1、高等數(shù)學(xué)教案 第一章 函數(shù)與極限第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的：1、 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2、 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3、 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4、 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6、 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7、 了解極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含

2、左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點：1、 復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；3、 極限的概念極限的性質(zhì)及四則運算法則；4、 兩個重要極限；5、 無窮小及無窮小的比較；6、 函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點：1、 分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；2、 左極限與右極限概念及應(yīng)用；3、 極限存在的兩個準(zhǔn)則的應(yīng)用；4、 間斷點及其分類；5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。§1. 1 映射與函數(shù) 一、集

3、合 1. 集合概念 集合(簡稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用A, B, C.等表示. 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表示為aÎM. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A=a1, a2, × × ×, an, M=x | x具有性質(zhì)P . 例如M=(x, y)| x, y為實數(shù), x2+y2=1. 幾個數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N=0,

4、 1, 2, × × ×, n, × × ×. N+=1, 2, × × ×, n, × × ×. R表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為實數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z=× × ×, -n, × × ×, -2, -1, 0, 1, 2, × × ×, n, × × ×. Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 若xÎ

5、;A, 則必有xÎB, 則稱A是B的子集, 記為AÌB(讀作A包含于B)或BÉA . 如果集合A與集合B互為子集, AÌB且BÌA, 則稱集合A與集合B相等, 記作A=B. 若AÌB且A¹B, 則稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作Æ. 規(guī)定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運算 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并), 記作AÈB, 即 AÈB=x|xÎA或xÎB. 設(shè)A

6、、B是兩個集合, 由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交), 記作AÇB, 即 AÇB=x|xÎA且xÎB. 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差), 記作AB, 即 AB=x|xÎA且xÏB. 如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時, 我們稱集合I為全集或基本集. 稱IA為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運算的法則: 設(shè)A、B、C為任意三個集合, 則 (1)交換律AÈB=BÈA, A

7、9;B=BÇA; (2)結(jié)合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC); (3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC), (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC); (4)對偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB)C=AC ÈBC. (AÈB)C=AC ÇBC的證明: xÎ(AÈB)C

8、19;xÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC. 直積(笛卡兒乘積): 設(shè)A、B是任意兩個集合, 在集合A中任意取一個元素x, 在集合B中任意取一個元素y, 組成一個有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為A´B, 即 A´B=(x, y)|xÎA且yÎB. 例如, R´R=(x, y)| x&#

9、206;R且yÎR 即為xOy面上全體點的集合, R´R常記作R2. 3. 區(qū)間和鄰域 有限區(qū)間: 設(shè)a<b, 稱數(shù)集x|a<x<b為開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)=x|a<x<b. 類似地有 a, b = x | a £x£b 稱為閉區(qū)間, a, b) = x | a£x<b 、(a, b = x | a<x£b 稱為半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點, b-a稱為區(qū)間的長度. 無限區(qū)間: a, +¥) = x | a

10、£x , (-¥, b = x | x < b , (-¥, +¥)=x | | x | < +¥. 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 鄰域: 以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域, 記作U(a). 設(shè)d是一正數(shù), 則稱開區(qū)間(a-d, a+d)為點a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d< x < a+d =x | | x-a|<d. 其中點a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)=x |0<| x-a |<d 二、映射 1. 映射的概念 定義

11、 設(shè)X、Y是兩個非空集合, 如果存在一個法則f, 使得對X中每個元素x, 按法則f, 在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng), 則稱f為從X到Y(jié)的映射, 記作 f : X®Y , 其中y稱為元素x(在映射f下)的像, 并記作f(x), 即 y=f(x), 而元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像; 集合X稱為映射f的定義域, 記作D f, 即 D f=X ; X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域, 記為R f, 或f(X), 即 R f=f(X)=f(x)|xÎX. 需要注意的問題: (1)構(gòu)成一個映射必須具備以下三個要素: 集合X, 即定義域D f=X; 集合Y, 即

