1、高等數學教案 第一章 函數與極限第一章 函數與極限教學目的：1、 理解函數的概念，掌握函數的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。2、 了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。3、 理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。4、 掌握基本初等函數的性質及其圖形。5、 理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。6、 掌握極限的性質及四則運算法則。7、 了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、 理解函數連續性的概念（含

2、左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。10、了解連續函數的性質和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。教學重點：1、 復合函數及分段函數的概念；2、 基本初等函數的性質及其圖形；3、 極限的概念極限的性質及四則運算法則；4、 兩個重要極限；5、 無窮小及無窮小的比較；6、 函數連續性及初等函數的連續性；7、 區間上連續函數的性質。教學難點：1、 分段函數的建立與性質；2、 左極限與右極限概念及應用；3、 極限存在的兩個準則的應用；4、 間斷點及其分類；5、 閉區間上連續函數性質的應用。§1. 1 映射與函數 一、集

3、合 1. 集合概念 集合(簡稱集): 集合是指具有某種特定性質的事物的總體. 用A, B, C.等表示. 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表示為aÎM. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A=a1, a2, × × ×, an, M=x | x具有性質P . 例如M=(x, y)| x, y為實數, x2+y2=1. 幾個數集: N表示所有自然數構成的集合, 稱為自然數集. N=0,

4、 1, 2, × × ×, n, × × ×. N+=1, 2, × × ×, n, × × ×. R表示所有實數構成的集合, 稱為實數集. Z表示所有整數構成的集合, 稱為整數集. Z=× × ×, -n, × × ×, -2, -1, 0, 1, 2, × × ×, n, × × ×. Q表示所有有理數構成的集合, 稱為有理數集. 子集: 若xÎ

5、;A, 則必有xÎB, 則稱A是B的子集, 記為AÌB(讀作A包含于B)或BÉA . 如果集合A與集合B互為子集, AÌB且BÌA, 則稱集合A與集合B相等, 記作A=B. 若AÌB且A¹B, 則稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作Æ. 規定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運算 設A、B是兩個集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并), 記作AÈB, 即 AÈB=x|xÎA或xÎB. 設A

6、、B是兩個集合, 由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交), 記作AÇB, 即 AÇB=x|xÎA且xÎB. 設A、B是兩個集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差), 記作AB, 即 AB=x|xÎA且xÏB. 如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時, 我們稱集合I為全集或基本集. 稱IA為A的余集或補集, 記作AC. 集合運算的法則: 設A、B、C為任意三個集合, 則 (1)交換律AÈB=BÈA, A

7、9;B=BÇA; (2)結合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC); (3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC), (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC); (4)對偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB)C=AC ÈBC. (AÈB)C=AC ÇBC的證明: xÎ(AÈB)C

8、19;xÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC. 直積(笛卡兒乘積): 設A、B是任意兩個集合, 在集合A中任意取一個元素x, 在集合B中任意取一個元素y, 組成一個有序對(x, y), 把這樣的有序對作為新元素, 它們全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為A´B, 即 A´B=(x, y)|xÎA且yÎB. 例如, R´R=(x, y)| x&#

9、206;R且yÎR 即為xOy面上全體點的集合, R´R常記作R2. 3. 區間和鄰域 有限區間: 設a<b, 稱數集x|a<x<b為開區間, 記為(a, b), 即 (a, b)=x|a<x<b. 類似地有 a, b = x | a £x£b 稱為閉區間, a, b) = x | a£x<b 、(a, b = x | a<x£b 稱為半開區間. 其中a和b稱為區間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點, b-a稱為區間的長度. 無限區間: a, +¥) = x | a

10、£x , (-¥, b = x | x < b , (-¥, +¥)=x | | x | < +¥. 區間在數軸上的表示: 鄰域: 以點a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域, 記作U(a). 設d是一正數, 則稱開區間(a-d, a+d)為點a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d< x < a+d =x | | x-a|<d. 其中點a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)=x |0<| x-a |<d 二、映射 1. 映射的概念 定義

