1、計算方法課程教學大綱課程編號：學時： 54 學分： 3適用對象： 教育技術學專業先修課程： 高等數學、線性代數考核方式： 本課程考試以筆試為主70%，兼顧學生的平時成績30%。使用教材及主要參考書：使用教材：李慶揚 . 數值分析 ( 第四版 ) ,清華大學出版 ,2014 年。主要參考書：1. 朱建新 , 李有法 . 高等學校教材 : 數值計算方法 ( 第 3 版) , 高等教育出版社 ,2012 。2. 徐萃薇 , 孫繩武 . 計算方法引論 ( 第 4 版) , 高等教育出版社 ,2015 。一 課程的性質和任務計算方法是教育技術學專業學生的一門專業選修課。作為計算數學的一個重要分支，它是數

2、學科學與計算機技術結合的一門應用性很強的學科，本課程重點介紹計算機上常用的基本計算方法的原理和使用；同時對計算方法作適當的分析。教學任務：通過本課程的學習，要使學生具有現代數學的觀點和方法，并初步掌握處理計算機常用數值分析的構造思想和計算方法。同時，也要培養學生抽象思維和慎密概括的能力，使學生具有良好的開拓專業理論的素質和使用所學知識分析和解決實際問題的能力。二 教學目的與要求教學目的：通過學習使學生了解數值計算方法的基本原理。了解計算機與數學結合的作用及課程的應用性。為今后使用計算機解決實際問題中的數值計算問題打下基礎。通過理論教學達到如下基本要求。1了解誤差的概念2掌握常用的解非線性方程根

3、的方法3熟練掌握線性代數方法組的解法4熟練掌握插值與擬合的常用方法5掌握數值積分方法6了解常微分方程初值問題的數值方法三 學時分配序號章節課程內容學時1第一章緒論42第二章插值法103第三章曲線擬合與最小二乘法44第四章數值積分與數值微分105第五章線性方程組的直接方法86第六章解線性方程組的迭代法47第七章非線性方程求解108第八章常微分方程數值解法4合計54四 教學中應注意的問題本課程是一門理論性較強、內容較抽象的綜合課程，因此面授輔導或自學，將是不可缺少的輔助教學手段，教師在教學的過程中一定要注意理論結合實際，課堂教學并輔助上機實驗，必須通過做練習題和上機實踐來加深對概念的理解和掌握，熟

4、悉公式的運用，從而達到消化、掌握所學知識的目的。同時應注重面授輔導或答疑，及時解答學生的疑難問題。五 教學內容第一章緒論（誤差）基本內容 :第一節 數值分析研究的對象和特點第二節 數值計算的誤差1. 誤差的來源與分類2. 誤差與有效數字3. 數值運算的誤差估計第三節 誤差的定性分析與避免誤差的危害1. 病態問題與條件數2. 算法的數值穩定性3. 避免誤差危害的若干原則教學重點難點 :重點：數值運算的誤差估計。難點：誤差的定性分析與避免誤差的危害。教學建議 :了解數值分析的背景、對象與特點。理解誤差的來源與分類、有效數字、誤差估計、算法的數值穩定性與病態算法。熟練掌握與誤差相關的概念以及避免誤差

5、危害的若干原則。第二章 插值法基本內容 :第一節 引言第二節 拉格朗日插值1線性插值與拋物插值2拉格朗日插值多項式3插值余項、誤差估計第三節 均差與牛頓插值公式1均差及其性質2牛頓插值公式第四節 差分與等距節點插值公式1差分及其性質2等距節點插值公式第五節 埃爾米特插值第六節 分段低次插值1高次插值的病態性質2分段線性插值3分段三次埃爾米特插值第七節 樣條插值教學重點難點 :重點：插值與拋物插值、牛頓插值公式、等距節點插值公式、分段線性插值難點：插值余項、誤差估計、牛頓插值公式、樣條插值教學建議 :了解插值法的背景及其應用，掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進行插值的方法。明確理解等距節點插