12、值域的范圍: R f ÌY; 對應(yīng)法則f, 使對每個xÎX, 有唯一確定的y=f(x)與之對應(yīng). (2)對每個xÎX, 元素x的像y是唯一的; 而對每個yÎR f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一個子集, 即R f ÌY, 不一定R f=Y . 例1設(shè)f : R®R, 對每個xÎR, f(x)=x2. 顯然, f是一個映射, f的定義域D f=R, 值域R f =y|y³0, 它是R的一個真子集. 對于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=

13、-2兩個. 例2設(shè)X=(x, y)|x2+y2=1, Y=(x, 0)|x|£1, f : X ®Y, 對每個(x, y)ÎX, 有唯一確定的(x, 0)ÎY與之對應(yīng). 顯然f是一個映射, f的定義域D f=X, 值域R f =Y. 在幾何上, 這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間-1, 1上. (3) f :®-1, 1, 對每個xÎ, f(x)=sin x . f是一個映射, 定義域D f =, 值域R f =-1, 1. 滿射、單射和雙射: 設(shè)f是從集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任

14、一元素y都是X中某元素的像, 則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射; 若對X中任意兩個不同元素x 1¹x 2, 它們的像f(x 1)¹f(x 2), 則稱f為X到Y(jié)的單射; 若映射f既是單射, 又是滿射, 則稱f為一一映射(或雙射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射與復(fù)合映射 設(shè)f是X到Y(jié)的單射, 則由定義, 對每個yÎR f , 有唯一的xÎX, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個從R f 到X的新映射g, 即 g : R f ®X, 對每個yÎR f , 規(guī)定g(y)=x, 這x滿足f(x)=y. 這個映射g稱為f的逆映射,

15、 記作f -1, 其定義域=R f , 值域=X . 按上述定義, 只有單射才存在逆映射. 上述三例中哪個映射存在逆映射？ 設(shè)有兩個映射 g : X®Y 1, f : Y 2®Z, 其中Y 1ÌY 2. 則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應(yīng)法則, 它將每個xÎX映射成fg(x)ÎZ . 顯然, 這個對應(yīng)法則確定了一個從X到Z的映射, 這個映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射, 記作f o g, 即 f o g: X ®Z, (f o g)(x)=fg(x), xÎX . 應(yīng)注意的問題: 映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是: g的

16、值域R g必須包含在f的定義域內(nèi), R gÌD f . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合映射. 由此可以知道, 映射g和f的復(fù)合是有順序的, f o g有意義并不表示g o f也有意義. 即使f o g與g o f都有意義, 復(fù)映射f o g與g o f也未必相同. 例4 設(shè)有映射g : R®-1, 1, 對每個xÎR, g(x)=sin x, 映射f : -1, 1®0, 1, 對每個uÎ-1, 1, . 則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射f o g: R®0, 1, 對每個xÎR, 有 . 三、函數(shù) 1. 函數(shù)概念 定義 設(shè)數(shù)集DÌR

17、, 則稱映射f : D ®R為定義在D上的函數(shù), 通常簡記為 y=f(x), xÎD, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D. 應(yīng)注意的問題: 記號f和f(x)的含義是有區(qū)別的, 前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則, 而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值. 但為了敘述方便, 習(xí)慣上常用記號“f(x), xÎD”或“y=f(x), xÎD”來表示定義在D上的函數(shù), 這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f . 函數(shù)符號: 函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此時函數(shù)就記作y=

18、j (x), y=F(x). 函數(shù)的兩要素: 函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射, 其值域總在R內(nèi), 因此構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域D f及對應(yīng)法則f . 如果兩個函數(shù)的定義域相同, 對應(yīng)法則也相同, 那么這兩個函數(shù)就是相同的, 否則就是不同的. 函數(shù)的定義域: 函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定: 一種是對有實際背景的函數(shù), 根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定. 求定義域舉例: 求函數(shù)的定義域. 要使函數(shù)有意義, 必須x¹0, 且x2 - 4³0. 解不等式得| x |³2. 所以函數(shù)的定義域為D=x | | x |³2, 或D=(-¥, 2È