11、 設X、Y是兩個非空集合, 如果存在一個法則f, 使得對X中每個元素x, 按法則f, 在Y中有唯一確定的元素y與之對應, 則稱f為從X到Y的映射, 記作 f : X®Y , 其中y稱為元素x(在映射f下)的像, 并記作f(x), 即 y=f(x), 而元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像; 集合X稱為映射f的定義域, 記作D f, 即 D f=X ; X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域, 記為R f, 或f(X), 即 R f=f(X)=f(x)|xÎX. 需要注意的問題: (1)構成一個映射必須具備以下三個要素: 集合X, 即定義域D f=X; 集合Y, 即

12、值域的范圍: R f ÌY; 對應法則f, 使對每個xÎX, 有唯一確定的y=f(x)與之對應. (2)對每個xÎX, 元素x的像y是唯一的; 而對每個yÎR f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一個子集, 即R f ÌY, 不一定R f=Y . 例1設f : R®R, 對每個xÎR, f(x)=x2. 顯然, f是一個映射, f的定義域D f=R, 值域R f =y|y³0, 它是R的一個真子集. 對于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=

13、-2兩個. 例2設X=(x, y)|x2+y2=1, Y=(x, 0)|x|£1, f : X ®Y, 對每個(x, y)ÎX, 有唯一確定的(x, 0)ÎY與之對應. 顯然f是一個映射, f的定義域D f=X, 值域R f =Y. 在幾何上, 這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區間-1, 1上. (3) f :®-1, 1, 對每個xÎ, f(x)=sin x . f是一個映射, 定義域D f =, 值域R f =-1, 1. 滿射、單射和雙射: 設f是從集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任

14、一元素y都是X中某元素的像, 則稱f為X到Y上的映射或滿射; 若對X中任意兩個不同元素x 1¹x 2, 它們的像f(x 1)¹f(x 2), 則稱f為X到Y的單射; 若映射f既是單射, 又是滿射, 則稱f為一一映射(或雙射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射與復合映射 設f是X到Y的單射, 則由定義, 對每個yÎR f , 有唯一的xÎX, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個從R f 到X的新映射g, 即 g : R f ®X, 對每個yÎR f , 規定g(y)=x, 這x滿足f(x)=y. 這個映射g稱為f的逆映射,

15、 記作f -1, 其定義域=R f , 值域=X . 按上述定義, 只有單射才存在逆映射. 上述三例中哪個映射存在逆映射？ 設有兩個映射 g : X®Y 1, f : Y 2®Z, 其中Y 1ÌY 2. 則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則, 它將每個xÎX映射成fg(x)ÎZ . 顯然, 這個對應法則確定了一個從X到Z的映射, 這個映射稱為映射g和f構成的復合映射, 記作f o g, 即 f o g: X ®Z, (f o g)(x)=fg(x), xÎX . 應注意的問題: 映射g和f構成復合映射的條件是: g的

16、值域R g必須包含在f的定義域內, R gÌD f . 否則, 不能構成復合映射. 由此可以知道, 映射g和f的復合是有順序的, f o g有意義并不表示g o f也有意義. 即使f o g與g o f都有意義, 復映射f o g與g o f也未必相同. 例4 設有映射g : R®-1, 1, 對每個xÎR, g(x)=sin x, 映射f : -1, 1®0, 1, 對每個uÎ-1, 1, . 則映射g和f構成復映射f o g: R®0, 1, 對每個xÎR, 有 . 三、函數 1. 函數概念 定義 設數集DÌR

17、, 則稱映射f : D ®R為定義在D上的函數, 通常簡記為 y=f(x), xÎD, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D. 應注意的問題: 記號f和f(x)的含義是有區別的, 前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則, 而后者表示與自變量x對應的函數值. 但為了敘述方便, 習慣上常用記號“f(x), xÎD”或“y=f(x), xÎD”來表示定義在D上的函數, 這時應理解為由它所確定的函數f . 函數符號: 函數y=f(x)中表示對應關系的記號f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此時函數就記作y=

