1、一、內容提要本章要求掌握絕對誤差、相對誤差、有效數字、誤差限的定義及其相互關系；掌握數值穩定性的概念、設計函數計算時的一些基本原則和誤差分析；熟練掌握向量和矩陣范數的定義及其性質。1誤差的基本概念和有效數字1）絕對誤差和相對誤差的基本概念設實數為某個精確值，為它的一個近似值，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱為誤差 當時，稱為的相對誤差在實際運算中，精確值往往是未知的，所以常把作為的相對誤差2）絕對誤差界和相對誤差界的基本概念設實數為某個精確值，為它的一個近似值，如果有常數，使得稱為的絕對誤差界，或簡稱為誤差界稱是的相對誤差界此例計算中不難發現，絕對誤差界和相對誤差界并不是唯一的，但是它們越小，說明

2、近似的程度越好，即的精度越好3）有效數字設實數為某個精確值，為它的一個近似值，寫成它可以是有限或無限小數的形式，其中是中的一個數字，為整數如果則稱為的具有位有效數字的近似值如果有位有效數字，則的相對誤差界滿足：。4）函數計算的誤差估計如果為元函數，自變量的近似值分別為，則其中，所以可以估計到函數值的誤差界，近似地有如果令，設的近似值分別為，其誤差界為和，取為之間的四則運算，則它們的誤差估計為，；，。數相加或減時，其運算結果的精度不會比原始數據的任何一個精度高對于兩個數作相減運算時，由于其相對誤差界：。如果和是兩個十分接近的數，即和兩個數十分接近，上式表明計算的相對誤差會很大，導致計算值的有效數

3、字的位數將會很少。對于兩個數作相除運算時，由于其相對誤差界：。從關系式中可以看出，如果很小，即很小，計算值的誤差可能很大。5）數值穩定性的概念、設計算法時的一些基本原則 算法的數值穩定性：一個算法在計算過程中其舍入誤差不增長稱為數值穩定。反之，成為數值不穩定。不穩定的算法是不能使用的。 在實際計算中應盡量避免出現兩個相近的數相減。 在實際計算中應盡力避免絕對值很小數作除數。 注意簡化運算步驟，盡量減少運算次數。多個數相加，應把絕對值小的數相加后，再依次與絕對值大的數相加。2向量和矩陣范數把任何一個向量或矩陣與一個非負實數聯系起來，在某種意義下，這個實數提供了向量和矩陣的大小的度量。對于每一個范

4、數，相應地有一類矩陣函數，其中每一個函數都可以看作矩陣大小的一種度量。范數的主要的應用：一、研究這些矩陣和向量的誤差估計。二、研究矩陣和向量的序列以及級數的收斂準則。1）向量范數定義存在（維實向量空間）上的一個非負實值函數，記為，若該函數滿足以下三個條件：即對任意向量和以及任意常數（實數域） （1）非負性，并且的充分必要條件為; （2）齊次性； （3）三角不等式則稱函數為上的一個向量范數常用三種的向量范數設任意維向量，（為向量的轉置）， 向量的1-范數， 向量的2-范數， 向量的-范數一般情況下，對給定的任意一種向量范數，其加權的范數可以表為，其中W為對角矩陣，其對角元作為它的每一個分量的權系

5、數。向量范數的連續性定理 上的任何向量范數均為的連續函數。向量范數的等價性定理 設和為上的任意兩種向量范數，則存在兩個與向量無關的正常數c1和c2，使得下面的不等式成立，其中. 2). 矩陣范數定義 存在（維復矩陣集合）上的一個非負實值函數，記為，對任意的均滿足以下條件： （1）非負性：對任意矩陣均有，并且的充分必要條件為;（2）齊次性：，；（3）三角不等式：,；（4）相容性：, ，則稱為上的矩陣范數。我們可定義如下的矩陣范數：，矩陣的-范數，矩陣的-范數（Frobenius）范數。（矩陣范數與向量范數相容性定義）對于一種矩陣范數和一種向量范數，如果對任意nn矩陣和任意n維向量x, 滿足，則稱

6、矩陣范數與向量范數是相容的。3）矩陣的算子范數定理已知上的向量范數，為nn矩陣，定義則是一種矩陣范數，且與已知的向量范數相容，稱之為矩陣的算子范數。三種常用的矩陣的算子范數；(列范數)(行范數) （譜范數）其中表示矩陣的最大特征值。對任何算子范數，單位矩陣的范數為1，即。可以證明： 任意給定的矩陣范數必然存在與之相容的向量范數；任意給定的向量范數必然存在與之相容的矩陣范數（如從屬范數） 一個矩陣范數可以與多種向量范數相容（如矩陣范數與向量-范數相容）；多種矩陣范數可以與一個向量范數相容（如矩陣范數和矩陣范數與向量范數相容）。從屬范數一定與所定義的向量范數相容，但是矩陣范數與向量范數相容卻未必有

7、從屬關系。（如，與向量、與向量相容，但無從屬關系）。并非任意的矩陣范數與任意的向量范數相容。4）矩陣范數的性質 設為矩陣空間的一種矩陣范數，則對任意的n階方陣均有 其中為方陣的譜半徑。注意：當時，。對于任給的0, 則存在上的一種算子范數（依賴矩陣和常數），使得對于上的一種算子矩陣范數，如果且1, 則可逆且二、典型例題分析例11：下列近似值的絕對誤差限均為0.005，問它們各有幾位有效數字？，解：現將近似值寫成標準形式：, , ,在直接根據有效數字定義得出，即有5位有效數字；，即有1位有效數字；，即無有效數字。例12：已知的相對誤差為，求的相對誤差。解：此題要利用函數計算的誤差估計，即取，則由，