19、;2, +¥). 單值函數(shù)與多值函數(shù): 在函數(shù)的定義中，對每個xÎD, 對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個對應(yīng)法則, 按這個法則, 對每個xÎD, 總有確定的y值與之對應(yīng), 但這個y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù). 例如, 設(shè)變量x和y之間的對應(yīng)法則由方程x2+y2=r2 給出. 顯然, 對每個xÎ-r, r，由方程x2+y2=r2,可確定出對應(yīng)的y值, 當(dāng)x=r或x=-r時, 對應(yīng)y=0一個值; 當(dāng)x取(-r, r)內(nèi)任一個值時, 對應(yīng)的y有兩個值. 所以這方程確定了一個多值函數(shù). 對于多值函數(shù),

20、往往只要附加一些條件, 就可以將它化為單值函數(shù), 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2給出的對應(yīng)法則中, 附加“y³0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y³0”作為對應(yīng)法則, 就可得到一個單值分支; 附加“y£0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y£0”作為對應(yīng)法則, 就可得到另一個單值分支. 表示函數(shù)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法), 這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟悉. 其中, 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念, 即坐標(biāo)平面上的點集 P(x, y)|y=f(x), xÎD稱為函數(shù)y=f

21、(x), xÎD的圖形. 圖中的R f 表示函數(shù)y=f(x)的值域. 函數(shù)的例子: 例. 函數(shù). 稱為絕對值函數(shù). 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =0, +¥). 例. 函數(shù). 稱為符號函數(shù). 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =-1, 0, 1. 例 設(shè)x為任上實數(shù). 不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分, 記作 x . 函數(shù) y = x 稱為取整函數(shù). 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =Z . , , p=3, -1=-1, -3. 5=-4. 分段函數(shù): 在自變量

22、的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù). 例。 函數(shù). 這是一個分段函數(shù), 其定義域為D=0, 1È(0, +¥)= 0, +¥). 當(dāng)0£x£1時, ; 當(dāng)x>1時, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 2. 函數(shù)的幾種特性 (1)函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D, 數(shù)集XÌD. 如果存在數(shù)K1, 使對任一xÎX, 有f(x)£K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界. 圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如

23、果存在數(shù)K2, 使對任一xÎX, 有f(x)³ K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對任一xÎX, 有| f(x) |£M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界, 就是說對任何M, 總存在x1ÎX, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-¥

24、;, +¥)上是有界的: |sin x|£1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因為, 對于任一M>1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. (2)函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域為D, 區(qū)間I ÌD. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1<x2時, 恒有 f(x1)< f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1<x2時, 恒有 f(x1)> f(x2), 則

25、稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-¥, 0上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間0, +¥)上是單調(diào)減少的, 在（-¥, +¥）上不是單調(diào)的. (3)函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱(即若xÎD, 則-xÎD). 如果對于任一xÎD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對于任一xÎD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,

26、奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且 f(x+l) = f(x)則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點: 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個長度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù): 設(shè)函數(shù)f : D®f(D)是單射, 則它存在逆映射f -1: f(D)®D, 稱此映射f -

27、1為函數(shù)f的反函數(shù). 按此定義, 對每個yÎf(D), 有唯一的xÎD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 這就是說, 反函數(shù)f -1的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對應(yīng)法則所確定的. 一般地, y=f(x), xÎD的反函數(shù)記成y=f -1(x), xÎf(D). 若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù), 則f : D®f(D)是單射, 于是f的反函數(shù)f -1必定存在, 而且容易證明f -1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 相對于反函數(shù)y=f -1(x)來說, 原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù). 把函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f -1(x)的圖

28、形畫在同一坐標(biāo)平面上, 這兩個圖形關(guān)于直線y=x是對稱的. 這是因為如果P(a, b)是y=f(x)圖形上的點, 則有b=f(a). 按反函數(shù)的定義, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點, 則P(a, b)是y=f(x)圖形上的點. 而P(a, b)與Q(b, a)是關(guān)于直線y=x對稱的. 復(fù)合函數(shù): 復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例, 按照通常函數(shù)的記號, 復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述. 設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為D 1, 函數(shù)u=g(x)在D上有定義且g(D)Ì D 1, 則由下式確定的函數(shù)