18、j (x), y=F(x). 函數的兩要素: 函數是從實數集到實數集的映射, 其值域總在R內, 因此構成函數的要素是定義域D f及對應法則f . 如果兩個函數的定義域相同, 對應法則也相同, 那么這兩個函數就是相同的, 否則就是不同的. 函數的定義域: 函數的定義域通常按以下兩種情形來確定: 一種是對有實際背景的函數, 根據實際背景中變量的實際意義確定. 求定義域舉例: 求函數的定義域. 要使函數有意義, 必須x¹0, 且x2 - 4³0. 解不等式得| x |³2. 所以函數的定義域為D=x | | x |³2, 或D=(-¥, 2È

19、;2, +¥). 單值函數與多值函數: 在函數的定義中，對每個xÎD, 對應的函數值y總是唯一的, 這樣定義的函數稱為單值函數. 如果給定一個對應法則, 按這個法則, 對每個xÎD, 總有確定的y值與之對應, 但這個y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個多值函數. 例如, 設變量x和y之間的對應法則由方程x2+y2=r2 給出. 顯然, 對每個xÎ-r, r，由方程x2+y2=r2,可確定出對應的y值, 當x=r或x=-r時, 對應y=0一個值; 當x取(-r, r)內任一個值時, 對應的y有兩個值. 所以這方程確定了一個多值函數. 對于多值函數,

20、往往只要附加一些條件, 就可以將它化為單值函數, 這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2給出的對應法則中, 附加“y³0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y³0”作為對應法則, 就可得到一個單值分支; 附加“y£0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y£0”作為對應法則, 就可得到另一個單值分支. 表示函數的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法), 這在中學里大家已經熟悉. 其中, 用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念, 即坐標平面上的點集 P(x, y)|y=f(x), xÎD稱為函數y=f

21、(x), xÎD的圖形. 圖中的R f 表示函數y=f(x)的值域. 函數的例子: 例. 函數. 稱為絕對值函數. 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =0, +¥). 例. 函數. 稱為符號函數. 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =-1, 0, 1. 例 設x為任上實數. 不超過x的最大整數稱為x的整數部分, 記作 x . 函數 y = x 稱為取整函數. 其定義域為D=(-¥, +¥), 值域為R f =Z . , , p=3, -1=-1, -3. 5=-4. 分段函數: 在自變量

22、的不同變化范圍中, 對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數. 例。 函數. 這是一個分段函數, 其定義域為D=0, 1È(0, +¥)= 0, +¥). 當0£x£1時, ; 當x>1時, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 2. 函數的幾種特性 (1)函數的有界性 設函數f(x)的定義域為D, 數集XÌD. 如果存在數K1, 使對任一xÎX, 有f(x)£K1, 則稱函數f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數f(x)在X上的一個上界. 圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如

23、果存在數K2, 使對任一xÎX, 有f(x)³ K2, 則稱函數f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數f(x)在X上的一個下界. 圖形特點是, 函數y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數M, 使對任一xÎX, 有| f(x) |£M, 則稱函數f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數f(x)在X上無界. 圖形特點是, 函數y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數f(x)無界, 就是說對任何M, 總存在x1ÎX, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-¥

24、;, +¥)上是有界的: |sin x|£1. (2)函數在開區間(0, 1)內是無上界的. 或者說它在(0, 1)內有下界, 無上界. 這是因為, 對于任一M>1, 總有x1: , 使 , 所以函數無上界. 函數在(1, 2)內是有界的. (2)函數的單調性 設函數y = f(x)的定義域為D, 區間I ÌD. 如果對于區間I上任意兩點x1及x2, 當x1<x2時, 恒有 f(x1)< f(x2), 則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的. 如果對于區間I上任意兩點x1及x2, 當x1<x2時, 恒有 f(x1)> f(x2), 則

25、稱函數f(x)在區間I上是單調減少的. 單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數. 函數單調性舉例: 函數y = x2在區間(-¥, 0上是單調增加的, 在區間0, +¥)上是單調減少的, 在（-¥, +¥）上不是單調的. (3)函數的奇偶性 設函數f(x)的定義域D關于原點對稱(即若xÎD, 則-xÎD). 如果對于任一xÎD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數. 如果對于任一xÎD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數. 偶函數的圖形關于y軸對稱, 奇函數的圖形關于原點對稱,