8、可推出，故的相對誤差為。例13：此為減少運算次數達到避免誤差危害的例子利用3位算術運算求在處的值。表中給出了傳統的方法的計算的中間結果。在這里我們使用了兩種取值法：截斷法和舍入法。精確值104.487 111135.323 013位數值（截斷法）1041353位數值（舍入法）104135精確值：3位數值（截斷法）：3位數值（舍入法）：上述3位數值方法的相對誤差分別是，截斷法 ，舍入法作為另一種辦法，用秦九韶方法（嵌套法）可將寫為那么，3位數值（截斷法）：3位數值（舍入法）：則相對誤差分別是，（截斷法），（舍入法）可見使用秦九韶方法（嵌套法）已將截斷近似計算的相對誤差減少到原方法所得相對誤差的之

9、內。對于舍入近似計算則改進更大，其相對誤差已減少以上。多項式在求值之前總應以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是這種形式使得算術運算次數最小化。本例中誤差的減小是由于算術運算次數從4次乘法和3次加法減少到2次乘法和3次加法。減少攝入誤差的一種辦法是減少產生誤差的運算的次數。例14：已知近似值，均為有效數字，試估計如下算術運算的相對誤差。解：由已知，；。令，由函數運算的誤差估計式+從而，相對誤差可寫成若，則絕對誤差，相對誤差為：；若，則絕對誤差，相對誤差為：；若，則絕對誤差，相對誤差為：；這個例子說明絕對誤差有較大變化時，相對誤差相同。作為精確性的度量，絕對誤差可能引起誤解，而相對誤差由于考慮到了值

10、的大小而更有意義。例15：在中用圖表示下面的點集，并指出它們的共同性質。，解：這些點集的共同性質是：它們都是有界、閉的、凸的，關于原點對稱的。例16：其中表示的模此范數稱p-范數，而且，2范數為當，2時的范數。而當時，有。 證明：事實上，兩邊開次方得，由于，故。例17：證明為空間上向量范數。證明：（1）對任給維向量，若，則不全為零，故 （2）對任給，則（3） 對任給，則由Cauchy-Schiwatz不等式：可得, =。由向量范數的定義，為空間上的向量范數。例18設=，求、和。解：；注意到，=，令 得，從而。1 3習題1、填空題(1) 設,則=5,=3,=,=及的譜半徑=3。(2) ，則=19

11、,=12,=13(3) 記，判斷如下定義在上的函數是否為上的向量范數（填是或不是）.（是）；（不是）；（不是）。(4)使的近似值的相對誤差限不超過0.1，應取幾有效數字, =.2、證明 （1）； （2）3、設 x為上任一范數，是非奇異矩陣，定義=，證明：算子范數=。4、設為階非奇異矩陣，為階酉矩陣.證明：(1) ； (2) 5、已知，問以下近似值有幾位有效數字，相對誤差是多少？（1）, （2），（3）, （4）.6、給定方程，利用，求精確到五位有效數字的根。并求兩個根的絕對誤差界和相對誤差界。7. 在五位十進制計算機上求， 的和，使精度達到最高，其中。8. 在六位十進制的限制下，分別用等價的公

12、式（1） ； （2）計算的近似值，近似值分別為多少？求對數時相對誤差有多大？9. 若用下列兩種方法（1）， （2），計算的近似值，問那種方法能提供較好的近似值？請分析原因。10. 計算，取，直接計算f和利用下述等式；計算，那一個最好？11. 如何計算下列函數值才比較準確。 （1）； （2）；（3）充分大； （4）。1.4習題解答 1、解（1）有定義，= 3,= 5,=,=及= 3。(2) ，則= 19,= 12,= 13。(3)（是）；為給定向量1-范數的加權的范數，其中取對角矩陣，。（不是）；不滿足向量范數性質1；（不是）；不滿足向量范數性質1。(4) =。因，要是得相對誤差限不超過，即，則

13、時，有。2、只就（2）證明 ，由定義可得，從而，。3、首先，證明是一向量范數。事實上，1）因是非奇異矩陣，故，故時，且當時，于是，當且僅當時，=0成立；2）對，；3）。故是一向量范數。再，令，因非奇異，故與為一對一，于是4、證明：(1)，由算子范數的定義；證明：(2)，。此結論表明酉陣具有保2-范數的不變性。5、解：（1）由于，由有效數字定義可知，有2位有效數字；又，再由相對誤差界的公式，；（2）由于，由有效數字定義可知，有4位有效數字；又，再由相對誤差界的公式，；（3）由于，由有效數字定義可知，有2位有效數字；又，再由相對誤差界的公式，；（4）由于，由有效數字定義可知，有4位有效數字；又，再

14、由相對誤差界的公式，。6、給定方程，利用，求精確到五位有效數字的根。并求兩個根的絕對誤差界和相對誤差界。解：由二次方程求根公式知，。若利用，則近似根具有5位有效數字，而，只有2位有效數字。若改用則此方程的兩個近似根，均具有5位有效數字。它們的絕對誤差界和相對誤差界分別為：；。7，其中，計算機作加減法時，先將相加數階碼對齊，根據字長舍入，則與和在計算機上做和時，由于階碼升為5位尾數左移變成機器零，這便說明用小數做除數或用大數做乘數時，容易產生大的舍入誤差，應盡量避免若改變運算次序，先把相加，相加。再與相加。即8分析：由于，求的值應看成復合函數。先令，由于開方用六位函數表，則的誤差為已知，故應看成，由的誤差限求的誤差限。解：當時求，用六位開方表得，其具有3位有效數字。故。由，得，故。于是，。 若用公式，令，此時，則，其具有6位有效數字。故。而