29、y=fg(x), xÎD稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域為D, 變量u稱為中間變量. 函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為, 即 ()=fg(x). 與復(fù)合映射一樣, g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域D f內(nèi), 即g(D)ÌD f. 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域為-1, 1, 在上有定義, 且g(D)Ì-1, 1, 則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù) , xÎD; 但函數(shù)y=arcsin u和函數(shù)u=2+x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 這是因為

30、對任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定義域-1, 1內(nèi). 多個函數(shù)的復(fù)合: 4. 函數(shù)的運算 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域依次為D 1, D 2, D=D 1ÇD 2¹Æ, 則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算: 和(差)f ±g : (f ±g)(x)=f(x)±g(x), xÎD; 積f ×g : (f ×g)(x)=f(x)×g(x), xÎD; 商: , xÎDx|g(x)=0. 例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(-l, l), 證明必存

31、在(-l, l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 則f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 證 作, , 則 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函數(shù) 基本初等函數(shù): 冪函數(shù): y=x m (mÎR是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): y=a x(a>0且a¹1); 對數(shù)函數(shù): y=loga x (a>0且a¹1, 特別當(dāng)a=e時, 記為y=ln x); 三角函數(shù): y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y

32、=csc x; 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 雙曲函數(shù): 雙曲正弦: ; 雙曲余弦: ; 雙曲正切: . 雙曲函數(shù)的性質(zhì): sh(x+y)=sh x×ch y±ch x×sh y; ch(x±y)=ch x×ch y±sh x×sh y. ch2x-sh2x=1; sh2x=2

33、sh x×ch x; ch2x=ch2x+sh2x . 下面證明 sh(x+y)=sh x×ch y+ch x×sh y: . 反雙曲函數(shù): 雙曲函數(shù)y=sh x, y=ch x(x³0), y=th x的反函數(shù)依次為 反雙曲正弦: y=arsh x; 反雙曲余弦: y=arch x; 反雙曲正切: y=arth x . 反雙曲函數(shù)的表示達(dá)式: y=arsh x是x=sh y的反函數(shù), 因此, 從 中解出y來便是arsh x . 令u=e y, 則由上式有 u 2-2x u-1=0. 這是關(guān)于u的一個二次方程, 它的根為 . 因為u=e y>0,

34、故上式根號前應(yīng)取正號, 于是 . 由于y=ln u, 故得 . 函數(shù)y=arsh x的定義域為(-¥, +¥), 它是奇函數(shù), 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)為單調(diào)增加的. 類似地可得 , . §1. 2 數(shù)列的極限 一個實際問題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, ×

35、 × × × × × , An, × × ×設(shè)想n 無限增大（記為n®¥, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個過程中, 內(nèi)接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當(dāng)n ®¥時的極限. 數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對任何

36、一個正整數(shù)n 有一個確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n 項xn 叫做數(shù)列的一般項. 數(shù)列的例子: : , , , × × × , × × × 2n: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × × : , , , × × × , , × × &#

37、215; ; (-1)n+1: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × × × ; : 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個動點, 它依次取數(shù)軸上的點x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n)

38、, 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義：對于數(shù)列xn, 如果當(dāng)n 無限增大時, 數(shù)列的一般項xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是發(fā)散的. 對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價于|xn-a |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列xn與常a 有下列關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對于n >N 時的一切xn, 不等式 |xn-a |<e都成立, 則稱常數(shù)a 是

39、數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a , 記為 或xn®a (n®¥).如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. Û"e >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時, 有|xn-a|<e . 數(shù)列極限的幾何解釋: 例題: 例1. 證明. 分析: |xn-1|=.對于"e >0, 要使|xn-1|<e , 只要, 即. 證明: 因為"e >0, $ÎN+, 當(dāng)n>N時, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對于"e >0,

40、要使|xn-0|<e , 只要, 即. 證明: 因為"e >0, $ÎN+, 當(dāng)n>N時, 有|xn-0|=,所以. 例3. 設(shè)|q |<1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0. 分析: 對于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1<e ,只要n>log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。證明: 因為對于任意給定的e >0, 存在N= log|q|e +1,