26、奇偶函數舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數. y=x3, y=sin x都是奇函數, y=sin x+cos x是非奇非偶函數. (4)函數的周期性 設函數f(x)的定義域為D. 如果存在一個正數l , 使得對于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且 f(x+l) = f(x)則稱f(x)為周期函數, l 稱為f(x)的周期. 周期函數的圖形特點: 在函數的定義域內, 每個長度為l 的區間上, 函數的圖形有相同的形狀. 3反函數與復合函數反函數: 設函數f : D®f(D)是單射, 則它存在逆映射f -1: f(D)®D, 稱此映射f -

27、1為函數f的反函數. 按此定義, 對每個yÎf(D), 有唯一的xÎD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 這就是說, 反函數f -1的對應法則是完全由函數f的對應法則所確定的. 一般地, y=f(x), xÎD的反函數記成y=f -1(x), xÎf(D). 若f是定義在D上的單調函數, 則f : D®f(D)是單射, 于是f的反函數f -1必定存在, 而且容易證明f -1也是f(D)上的單調函數. 相對于反函數y=f -1(x)來說, 原來的函數y=f(x)稱為直接函數. 把函數y=f(x)和它的反函數y=f -1(x)的圖

28、形畫在同一坐標平面上, 這兩個圖形關于直線y=x是對稱的. 這是因為如果P(a, b)是y=f(x)圖形上的點, 則有b=f(a). 按反函數的定義, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點, 則P(a, b)是y=f(x)圖形上的點. 而P(a, b)與Q(b, a)是關于直線y=x對稱的. 復合函數: 復合函數是復合映射的一種特例, 按照通常函數的記號, 復合函數的概念可如下表述. 設函數y=f(u)的定義域為D 1, 函數u=g(x)在D上有定義且g(D)Ì D 1, 則由下式確定的函數

29、y=fg(x), xÎD稱為由函數u=g(x)和函數y=f(u)構成的復合函數, 它的定義域為D, 變量u稱為中間變量. 函數g與函數f構成的復合函數通常記為, 即 ()=fg(x). 與復合映射一樣, g與f構成的復合函數的條件是: 是函數g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域D f內, 即g(D)ÌD f. 否則, 不能構成復合函數. 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域為-1, 1, 在上有定義, 且g(D)Ì-1, 1, 則g與f可構成復合函數 , xÎD; 但函數y=arcsin u和函數u=2+x2不能構成復合函數, 這是因為

30、對任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定義域-1, 1內. 多個函數的復合: 4. 函數的運算 設函數f(x), g(x)的定義域依次為D 1, D 2, D=D 1ÇD 2¹Æ, 則我們可以定義這兩個函數的下列運算: 和(差)f ±g : (f ±g)(x)=f(x)±g(x), xÎD; 積f ×g : (f ×g)(x)=f(x)×g(x), xÎD; 商: , xÎDx|g(x)=0. 例11設函數f(x)的定義域為(-l, l), 證明必存

31、在(-l, l)上的偶函數g(x)及奇函數h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 則f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 證 作, , 則 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函數 基本初等函數: 冪函數: y=x m (mÎR是常數); 指數函數: y=a x(a>0且a¹1); 對數函數: y=loga x (a>0且a¹1, 特別當a=e時, 記為y=ln x); 三角函數: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y

32、=csc x; 反三角函數: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數: 由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數, 稱為初等函數. 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數. 雙曲函數: 雙曲正弦: ; 雙曲余弦: ; 雙曲正切: . 雙曲函數的性質: sh(x+y)=sh x×ch y±ch x×sh y; ch(x±y)=ch x×ch y±sh x×sh y. ch2x-sh2x=1; sh2x=2

33、sh x×ch x; ch2x=ch2x+sh2x . 下面證明 sh(x+y)=sh x×ch y+ch x×sh y: . 反雙曲函數: 雙曲函數y=sh x, y=ch x(x³0), y=th x的反函數依次為 反雙曲正弦: y=arsh x; 反雙曲余弦: y=arch x; 反雙曲正切: y=arth x . 反雙曲函數的表示達式: y=arsh x是x=sh y的反函數, 因此, 從 中解出y來便是arsh x . 令u=e y, 則由上式有 u 2-2x u-1=0. 這是關于u的一個二次方程, 它的根為 . 因為u=e y>0,

