1、第5章 定性和穩定性理論簡介 在19世紀中葉,通過劉維爾的工作,人們已經知道絕大多數的微分方程不能用初等積分方法求解.這個結果對于微分方程理論的發展產生了極大影響,使微分方程的研究發生了一個轉折.既然初等積分法有著不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是從微分方程本身來推斷其解的性質呢?定性理論和穩定性理論正是在這種背景下發展起來的.前者由法國數學家龐加萊(Poincaré,1854-1912)在19世紀80年代所創立，后者由俄國數學家李雅普羅夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所創立.它們共同的特點就是在不求出方程的解的情況下,直接根據微分方程本身的結構和

2、特點,來研究其解的性質.由于這種方法的有效性,近一百多年以來它們已經成為常微分方程發展的主流.本章對定性理論和穩定性理論的一些基本概念和基本方法作一簡單介紹.51 穩定性概念考慮微分方程                                  

3、60; (5.1)其中函數對和t(-,+)連續，對滿足局部李普希茲條件. 設方程(5.1)對初值(t0,x1)存在唯一解，而其它解記作.現在的問題是：當很小時，差的變化是否也很小?本章向量的范數取.  如果所考慮的解的存在區間是有限閉區間，那么這是解對初值的連續依賴性，第2章的定理2.7已有結論.現在要考慮的是解的存在區間是無窮區間，那么解對初值不一定有連續依賴性(見下面的例3)，這就產生了李雅普諾夫意義下的穩定性概念.如果對于任意給定的和都存在，使得只要滿足就有對一切tt0成立，則稱(5.1)的解是穩定的.否則是不穩定的.假設是穩定的，而且存在，使得只要滿足就有

4、則稱(5.1)的解是漸近穩定的.    為了簡化討論，通常把解的穩定性化成零解的穩定性問題.下面記,作如下變量代換.令                (5.2)則          于是在變換(5.2)下，將方程(5.1)化成      &

5、#160;      (5.3)其中.這樣關于(5.1)的解的穩定性問題就化為(5.3)的零解y=O的穩定性問題了.因此，我們可以在下文中只考慮(5.1)的零解x=O的穩定性，即假設，并有如下定義:定義5.1 若對任意和，存在，使當時有                         &#

6、160;        (5.4)對所有的成立，則稱(5.1)的零解是穩定的.反之是不穩定的.定義5.2若(5.1)的零解是穩定的，且存在1>0, 使當時有則稱(5.1)的零解是漸近穩定的.例1 考察系統 的零解的穩定性. 解對于一切，方程組滿足初始條件,的解為對任一，取，則當時，有故該系統的零解是穩定的.    然而，由于所以該系統的零解不是漸近穩定的.例2 考察系統的零解的穩定性.解在上，取初值為的解為：其中對任一，取，則當時，有故該系的零解是穩定的.又因為可見該系

7、統的零解是漸近穩定的. 例3 考察系統的零解的穩定性.    解方程組以為初值的解為其中. 由于函數et 隨t 的遞增而無限地增大. 因此,對于任意，不管取得怎樣小，只要t 取得適當大時，就不能保證小于預先給定的正數，所以該系統的零解是不穩的. 例4 考慮常系數線性微分方程組                     &

8、#160;                  (5.5)其中,A是n×n陣.證明，若A的所有特征根都具嚴格負實部，則(5.3)的零解是漸近穩定的.    證明 不失一般性，我們取初始時刻,設(t)是(5.5)的標準基本解矩陣，由第3章內容知滿足的解可寫成         

9、0;                        (5.6)由A的所有特征根都具負實部知                       &#

10、160;      (5.7)于是知存在t1>0，使t>t1時.從而對任意，取則當時，由(5.6)有,  (5.8)當t0,t1時, 由解對初值的連續相依性, 對上述，存在1 >0，當時,取，綜合上面討論知，當時有,即是穩定的.由(5.7)知對任意有，故是漸近穩定的.5.2李雅普諾夫第二方法上一節我們介紹了穩定性概念,但是據此來判明系統解的穩定性,其應用范圍是極其有限的.李雅普諾夫創立了處理穩定性問題的兩種方法:第一方法要利用微分方程的級數解,在他之后沒有得到大的發展;第二方法是在不求方程解的情況下,借助一