41、 當(dāng)n>N時, 有 | qn-1-0|=|q| n-1<e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設(shè)同時有及, 且a<b. 按極限的定義, 對于>0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)n>N時, 同時有|xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對于數(shù)列xn，如果存在著正數(shù)M，使得對一切xn都滿足不等式 |xn|£M,則稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列xn是無界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收

42、斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列xn收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對于e =1, 存在正整數(shù)N, 使對于n>N 時的一切xn , 不等式|xn-a|<e =1都成立. 于是當(dāng)n>N時, |xn|=|(xn -a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |, 那么數(shù)列xn中的一切xn都滿足不等式|xn|£ M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a>0(或a&

43、lt;0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時, 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對, $NÎN+, 當(dāng)n>N時, 有,從而. 推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn³0(或xn£0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a³0(或a£0). 證明 就xn³0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項起, 即當(dāng)n>N 1時有xn³0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2ÎN+, 當(dāng)n> N 2時, 有xn<0. 取N=max

44、N 1, N 2 , 當(dāng)n>N時, 按假定有x n ³0, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a ³0. 子數(shù)列: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列xn: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列為x2n: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × × 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)

45、如果數(shù)列xn收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列. 因為數(shù)列xn收斂于a, 所以"e >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時, 有|xn-a|<e .取K=N, 則當(dāng)k>K時, nk³k>K=N. 于是|-a|<e . 這就證明了.討論: 1. 對于某一正數(shù)e 0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時, 有|xn-a|<e 0. 是否有xn ®a (n ®¥). 2. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界?

46、 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)N+1, × × ×是發(fā)散的？ §1. 3 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢: x無限接近x0 : x®x0, x從x0的左側(cè)(即小于x0)無限接近x0 : x®x0-, x從x0的右側(cè)(即大于x0)無限接近x0 : x®x0+, x的絕對值

47、|x|無限增大: x®¥, x小于零且絕對值|x|無限增大: x®-¥, x大于零且絕對值|x|無限增大: x®+¥. 1自變量趨于有限值時函數(shù)的極限通俗定義: 如果當(dāng)x無限接近于x0 , 函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A, 則稱當(dāng)x趨于x0 時, f(x)以A為極限. 記作f(x)=A或f(x)®A(當(dāng)x®). 分析: 在x®x0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d, d為某一正數(shù))時, |f(x)-A|可以小于任

48、意給定的(小的)正數(shù)e , 即|f(x)-A|<e . 反之, 對于任意給定的正數(shù)e , 如果x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d, d為某一正數(shù))就有|f(x)-A|<e , 則能保證當(dāng)x ®x0時, f(x)無限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<d 時, 對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)-A|<e , 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x ®x0時的極限, 記為或f(x)&#

49、174;A(當(dāng)x®x0). 定義的簡單表述: Û"e>0, $d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d時, |f(x)-A|<e . 函數(shù)極限的幾何意義: 例1. 證明. 證明: 這里|f(x)-A|=|c-c|=0, 因為"e>0, 可任取d>0 , 當(dāng)0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|=|c-c|=0<e ,所以. 例2. 證明. 分析: |f(x)-A|=|x-x0|. 因此"e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要|x-x0|<e . 證明: 因為&

50、quot;e >0, $d =e , 當(dāng)0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|=|x-x0|<e , 所以. 例3. 證明. 分析: |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|. "e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 證明: 因為"e >0, $d=e /2, 當(dāng)0<|x-1|<d 時, 有|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e , 所以. 例4. 證明. 分析: 注意函數(shù)在x=1是沒有定義的, 但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系. 當(dāng)x¹1時, |f(x

51、)-A|=|x-1|. "e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要|x-1|<e . 證明: 因為"e >0, $d=e , 當(dāng)0<|x-1|<d 時, 有| f(x)-A|=|x-1|<e ,所以. 單側(cè)極限: 若當(dāng)x®x0- 時, f(x)無限接近于某常數(shù)A, 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0時的左極限, 記為或f(-)=A ;yy=x-1-11y=x+1xO 若當(dāng)x®x0+ 時, f(x)無限接近于某常數(shù)A, 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0時的右極限, 記為或f(+)=A .