34、故上式根號前應取正號, 于是 . 由于y=ln u, 故得 . 函數y=arsh x的定義域為(-¥, +¥), 它是奇函數, 在區間(-¥, +¥)內為單調增加的. 類似地可得 , . §1. 2 數列的極限 一個實際問題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設有一圓, 首先作內接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數加倍, 一般把內接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內接正多邊形的面積: A1, A2, A3, ×

35、 × × × × × , An, × × ×設想n 無限增大（記為n®¥, 讀作n 趨于窮大）, 即內接正多邊形的邊數無限增加, 在這個過程中, 內接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數值, 這個確定的數值就理解為圓的面積. 這個確定的數值在數學上稱為上面有次序的數（數列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當n ®¥時的極限. 數列的概念:如果按照某一法則, 使得對任何

36、一個正整數n 有一個確定的數xn , 則得到一列有次序的數 x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×這一列有次序的數就叫做數列, 記為xn, 其中第n 項xn 叫做數列的一般項. 數列的例子: : , , , × × × , × × × 2n: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × × : , , , × × × , , × × &#

37、215; ; (-1)n+1: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × × × ; : 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數列的幾何意義:數列xn可以看作數軸上的一個動點, 它依次取數軸上的點x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數列與函數:數列xn可以看作自變量為正整數n 的函數: xn=f (n)

38、, 它的定義域是全體正整數. 數列的極限: 數列的極限的通俗定義：對于數列xn, 如果當n 無限增大時, 數列的一般項xn無限地接近于某一確定的數值a, 則稱常數a 是數列xn的極限, 或稱數列xn收斂a . 記為. 如果數列沒有極限, 就說數列是發散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是發散的. 對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價于|xn-a |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數列xn與常a 有下列關系:對于任意給定的正數e (不論它多么小), 總存在正整數N , 使得對于n >N 時的一切xn, 不等式 |xn-a |<e都成立, 則稱常數a 是

39、數列xn的極限, 或者稱數列xn收斂于a , 記為 或xn®a (n®¥).如果數列沒有極限, 就說數列是發散的. Û"e >0, $NÎN+, 當n>N時, 有|xn-a|<e . 數列極限的幾何解釋: 例題: 例1. 證明. 分析: |xn-1|=.對于"e >0, 要使|xn-1|<e , 只要, 即. 證明: 因為"e >0, $ÎN+, 當n>N時, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對于"e >0,

40、要使|xn-0|<e , 只要, 即. 證明: 因為"e >0, $ÎN+, 當n>N時, 有|xn-0|=,所以. 例3. 設|q |<1, 證明等比數列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0. 分析: 對于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1<e ,只要n>log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。證明: 因為對于任意給定的e >0, 存在N= log|q|e +1,

41、 當n>N時, 有 | qn-1-0|=|q| n-1<e ,所以. 收斂數列的性質: 定理1(極限的唯一性) 數列xn不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設同時有及, 且a<b. 按極限的定義, 對于>0, 存在充分大的正整數N, 使當n>N時, 同時有|xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數列的有界性: 對于數列xn，如果存在著正數M，使得對一切xn都滿足不等式 |xn|£M,則稱數列xn是有界的; 如果這樣的正數M不存在，就說數列xn是無界的 定理2(收斂數列的有界性) 如果數列xn收

42、斂, 那么數列xn一定有界. 證明: 設數列xn收斂, 且收斂于a, 根據數列極限的定義, 對于e =1, 存在正整數N, 使對于n>N 時的一切xn , 不等式|xn-a|<e =1都成立. 于是當n>N時, |xn|=|(xn -a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |, 那么數列xn中的一切xn都滿足不等式|xn|£ M.這就證明了數列xn是有界的. 定理3收斂數列的保號性) 如果數列xn收斂于a, 且a>0(或a&

43、lt;0), 那么存在正整數N, 當n>N時, 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數列極限的定義, 對, $NÎN+, 當n>N時, 有,從而. 推論 如果數列xn從某項起有xn³0(或xn£0), 且數列xn收斂于a, 那么a³0(或a£0). 證明 就xn³0情形證明. 設數列xn從N1項起, 即當n>N 1時有xn³0. 現在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2ÎN+, 當n> N 2時, 有xn<0. 取N=max