11、個所謂的李雅普諾夫函數 和通過微分方程所計算出來的導數的符號性質,就能直接推斷出解的穩定性,因此又稱為直接法.本節主要介紹李雅普諾夫第二方法.為了便于理解,我們只考慮自治系統(5.11)假設在上連續,滿足局部利普希茨條件,且.為介紹李雅普諾夫基本定理,先引入李雅普諾夫函數概念.定義5.3 若函數滿足,和都連續,且若存在,使在上,則稱是常正(負)的;若在上除外總有,則稱是正(負)定的;既不是常正又不是常負的函數稱為變號函數.通常我們稱函數為李雅普諾夫函數.易知:函數在平面上為正定的;函數 在平面上為負定的;函數在平面上為變號函數;函數 在平面上為常正函數.李雅普諾夫函數有明顯的幾何意義.首先看正

12、定函數.在三維空間中,是一個位于坐標面即上方的曲面.它與坐標面只在一個點,即原點接觸(圖5-1(a).如果用水平面(正常數)與相交,并將截口垂直投影到平面上,就得到一組一個套一個的閉曲線族 (圖5-1(b),由于連續可微,且,故在的充分小的鄰域中, 可以任意小.即在這些鄰域中存在值可任意小的閉曲線.對于負定函數可作類似的幾何解釋,只是曲面將在坐標面的下方.對于變號函數,自然應對應于這樣的曲面,在原點的任意鄰域,它既有在平面上方的點,又有在其下方的點.定理5.1 對系統(5.11),若在區域上存在李雅普諾夫函數滿足(1) 正定;(2) 常負,(a) (b)圖 5-1則(5.11)的零解是穩定的.

13、圖 5-2證明 對任意,記則由正定、連續和是有界閉集知由和連續知存在(),使當時, ,于是有時,(5.12)若上述不等式不成立,由和的連續性知存在,當時,而那么由的定義,有(5.13)另一方面,由條件(2)知在上成立,即時,自然有.這與(5.13)矛盾,即(5.12)成立. (圖5-2為n=2的情況.)例 1 考慮無阻尼線性振動方程(5.14)的平衡位置的穩定性.解 把(5.14)化為等價系統(5.15)(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作函數)有即正定, .于是由定理5.1 知(5.15)的零解是穩定的,即(5.14)的平衡位置是穩定的.引理 若是正定(或負定)的李雅普諾夫函數,且

14、對連續有界函數有則.證明由讀者自己完成.定理 5.2 對系統(5.11),若區域上存在李雅普諾夫函數滿足(1) 正定;(2) 負定,則(5.11)的零解漸近穩定.證明 由定理5.1 知(5.11)的零解是穩定的.取為定理5.1 的證明過程中的,于是當時,單調下降.若,則由唯一性知,自然有不妨設.由初值問題解的唯一性,對任意, 從而由的正定性知總成立,那么存在使假設,聯系到的單調性有對成立.從而由 知存在使時(5.16)成立.由條件(2)有故從(5.16)知對上述不等式兩端從到積分得該不等式意味著矛盾.故,即由于零解是穩定的,所以在上有界,再由引理知.定理證畢.例 2 證明方程組(5.17)的零

15、解漸近穩定.證明 作李雅普諾夫函數有在區域上正定,負定,故由定理5.2 知其零解漸近穩定. 最后,我們給出不穩定性定理而略去證明.定理 5.3 對系統(5.11)若在區域上存在李雅普諾夫函數滿足 (1)正定; (2) 不是常負函數,則系統(5.11)的零解是不穩定的.習 題 5.21. 對于方程組 試說明是正定的,而是常負的.2. 討論方程組 零解的穩定性.3. 討論自治系統零解的穩定性.5.3 平面自治系統的基本概念本節考慮平面自治系統(5.18)以下總假定函數在區域, 上連續并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 相平面、相軌線與相圖我們把平面稱為(5.18)的相平面,而把(5.18)的解

16、在平面上的軌跡稱為(5.18)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(5.18)的相圖.易于看出,解在相平面上的軌線,正是這個解在三維空間中的積分曲線在相平面上的投影.我們以后會看到,用軌線來研究(5.18)的通解常要比用積分曲線方便得多.下面通過一個例子來說明方程組的積分曲線和軌線的關系.例 1很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖5-3(a),它經過點. 當增加時,螺旋線向上方盤旋.上述解在平面上的軌線是圓它恰為上述積分曲線在平面上的投影. 當增加時,軌線的方向如圖5-3(b)所示.另外,易知對于任意常數,函數也是方程組的解.他的積分曲線是經過點()的螺旋線.但

