增加且連續，所以它的反函數在閉區間上單調增加且連續。同理，在閉區間上單調減少且連續；在區間上單調增加且連續；在區間上單調減少且連續。即反三角函數在它們的定義域內連續。定理3（略）例3（略）定理4設函數在點連續，且，而函數在點連續，那么復合函數在點也是連續。例4討論函數的連續性。解可看成復合而成。而在上連續，在上連續，所以在上連續。三、初等函數的連續性前面我們證明了三角函數與反三角函數在它們的定義域內是連續的。我們指出（不作證明）：指數函數在上單調且連續，其值域為

34、，由反函數的連續性可得，對數函數在內單調且連續。冪函數的定義域與有關，但無論為何值，在開區間內總是有定義的。當時，因此，它可以看成由復合而成，由定理4，它在內連續。對于取各種不同值的情況分別加以討論，則可以證明冪函數在它的定義域內是連續的。綜合可得：基本初等函數在它們的定義域內是連續的。根據初等函數的定義，基本初等函數的連續性及定理1、定理4可得：一切初等函數在其定義區間內都是連續的。利用初等函數的連續性求極限，往往比較方便。P64例5-例8 作業：P66 3.（1）、（2）、（3）、（4），4.（2）、（3）、（4）、（5），6小結：本節講述了連續函數的和、差、積及商的連續性、反函數與復合函數的連續性和初等函數的連續性。第十節 閉區間上連續函數的性質一、有界性與最大值與最小值 最大值與最小值: 對于