6、值、埃爾米特插值和分段低次插值、插值余項、誤差估計。理解樣條插值。第三章曲線擬合的最小二乘法基本內容 :第一節函數逼近的基本概念1函數逼近2范數及其性質第二節曲線擬合的最小二乘法教學重點難點 :重點：曲線擬合的最小二乘法。難點：范數及其性質、曲線擬合的最小二乘法。教學建議 :掌握曲線擬合的最小二乘法。第四章數值積分與數值微分基本內容 :第一節引言1.數值求積的基本思想2.代數精確度的概念3.插值型的求積公式第二節牛頓 柯特斯公式1.柯特斯系數2.偶數階求積公式的代數精度3.幾種低階求積公式的余項第三節復化求積公式1.復化梯形公式2.復化拋物形求積公式第三節龍貝格求積公式第四節高斯求積公式第五節

7、數值微分中點方法和誤差分析插值型的求導公式利用數值積分求導教學重點難點 :重點：柯特斯系數、復化求積公式、數值微分。難點：龍貝格求積公式、高斯求積公式教學建議 :理解數值求積的基本思想、代數精度的概念、插值型的求積公式、龍貝格算法和用高斯公式進行數值積分。理解數值積分法以及幾種低階求積公式的余項使用。掌握牛頓 柯特斯公式、幾種低階求積公式（二階、三階）、復化求積法。理解數值微分方法。第五章解線性方程組的直接方法基本內容 :第一節引言與預備知識1. 向量和矩陣2. 特殊矩陣第二節 高斯消去法1. 高斯消去法2. 矩陣的三角分解第三節 高斯主元消去法1. 列主元消去法2. 高斯約當消去法第四節 矩

8、陣三角分解法1. 直接三角分解2. 平方根法第五節 向量和矩陣范數第六節 誤差分析教學重點難點 :重點：高斯主元消去法、直接三角分解難點：高斯消去法教學建議 :掌握高斯主元消去法以及三角分解法。了解矩陣范數、誤差分析。理解向量范數和平方根法。掌握高斯（主元）消去法以及三角分解法。第六章 解線性方程組的迭代法基本內容 :第一節引言第二節基本迭代法1 雅可比迭代法2 高斯塞德爾迭代法第三節 迭代法的收斂教學重點難點 :重點：雅可比迭代法、高斯塞德爾迭代法難點：迭代法的收斂教學建議 :掌握基本的迭代法（雅可比，高斯塞德爾）、了解迭代法的收斂性。第七章非線性方程求解基本內容 :第一節 方程求根與二分法

9、1引言2二分法第二節 迭代法及其收斂性1不動點迭代法2不動點的存在性與收斂性3局部收斂性與收斂階第三節 迭代收斂的加速方法1埃特金加速收斂方法2斯蒂芬森迭代法第四節 牛頓法1牛頓法及其收斂性2牛頓法應用舉例3簡化牛頓法與牛頓下山法4重根情形第五節 弦截法與拋物線法1弦截法2拋物線法第六節 解非線性方程組的牛頓迭代法。教學重點難點 :重點：牛頓法及其收斂性難點：二分法、牛頓法、弦截法及其應用教學建議 :理解迭代法的基本思想、迭代過程的收斂性、迭代過程的收斂速度、解非線性方程組的牛頓迭代法。理解迭代過程的加速原理、拋物線法。掌握二分法、牛頓法、弦截法。第八章常微分方程數值解法基本內容 :第一節 引言第二節 簡單的數值方法和基本概念1Euler 方法與后退 Euler 方法2梯形方法3單步法的局部截斷誤差與階4改進的 Euler 方法第三節 龍格 -庫塔方法第四節 單步法的收斂性與穩定性第五節 線性多步法教學重點難點 :重點：龍格 -庫塔方法、基于泰勒展開的構造方法難點：龍