17、是,它們與解有同一條軌線 (a) (b)圖 5-3同時,我們可以看出,的積分曲線可以由的積分曲線沿軸向下平移距離而得到.由于的任意性,可知軌線對應著無窮多條積分曲線.為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解其中,為任意常數.于是, 方程組的軌線就是圓族(圖5-3(b).特別,是方程的解,它的軌線是原點.5.3.2 平面自治系統的三個基本性質性質 1 積分曲線的平移不變性設是自治系統(5.18)的一個解,則對于任意常數,函數也是(5.18)的解.事實上,我們有恒等式由這個事實可以推出:將(5.18)的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(5.18)的積分曲線.從而它們所對應的軌線也相同.于

18、是,自治系統(5.18)的一條軌線對應著無窮多個解.性質 2 軌線的唯一性如果滿足初值解的存在與唯一性定理條件,則過相平面上的區域的任一點,(5.18)存在一條且唯一一條軌線.事實上,假設在相平面的點附近有兩條不同的軌線段和都通過點.則在空間中至少存在兩條不同的積分曲線段和(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們在相空間中的投影分別是和(見圖5-4,這是不妨設).現在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質 1知道,平移后得到的仍是系統(5.18)的積分曲線,并且它與至少有一個公共點.因此,利用解的唯一性,與應完全重合,從而它們在相空間中有相同的投影.另一方面,與在相空間顯然也有相同的投影,這

19、蘊含和在相平面中的點附近有相同的投影,而這與上面的假設矛盾. 圖 5-4性質 1和性質2說明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.此外,由性質1同樣還可知道,系統(5.18)的解的一個平移仍是(5.18)的解,并且它們滿足同樣的初值條件,從而由解的唯一性知因此,在(5.18)的解族中我們只須考慮相應于初始時刻的解,并簡記為, *性質 3 群的性質系統(5.18)的解滿足關系式(5.19)其幾何意義是:在相平面上,如果從點出發的軌線經過時間到達點,再經過時間到達點,那么從點出發的軌線經過時間也到達點.事實上,由平移不變性(性質 1), 是系統(5.

20、18)的解,而且易知它與解在時的初值都等于.由解的唯一性,這兩個解應該相等.取就得到(5.19).對于固定的,定義平面到自身的變換如下:.也就是把點映到由該點出發的軌線經過時間到達的點.在集合中引入乘法運算: 令.由(5.19)知.所以乘法運算在集合中是封閉的,而且滿足結合律,故二元組構成一個群.容易驗證,其單位元為,而的逆元為.這就是群性質名稱的由來.這個平面到自身的變換群也稱作由方程(5.18)所生成的動力系統.有時也把方程(5.18)就叫做一個動力系統.由此所開展的研究工作導致動力系統這個重要的研究方向.5.3.3 常點、奇點與閉軌現在考慮自治系統(5.18)的軌線類型.顯然, (5.1

21、8)的一個解所對應的軌線可分為自身不相交和自身相交的兩種情形.其中軌線自身相交是指,存在不同時刻使得.這樣的軌線又有以下兩種可能形狀:(1) 若對一切有, , 則稱為(5.18)的一個定常解.它所對應的積分曲線是空間中平行于軸的直線.對應此解的軌線是相平面中的一個點.我們稱為奇點(或平衡點).顯然是(5.18)的一個奇點的充分必要條件是(2) 若存在,使得對一切有則稱為(5.18)的一個周期解,T為周期.它所對應的軌線顯然是相平面中的一條閉曲線,稱為閉軌.由以上討論和(5.18)軌線的唯一性,我們有如下結論:自治系統(5.18)的一條軌線只可能是下列三種類型之一:(1) 奇點, (2) 閉軌,

22、 (3) 自不相交的非閉軌線.平面定性理論的研究目標就是:在不求解的情況下,僅從(5.18)右端函數的性質出發,在相平面上描繪出其軌線的分布圖,稱為相圖.如何完成這一任務呢?現在我們從運動的觀點給出(5.18)的另一種幾何解釋:如果把(5.18)看成描述平面上一個運動質點的運動方程,那么(5.18)在相平面上每一點確定了一個速度向量(5.20)因而,(5.18)在相平面上定義了一個速度場或稱向量場.而(5.18)的軌線就是相平面上一條與向量場(5.20)相吻合的光滑曲線.這樣積分曲線與軌線的顯著區別是: 積分曲線可以不考慮方向,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標明對應于時間增大時的運動