44、N 1, N 2 , 當n>N時, 按假定有x n ³0, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a ³0. 子數列: 在數列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的先后次序, 這樣得到的一個數列稱為原數列xn的子數列. 例如, 數列xn: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數列為x2n: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × × 定理3(收斂數列與其子數列間的關系)

45、如果數列xn收斂于a, 那么它的任一子數列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設數列是數列xn的任一子數列. 因為數列xn收斂于a, 所以"e >0, $NÎN+, 當n>N時, 有|xn-a|<e .取K=N, 則當k>K時, nk³k>K=N. 于是|-a|<e . 這就證明了.討論: 1. 對于某一正數e 0, 如果存在正整數N, 使得當n>N時, 有|xn-a|<e 0. 是否有xn ®a (n ®¥). 2. 如果數列xn收斂, 那么數列xn一定有界. 發散的數列是否一定無界?

46、 有界的數列是否收斂? 3. 數列的子數列如果發散, 原數列是否發散? 數列的兩個子數列收斂, 但其極限不同, 原數列的收斂性如何?發散的數列的子數列都發散嗎？4如何判斷數列 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)N+1, × × ×是發散的？ §1. 3 函數的極限 一、函數極限的定義 函數的自變量有幾種不同的變化趨勢: x無限接近x0 : x®x0, x從x0的左側(即小于x0)無限接近x0 : x®x0-, x從x0的右側(即大于x0)無限接近x0 : x®x0+, x的絕對值

47、|x|無限增大: x®¥, x小于零且絕對值|x|無限增大: x®-¥, x大于零且絕對值|x|無限增大: x®+¥. 1自變量趨于有限值時函數的極限通俗定義: 如果當x無限接近于x0 , 函數f(x)的值無限接近于常數A, 則稱當x趨于x0 時, f(x)以A為極限. 記作f(x)=A或f(x)®A(當x®). 分析: 在x®x0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d, d為某一正數)時, |f(x)-A|可以小于任

48、意給定的(小的)正數e , 即|f(x)-A|<e . 反之, 對于任意給定的正數e , 如果x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d, d為某一正數)就有|f(x)-A|<e , 則能保證當x ®x0時, f(x)無限接近于A. 定義1 設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義. 如果存在常數A, 對于任意給定的正數e (不論它多么小), 總存在正數d, 使得當x滿足不等式0<|x-x0|<d 時, 對應的函數值f(x)都滿足不等式 |f(x)-A|<e , 那么常數A就叫做函數f(x)當x ®x0時的極限, 記為或f(x)&#

49、174;A(當x®x0). 定義的簡單表述: Û"e>0, $d>0, 當0<|x-x0|<d時, |f(x)-A|<e . 函數極限的幾何意義: 例1. 證明. 證明: 這里|f(x)-A|=|c-c|=0, 因為"e>0, 可任取d>0 , 當0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|=|c-c|=0<e ,所以. 例2. 證明. 分析: |f(x)-A|=|x-x0|. 因此"e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要|x-x0|<e . 證明: 因為&

50、quot;e >0, $d =e , 當0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|=|x-x0|<e , 所以. 例3. 證明. 分析: |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|. "e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 證明: 因為"e >0, $d=e /2, 當0<|x-1|<d 時, 有|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e , 所以. 例4. 證明. 分析: 注意函數在x=1是沒有定義的, 但這與函數在該點是否有極限并無關系. 當x¹1時, |f(x

51、)-A|=|x-1|. "e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要|x-1|<e . 證明: 因為"e >0, $d=e , 當0<|x-1|<d 時, 有| f(x)-A|=|x-1|<e ,所以. 單側極限: 若當x®x0- 時, f(x)無限接近于某常數A, 則常數A叫做函數f(x)當x®x0時的左極限, 記為或f(-)=A ;yy=x-1-11y=x+1xO 若當x®x0+ 時, f(x)無限接近于某常數A, 則常數A叫做函數f(x)當x®x0時的右極限, 記為或f(+)=A .