52、 討論:1.左右極限的e -d定義如何敘述? 2. 當(dāng)x®x0時函數(shù)f(x)的左右極限與當(dāng)x®x0時函數(shù)f(x)的極限之間的關(guān)系怎樣? 提示: 左極限的e -d 定義： Û"e >0, $d >0, "x: x0-d<x<x0, 有|f(x)-A|<e . Û"e >0, $d >0, "x: x0<x<x0+d , 有|f(x)-A|<e . Û且. 例5 函數(shù)當(dāng)x®0時的極限不存在. 這是因為, , , . 2自變量趨于無窮大時函數(shù)

53、的極限 設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)X, 使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時, 對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®¥時的極限, 記為或f(x)®A(x®¥). Û"e >0, $X>0, 當(dāng)|x|>X時, 有|f(x)-A|<e . 類似地可定義和. 結(jié)論: Û且.極限的定義的幾何意義y=f (x)AA-e-XO XxyA+e 例6. 證明. 分析: . &quo

54、t;e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 證明: 因為"e >0, $, 當(dāng)|x|>X時, 有, 所以. 直線y=0 是函數(shù)的水平漸近線. 一般地, 如果, 則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線. 二、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理1(函數(shù)極限的唯一性) 如果極限存在, 那么這極限唯一. 定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)®A(x®x0), 那么存在常數(shù)M>0和d, 使得當(dāng)0<|x-x0|<d時, 有|f(x)|£M. 證明 因為f(x)®A(x®x0), 所以對于e

55、 =1, $d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d時, 有|f(x)-A|<e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|. 這就證明了在x0的去心鄰域x| 0<|x-x0|<d 內(nèi), f(x)是有界的. 定理3(函數(shù)極限的局部保號性) 如果f(x)®A(x®x0), 而且A>0(或A<0), 那么存在常數(shù)d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時, 有f(x)>0(或f(x)<0). 證明: 就A>0的情形證明. 因為, 所以對于, $d &

56、gt;0, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時, 有ÞÞ>0. 定理3¢ 如果f(x)®A(x®x0)(A¹0), 那么存在點x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi), 有. 推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)³0(或f(x)£0), 而且f(x)®A(x®x0), 那么A³0(或A£0). 證明: 設(shè)f(x)³0. 假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A<0, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)<0, 這與f(x)³0的

57、假定矛盾. 所以A³0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)x®x0時f(x)的極限存在, xn為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列, 且滿足xn ¹x0(nÎN+), 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(x n)必收斂, 且 . 證明 設(shè)f(x)®A(x®x0), 則"e >0, $d >0, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|<e . 又因為xn®x0(n®¥), 故對d >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時, 有|xn-x0|&

58、lt;d . 由假設(shè), xn ¹x0(nÎN+). 故當(dāng)n>N時, 0<|x n-x 0|<d , 從而|f(x n)-A|<e . 即 §1. 4 無窮小與無窮大 一、無窮小 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0(或x®¥)時的極限為零, 那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x®x0(或x®¥)時的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列xn稱為n®¥時的無窮小. 例如, 因為, 所以函數(shù)為當(dāng)x®¥時的無窮小. 因為, 所以函數(shù)為x-1當(dāng)x®1時的無窮小.

59、因為, 所以數(shù)列為當(dāng)n®¥時的無窮小. 討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮??？0是否為無窮?。?提示: 無窮小是這樣的函數(shù), 在x®x0(或x®¥)的過程中, 極限為零. 很小很小的數(shù)只要它不是零, 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個常數(shù)本身, 不會為零. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理1 在自變量的同一變化過程x®x0(或x®¥)中, 函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a, 其中a是無窮小. 證明: 設(shè), "e >0 , $ d >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|<e . 令a=f(x)-A, 則a是x&#