23、方向.進一步,在方程(5.18)中消去,得到方程(5.21)由(5.21)易見,經過相平面上每一個常點只有唯一軌線,而且可以證明: 常點附近的軌線拓撲等價于平行直線.這樣,只有在奇點處,向量場的方向不確定.因此,在平面定性理論中,通常從奇點入手,弄清楚奇點附近的軌線分布情況.然后,再弄清(5.18)是否存在閉軌,因為一條閉軌線可以把平面分成其內部和外部,再由軌線的唯一性,對應內部的軌線不能走到外部,同樣對應外部的軌線也不能進入內部.這樣對理解系統整體的性質會起很大的作用.習題 5.3通過求解,畫出下列各方程的相圖,并確定奇點的穩定性:(1)(2) (3)(4)5.4 平面定性理論簡介 

24、; 本節將對如何獲得平面系統(5.18)的整體相圖結構作一簡單介紹.     初等奇點附近的軌線分布前面我們已經得到，奇點是動力系統                                (5.18)的一類特殊軌線.它對于研究(5.

25、18)的相圖有重要的意義.為此，我們在本節先研究一類最簡單的自治系統平面線性系統的奇點與它附近的軌線的關系.平面線性系統的一般形式為                         (5.22)我們假定其系數矩陣為非奇異矩陣，即其行列式 (即A不以零為特征根).    顯然，(5.22)只有一個奇點(0，0).我們研究

26、(5.22)在(0，0)附近的軌線分布.因為(5.22)是可解的，我們的作法是先求出系統的通解，然后消去參數t，得到軌線方程.從而了解在奇點(0，0)附近的軌線分布情況.根據奇點附近軌線分布的形式，可以確定奇點有四種類型，即結點，鞍點，焦點和中心.為了討論問題方便，我們把方程寫成向量形式.令,則 此時方程組(5.22)可以寫成向量形式                     &

27、#160;              (5.23)    1. 系數矩陣為標準型的平面線性系統的奇點附近軌線分布    我們研究線性系統(5.23)在奇點(0，0)附近軌線分布的方法是，首先應用線性變換，把系統(5.23)化成標準型，并從化成標準型的方程中求出解來，確定其軌線分布，然后再回過頭來考慮原系統(5.23)在奇點附近的軌線分布.    根

28、據線性代數中關于矩陣的定理，存在非奇異矩陣T，使得（J 為約當標準型）.令,作代換,則于是系統(5.23)化成為                               （5.24）由線性變換的理論可知，標準型J的形式由系數矩陣A的特征根的情況決定：   

29、 (1) 特征根為相異實根，時，    (2) A的特征根為重根時，由A的初等因子的不同情形，A的標準型J可能有兩種，為方便計，寫成：或    (3) A的特征根為共軛復根時， (因，特征根不能為零).考察(5.24)，為了書寫方便，去掉上標，把(5.24)寫成                    

30、;             (5.24)下面就J的不同情況來研究(5.24)(即系統(5.24)的軌線分布.    (1)當 （）時，系統(5.24)可寫成純量形式                      &

31、#160;           (5.25)求它的通解，得                  ,       (5.26)消去參數t，得軌線方程         

32、;               （C為任意常數）        (5.27)這里假定|，即表示特征根中絕對值較大的一個(顯然，這不妨礙對一般性的討論，如|，則只要互換x軸和y軸).a)，同號這時由于，軌線(5.27)是拋物線型的(參看圖5-5及圖5-6).同時，由(5.26)知x軸的正、負半軸及y軸的正、負半軸也都是(5.25)的軌線.由于原點(0，0)是(5.25)的奇點以及軌線的唯一

33、性，軌線(5.27)及四條半軸軌線均不能過原點.但是由(5.26)可以看出，當0時，軌線在t時趨于原點(圖5-5)；當0時，軌線在t時趨于原點(圖5-6).另外，我們有于是，當0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t時趨于零，即軌線以x 軸為其切線的極限位置.當0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t時趨于零，即軌線以x 軸為其切線當t時的極限位置.如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-5的分布情形，我們就稱這奇點為穩定結點.因此，當時，原點O是(5.25)的穩定結點.      圖 5-5    &