52、 討論:1.左右極限的e -d定義如何敘述? 2. 當x®x0時函數f(x)的左右極限與當x®x0時函數f(x)的極限之間的關系怎樣? 提示: 左極限的e -d 定義： Û"e >0, $d >0, "x: x0-d<x<x0, 有|f(x)-A|<e . Û"e >0, $d >0, "x: x0<x<x0+d , 有|f(x)-A|<e . Û且. 例5 函數當x®0時的極限不存在. 這是因為, , , . 2自變量趨于無窮大時函數

53、的極限 設f(x)當|x|大于某一正數時有定義. 如果存在常數A, 對于任意給定的正數e , 總存在著正數X, 使得當x滿足不等式|x|>X時, 對應的函數數值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e,則常數A叫做函數f(x)當x®¥時的極限, 記為或f(x)®A(x®¥). Û"e >0, $X>0, 當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e . 類似地可定義和. 結論: Û且.極限的定義的幾何意義y=f (x)AA-e-XO XxyA+e 例6. 證明. 分析: . &quo

54、t;e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 證明: 因為"e >0, $, 當|x|>X時, 有, 所以. 直線y=0 是函數的水平漸近線. 一般地, 如果, 則直線y=c稱為函數y=f(x)的圖形的水平漸近線. 二、函數極限的性質 定理1(函數極限的唯一性) 如果極限存在, 那么這極限唯一. 定理2(函數極限的局部有界性) 如果f(x)®A(x®x0), 那么存在常數M>0和d, 使得當0<|x-x0|<d時, 有|f(x)|£M. 證明 因為f(x)®A(x®x0), 所以對于e

55、 =1, $d>0, 當0<|x-x0|<d時, 有|f(x)-A|<e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|. 這就證明了在x0的去心鄰域x| 0<|x-x0|<d 內, f(x)是有界的. 定理3(函數極限的局部保號性) 如果f(x)®A(x®x0), 而且A>0(或A<0), 那么存在常數d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有f(x)>0(或f(x)<0). 證明: 就A>0的情形證明. 因為, 所以對于, $d &

56、gt;0, 當0<|x-x0|<d 時, 有ÞÞ>0. 定理3¢ 如果f(x)®A(x®x0)(A¹0), 那么存在點x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內, 有. 推論 如果在x0的某一去心鄰域內f(x)³0(或f(x)£0), 而且f(x)®A(x®x0), 那么A³0(或A£0). 證明: 設f(x)³0. 假設上述論斷不成立, 即設A<0, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內 f(x)<0, 這與f(x)³0的

57、假定矛盾. 所以A³0. 定理4(函數極限與數列極限的關系) 如果當x®x0時f(x)的極限存在, xn為f(x)的定義域內任一收斂于x0的數列, 且滿足xn ¹x0(nÎN+), 那么相應的函數值數列f(x n)必收斂, 且 . 證明 設f(x)®A(x®x0), 則"e >0, $d >0, 當0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|<e . 又因為xn®x0(n®¥), 故對d >0, $NÎN+, 當n>N時, 有|xn-x0|&

58、lt;d . 由假設, xn ¹x0(nÎN+). 故當n>N時, 0<|x n-x 0|<d , 從而|f(x n)-A|<e . 即 §1. 4 無窮小與無窮大 一、無窮小 如果函數f(x)當x®x0(或x®¥)時的極限為零, 那么稱函數f(x)為當x®x0(或x®¥)時的無窮小. 特別地, 以零為極限的數列xn稱為n®¥時的無窮小. 例如, 因為, 所以函數為當x®¥時的無窮小. 因為, 所以函數為x-1當x®1時的無窮小.

59、因為, 所以數列為當n®¥時的無窮小. 討論: 很小很小的數是否是無窮小？0是否為無窮小？ 提示: 無窮小是這樣的函數, 在x®x0(或x®¥)的過程中, 極限為零. 很小很小的數只要它不是零, 作為常數函數在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個常數本身, 不會為零. 無窮小與函數極限的關系: 定理1 在自變量的同一變化過程x®x0(或x®¥)中, 函數f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a, 其中a是無窮小. 證明: 設, "e >0 , $ d >0, 使當0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|<e . 令a=f(x)-A, 則a是x&#