1、 圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應用于物體內部結構圖像的檢測和觀察中，它是一種無損檢測技術。 關于圖像處理的一些基本內容，如對圖像的幾何處理，圖像的增強，還有復原等，均是從圖像到圖像，即輸入的原始數據是圖像，處理后輸出的仍是圖像。而圖像重建是從數據到圖像。 圖像重建的三種常用檢測模型：發射模型、反射模型 計算機層析成像（Computed Tomography, CT）是通過對物體進行不同角度的射線投影測量來獲取物體橫截面信息的成像技術。 CT的核心技術是由投影數據來重建圖像的理論，其實質是由掃描所得到的的投影數據來求出成像平面上每個點的衰減系數值。當強度為 的x-ray通過吸收率為

2、(x,y)的均勻吸收物體，由于均勻吸收，則I必是指數下降，則有0I0exp(y)dybaII0ln(y)dybaII0(x)(x)ln(x,y)dySIpI這里s表示射線經過的體內距離長度CT任意角度掃描0 (x) (x, )(x,y)ln()sIpdyI , x y (x, )p經坐標系旋轉變換后可得：而對于任意角度掃描，需要用旋轉坐標來描述問題，建立置于掃描系統之上的旋轉坐標系 ，即讓射線束與旋轉坐標系 的 軸平行：所以角每旋轉1度就可以取一組投影數據，可得到180組不同的投影。CT就是在收集各角度的投影數據后，利用重建算法處理得到物體的圖像。 , x y y是離散值，是測出值！ Rado

3、n變換是計算圖像在某一指定角度射線方向上的投影的變換方法。二維函數f(x,y)的投影是其在確定方向上的線積分，如下圖所示，二維函數f(x,y)在水平方向的線積分就是f(x,y)在y軸上的投影，二維函數f(x,y)在垂直方向的線性積分就是f(x,y)在x軸上的投影。由此，可以沿任意角度 計算函數的投影，計算圖像f(x,y)在任意角度的Radon變換。 密度函數在某一方向上的投影函數的一維傅立葉變換函數密度函數在某一方向上的投影函數的一維傅立葉變換函數是原密度函數的二維傅立葉變換函數在平面上沿同一方向是原密度函數的二維傅立葉變換函數在平面上沿同一方向且過原點的直線上值。且過原點的直線上值。1、在不

4、同的角度下取得足夠多的投影數據(Radon變換)2、將這些投影數據做一維的Fourier變換，那么變換后的這些數據將充滿整個(u,v)平面。（許多過原點成不同夾角的直線）3、也就是說，F(u,v)的全部值都為已知，那么我們將其做一次二維的Fourier逆變換就可以得到原始的衰減系數函數f(x,y)( , )( , )exp 2 ()f x yF u vjuxvy dudv2( cossin )0200( , )( , )( , )( cossin)dR(R) ( cossin)dRjxyjRf x yFed ddFedxyRdgxyR ( , )( , )exp 2 ()f x yF u vj

5、uxvy dudvcosusinv作坐標變換，令：可得出：2(R)( , )jRgFed 表示對投影函數的Fourier變換進行濾波變換，其中 是濾波函數。由傅立葉變換性質可知頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積運算來完成所以要實現對投影數據實現圖像重建，可以采取兩步：首先將投影數據和響應脈沖濾波器進行卷積，然后由式對不同旋轉角求和，就能實現圖像重建。這就是卷積法進行圖像重建的基本思路和方法。0( , )(R)(R)( cossin)dRf x ydghxyR所以：式中h(R)為濾波函數糾的空域形式反投影算法舉例 基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投

6、影后，在影像處進行疊加，從而推體出原圖像。 而濾波卻是要投影函數的一維Fourier加上權重因子。算法舉例113711152pxxxx222610146pxxxx3356787pxxxx4491011121pxxxx551611165pxxxx664710133pxxxx算法舉例根據反投影算法x1=p5 = 5x6=p2+p3+p5=18平均化處理，除以投影線數目xi=xi/6反投影重建后原像素值再除以投影線數，平均化斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內所有經過該點的射線投影之和的平均值123456偽跡 反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡原像素值再除以投影線數，平均化我們考慮孤立

7、點源反投影重建，中心點A經n條投影線投影后，投影值均為1：p1=p2=.=pn=1因此重建后而其他點均為1/n這類偽跡稱為星狀偽跡121(.)1Anfpppn 產生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點之上，包括原先像素值為零的點（其實就是投影數據少產生的！）(a)孤立點源(b)反投影重建圖像及星狀偽跡 濾波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本方法是：在某一投影角下取得了投影函數（一維函數）后，對此一維投影函數作濾波處理，得到一個經過修正的投影函數；然后再將此修正后的投影函數作反投影運算，得到所需的密度函數。 濾波

8、反投影法重建圖像有以下幾個步驟： （1）對某一角度下的投影函數作一維傅立葉變換； （2）對（1）的變換結果乘上一維權重因子； （3）對（2）的加權結果作一維逆傅立葉變換； （4）用（3）中得出的修正過的投影函數做直接反投影； （5）改變投影角度，重復（1）（4）的過程，直到完成全部180度的反投影。濾波函數的選取是濾波反投影法的關鍵問題 （1）R-L濾波函數 由于在頻域中用矩形函數截斷了濾波函數，在相應的空域中造成振蕩響應 ，重建的圖像質量也不夠滿意 0( )(/ 2)Hrect對應的頻域形式為：理想的濾波函數 它是在高頻的權重很大，低頻的權重很小，所以高頻噪聲就會很大，所以我們才要對其進行修

9、正（2）S-L濾波函數 與R-L濾波函數不同的是，S-L濾波函數它的關鍵是把頻域的陡峭截止改成緩慢截止。 用S-L濾波函數重建的圖像中振蕩相應較小，對含噪聲的數據重建出來的圖像質量也較R-L濾波函數重建的圖像質量要好。但是，S-L濾波函數重建的圖像在高頻響應方面不如R-L濾波函數好，這是因為S-L濾波函數在高頻段偏離了理想的濾波函數 對應的頻域形式為：00( )sin ()()22S LHcrect %P=imread(lena.jpg); P = phantom(256); %P= rgb2gray(O); R = radon(P,0:179); I0 = iradon(R,0:179,li

10、near,Ram-Lak);I1 = iradon(R,0:179,linear,Shepp-Logan);I2=iradon(R,0:179,linear,cosine);I3 = iradon(R,0:179,linear,none);subplot(2,3,1), imshow(P), title(Original)subplot(2,3,2), imshow(I0,), title(FBP R-L)subplot(2,3,3), imshow(I1,), title(FBP S-L)subplot(2,3,4), imshow(I2,), title(FBP cosine)subplot(2,3,5), imshow(I3,), title(Unfiltered BP)圖像的細節對應的是高頻部分，輪廓對應的是圖像的低頻部分，所以因為沒有濾波，細節部分恢復的不好，呈現很“模糊”的情況 一個典型實例： 在matlab圖像處理工具箱中，有一個phantom函數，可以用來創建頭部的剖視圖，首先創建一個頭部的256256剖視圖，然后分別計算3組不同的Ra