34、#160;                        圖 5-6如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-6的分布情形，我們就稱這奇點為不穩定結點.因此，當0時，原點O是(5.25)的不穩定結點.b)，異號這時，由于，軌線(5.27)是雙曲線型的(參看圖5-7及圖5-8).四個坐標半軸也是軌線.先討論0的情形.由(5.26)易于看出當t時，動點(x, y)沿正、

35、負x半軸軌線趨于奇點(0，0)，而沿正、負y半軸軌線遠離奇點(0，0).而其余的軌線均在一度接近奇點(0，0)后又遠離奇點(圖5-7).       圖 5-7                              圖 5-8 

36、;   對0的情形可以類似地加以討論，軌線分布情形如圖5-8.    如果在某奇附近的軌線具有如圖5-7或圖5-8的分布情形，我們稱這奇點為鞍點.因此，當異號時，原點O是(5.25)的鞍點.(2)當時，把系統(5.24)寫成純量形式就得到                        &#

37、160;        (5.28)積分此方程，得通解                   ,        (5.29)消去參數t，得軌線方程y = Cx        

38、0;    (C為任意常數).根據的符號，軌線圖象如圖5-9和圖5-10.軌線為從奇點出發的半射線.    圖 5-9                     圖 5-10    如果在奇點附近的軌線具有這樣的分布，就稱這奇點為臨界結點.由通解(5.29)可以看出：當0時，軌線在t時趨近于

39、原點.這時，我們稱奇點O為穩定的臨界結點；當0時，軌線的正向遠離原點， 我們稱O為不穩定的臨界結點.當時，系統(5.24)的純量形式為它的通解為,消去參數t，得到軌線方程易于知道有關系,        圖 5-11                      圖 5-12所以當軌線接近原點時，以y軸為其切線的極

40、限位置.此外，正、負y半軸也都是軌線.軌線在原點附近的分布情形如圖5-11及圖5-12所示.如果在奇點附近軌線具有這樣的分布，就稱它是退化結點.當0時，軌線在t時趨于奇點，稱這奇點為穩定的退化結點；當0時，軌線在t時遠離奇點，稱這奇點為不穩定的退化結點.(3)當時，把系統(5.24)寫成純量形式                         &#

41、160;       (5.30)   我們來積分上述方程組.將第一個方程乘以x，第二個方程乘以y，然后相加，得或寫成因而得到或其次，對方程(5.30)第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得或寫成于是得或                     消去參數t，得到軌線的極坐標方程 

42、                              (5.31)如，則它為對數螺線族，每條螺線都以坐標原點O 為漸近點.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為焦點.    由于，所以當時，隨著t的無限增大，相點沿著軌線趨近于坐標原點，這時，稱原點是穩定

43、焦點(見圖5-13)，而當 時，相點沿著軌線遠離原點，這時，稱原點是不穩定焦點 (見圖5-14).圖 5-13圖 5-14如，則軌線方程(5.31)成為 或 它是以坐標原點為中心的圓族.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為中心.此時，由的符號來確定軌線方向.當0時，軌線的方向是逆時針的；當0時是順時針的(見圖5-15及圖5-16).   圖 5-15                   

44、;  圖 5-16綜上所述，方程組        (5.23)經過線性變換，可化成標準型            (5.24)由A的特征根的不同情況，方程(5.24)(亦即方程(5.24)的奇點可能出現四種類型：結點型，鞍點型，焦點型，中心型.2. 一般的平面常系數線性系統的奇點附近軌線分布上面講了系數矩陣為標準型的系統     

45、      (5.24)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況，現在回來研究一般的平面線性系統                              (5.23)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.   我們知道

46、，(5.22)可以從(5.24)經逆變換而得到，而且，由于T是非奇異變換，也是非奇異變換，因而也就是一個仿射變換，它具有下述不變性：   (1) 坐標原點不變；   (2) 直線變成直線； (3) 如果曲線 (x(t), y(t)當t(或t)時趨向原點，變換后的曲線，當t(或t)時也趨向坐標原點；  (4) 如果曲線(x(t), y(t)當t(或t)時，盤旋地趨向原點，變換后的曲線,當t(或t)時也盤旋地趨向原點.  (5) 閉曲線(x(t), y(t)經過變換后，所得曲線仍為閉曲線.

