1、P307 1.證明下列關系式：相對動量 （1）總動量 （2）總軌跡角動量 （3）總動能 （4）反之，有 （5）， （6）以上各式中，證： ， （17） ， （18）相對動量 （1）總動量 （2）總軌跡角動量 總動能 （4）從（17），(18)式可解出（5）式；從（1），(2)式可解出（6）式.P308 2.同上題，求坐標表象中、和的算符表示，解： （1）其中 ，而 ，同理， ；（利用上題（17）（18）式。）；仿此可設 （2）代入（1）中，得 （3） （4）只要將（3）、（4）式中的、以相應的算符代入即可。P308質量分別為 m,m的兩個粒子組成的體系，質心座標標為：= (1) r (2)試求

2、總動量及總角動量在, 表象中的算符表示。1. 解 （a）合動量算符。根據假設可以解出，令：（）（）設各個矢量的分量是，,和。為了計算動量的變換式先求對，等的偏導數： （5） （6）關于， 可以寫出與（5）（6）類似的式子，因而： =(b)總角動量=利用（3），（4），（5），（6）：=因而 P332 證明由此證明能級上滿布電子的情況下，電荷分布是各向同性的。（證明）題給的關系式是“球諧函數加法定理”，設想原來有一叁考系（xyz），以原點為中心的單位球面上有二點：考察下述諧函數積的總和工：（1）能夠證明，若將參考系施行一次旋轉后，對新座標來說該總和仍是不變的。按么正變換理論，若座標系x,y,z被

3、旋轉成為，原來的一個函數就被變成（2）當座標系進行變換時，總和工被變換成的結果，可用（3）代入（1）得到（4）因為旋轉B是一種么正變換，它應滿足，因而（5）結果有：（6）即I對旋轉是守恒的。現在我們這樣來選擇這種旋轉，使轉后的座標系里，P1點在Z1軸上，P2點則在X1 0 z1 座標面上，根據公式（課本）再利用得于是有：（7）（8）依據以上結論，假寫我們要計算有心力場中電子在核周圍形成的電荷密度分布，就可以按幾率密度一樣計算(§幾率密度隨角度的變化一段)徑向電荷密度P3386.5對于氫原子基態，計算。解：* 在求坐標系中，空間反演：（）。氫原子基態波函數為 （1）宇稱為偶。由于均為奇

4、宇稱算符，所以 （2）由于各向同性，呈球對稱分布，顯然有 （3）容易算出 （4） （5）因此 ， （6）， （7） （8）測不準關系的普遍結論是 （9）顯然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）規定的下限。求出氫原子基態波函數在動量表象中的表示式。利用所得結果，計算。用x表象中的氫原子波函數計算,并驗證測不準關系式。解：本題是三維問題，氫原子基態波函數用坐標表象時寫作： （1）但是玻爾半徑，將（1）代入三維的坐標，動量波函數變換式，此式是： (2)為使計算簡單，可選擇z軸與動量的瞬時方向重合，這樣將（2）中的用（1）式代入，進行積分，積分的次序是，r： = = = = = （3）其次

5、為了驗證氫原子的測不準關系，需要計算座標動量的平均值，計算與坐標有關的平均值時，用為波函數，反之計算動量平均值時，可用動量波函數：測不準關系的驗證，是通過一個指定方向（如x軸）的分量間關系： = = = (4)在計算動量有關平均值時，可采用動量相空間的球面極坐標參考系，設動量相空間直角坐標為，則球面極座標用表示， = （5） = (6)與p有關的積分可用替代入(6)式的第一道積分，得： = = 代入（6）得： =代入測不準關系式：6.8在動量表象中寫出氫原子的能量本征方程式，并證明角動量的各個分量均為守恒量。解：（一）建立動量表象的能量本征方程式，勢能先寫下坐標表象的薛氏方程式（直角坐標還是球

6、面極座標不分）：遍乘，并對坐標積分： （1）等號左方第一積分用二次分部積分中的加以下述福里哀變換，就得到動量表象的能量本征方程：（2）得：（3）式中（4）（二）核的計算：先作（4）式類似的計算，假設是個坐標表象的波函數，它的相應的動量表象函數是，則正逆兩種變換是：（5）（6）將拉普拉斯算符作用于兩邊，得：（7）根據（7）式寫出它的逆變換式，并且與（5）式對比，有：=（8）將（4）（5）二式比較知道只需在中作置換，再乘（9）因此我們最后得到動量表象的三維能量本征方程式，專用于庫侖場。 = （10） （三）動量表象中，角動量分量守恒的證明。有兩面種方法，或用直角坐標表示角動量算符，或用球面極座標表

7、示，用前者較為簡單，要證明角動量分量（例如）是守恒量，其必要條件是它可以和哈密頓算符對易，即： （11）這里，用動量表象書寫時，可以用直角坐標表標表象的式子加以適宜的置換來得到這種置換是：因而得到 （12）至于，的動量表象依類似方法。（10）式中的哈氏算符可從（10）看出： （13）右方第二項是“積分算符”，當它運算于時，就相當于將填入括號（ ）。設想對易算符作用在一個任意的動量表象的波函數上面： (14) 假使能證明I=0，則因為任意，我們便證明了（11），將（13）代入（14）=（15）分別計算動能與勢能這兩部分的對易算符,先計算動能部分的： = + (16)這證明了動能部份，是和角動量分

8、量相能相對易的。其次計算（15）式中與勢能有關部分的對易式，即（15）式第二個大括號內一式，能夠證明，括號內兩項相抵消，為此從第二項開始變形： = = (17)前一式的第一二個積分分別為對分動量和進行積分后，分別代入積分限，如果是個三維的平方可積函數，即當時，則在代入分限后被積函數也趨于零，只剩下三個積分： = = = = = (18)(18)式最前一式和最一式的關系相當于（15）式第二部分為零。因為是任意函數，因而說明是守恒量。同理可以證明，在動量表象的有心力問題中也是守恒的。6.9對于氫原子基態，求電子處于經典禁區（即）的幾率。解：氫原子基態波函數為 ，相應的能量 動能 是經典不允許區。由

9、上式解出為。因此，電子處于經典不允許區的幾率為（令）6.10利用氫原子能級公式，討論下列體系的能譜：（a）電子偶素（positronium，指束縛體系）的能譜（b）u原子（muonic atom）能譜（c）u子偶素（muonium，指束縛體系）的能譜解：由氫原子光譜理論，能級表達式為：, 。（a）電子偶素能級 ，（）（b）u原子能級 ，（）（c）u子偶素能級，（）6.10根據氫原子光譜理論，討論（1）“電子偶素”（指e+e-的束縛態）的能級。（2）介原子的能譜。（3）介子素（指+-e-束縛態）的能譜。解：（1）電子偶素（氬positronium）指低溫時超導現象中的導電媒介，即正負電子對，按類氫原子理論，氫的能級是由折合質量計算的，在正常氫原子情形，設質子質量m，則折合質量但在電子偶素情形，可用正電子代替氫核的質子，折合質量=（2）介原于是被氫核薦的-介子構成的原子，這種原子的折合質量是（1） 介子素是正電介子與電子結合成的體系（+e-束縛態），折合質量：基特爾等著：力學（伯克利物理學教程第一卷）中譯本，第九章，.396397.科學出版社（1979）的原子核突然發生衰變，核電荷變成，求衰變前原子中一個電子（軌跡上的電子）在衰變后仍然保持在新的原子的軌跡的幾率。解：由于原子核的衰