47、由此可見，方程(5.24)在各種情況下的軌線，經過線性變換后得到方程(5.23)的軌線，其結點型，鞍點型，焦點型，以及中心型的軌線分布是不變的.這就是軌線結構的不變性.并且，由于變換后軌線趨向原點的方向不變，所以結點、焦點的穩定性也不改變.于是，系統(5.23)的奇點O(0, 0)，當，根據A的特征根的不同情況可有如下的類型：    因為A的特征根完全由A的系數確定，所以A的系數可以確定出奇點的類型.因此，下面來研究A的系數與奇點分類的關系.方程(5.22)的系數矩陣的特征方程為或      &

48、#160;              為了書寫方便，令于是特征方程可寫為    特征根為    下面就分特征根為相異實根，重根及復根三種情況加以研究： (1) (i) (ii) (2) (3) 復數根的實部不為零，奇點為焦點復數根的實部為零，奇點為中心綜合上面的結論，由曲線，軸及軸把平面分成幾個區域，不同的區域，對應著不同類型的奇點(圖5-17).圖 5-17 

49、60;  5.4.2平面非線性自治系統奇點附近的軌線分布以上是面平線性系統(5.22)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.下面再根據上面的討論，介紹一點研究一般的平面系統        (5.18)的軌線在奇點附近的分布的方法.    我們不妨假設原點O(0, 0)是(5.18)的奇點，即P(0, 0)(0, 0)0.這并不失一般性.因為，如果()為(5.18)的一個奇點，只要作變換，就可以把奇點移到原點(0，0).   

50、 設(5.18)的右端函數P(x,y), Q(x, y)在奇點O(0,0)附近連續可微，并可以將(5.18)的右端寫成其中我們把平面線性系統                          (5.22)稱為一般平面自治系統(5.18)的一次近似.在條件的假設下，稱(0，0)為系統(5.18)的初等奇點，否則，稱它為高階奇點.(

51、5.22)的奇點的情況已討論清楚. 一個常用的手法是將(5.18)與(5.22)比較，對“攝動”及加上一定的條件，就可以保證對于某些類型的奇點，(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布情形與(5.22)的軌線分布情形同.我們只介紹如下的一個常見的結果而不加以證明.定理5.4如果在一次近似(5.22)中，有且O(0，0)為其結點(不包括退化結點及臨界結點)、鞍點或焦點，又與在O(0，0)的鄰域連續可微，且滿足             ，   &#

52、160; (5.32)則系統(5.18)的軌線在O(0，0)附近的分布情形與(5.22)的完全相同.     當O(0，0)為(5.22)的退化結點、臨界結點或中心時，條件(5.32)不足以保證(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布與(5.22)的軌線分布情形相同，還必須加強這個條件，我們不再列舉了.     極限環的概念為了說明極限環的概念，先看看下面的例子.例1  考察方程組         

53、60;                             (5.33)的軌線分布.    解 將方程（5.33）的第一個方程兩端乘以x，第二個兩端乘以y，然后相加得到         

54、                 (5.34)作極坐標變換，由，微分之，則得所以(5.34)可寫成或                            (5

55、.35)其次，將方程組(5.33)的第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得由，微分之，可知                 (5.36)于是原方程(5.33)經變換后化為                     

56、0;               (5.37)積分所得方程(5.37).易于看出，方程組(5.37)有兩個特解：r =0，  r =1其中r =0對應(5.33)奇點，而r =1對應于(5.33)的一個周期解，它所對應的閉軌線是以原點為中心以1為半徑的圓.進一步求方程組的通解，得 或為于是方程(5.33)的軌線分布如圖(5-18).    從方程組(5.33)的相圖上可看出，軌

57、線分布是這樣的：    (1) (0，0)為奇點，為一閉軌線.(2) 閉軌線的內部和外部的軌線，當t+時分別盤旋地趨近于該閉軌線.我們在5.3節的例1中也提到過閉軌線，但當時的閉軌線都是一族連續分布的閉軌線.而且，當時沒出現其他的軌線當t±時趨近于閉軌線的情況.因此，上例中的閉軌線以及它附近的軌線的分布情形，是一種新的結構.我們作如下的定義.圖 5-18定義5.4 設系統                                 (5.18)具有閉軌線C.假如在C充分小鄰域中，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當t或t時趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為(5.18)的一個極限環. 極限環C將相平面分成兩個區域：