1、線性代數課程教學大綱一、使用說明（一）課程性質線性代數是高等學校經濟、管理類專業核心課程經濟數學基礎之一，是研究變量間線性關系的一門學科；它有著深刻的實際背景，在自然科學、社會科學、工程技術、軍事和工農業生產等領域中有廣泛的應用。線性代數作為一學期的課程，是為經濟類、管理類、工學類等非數學專業本科生開設的，制定大綱的原則是具有一定數學基礎的學生對該領域的基礎知識、背景有所了解，為進一步學習專業課打下堅實的基礎。本課程屬于專業基礎課。（二）教學目的隨著現代科學技術，尤其是計算機科學的發展，線性代數這門課程的作用與地位顯得格外重要。通過教學，使學生掌握線性代數的基本理論與方法，培養學生正確運用數學

2、知識來解決實際問題的能力，并為進一步學習后續課程及相關課程打好基礎。通過本課程的學習，使學生不僅能較好地掌握行列式、矩陣特有的分析概念，并在一定程度上掌握用行列式、矩陣解決問題的方法，而且能使他們對線性代數的基本概念、基本方法、基本結果有所了解，并能運用其解決實際問題中的一些簡單課題。（三）教學時數本課程共 68 學時， 4 學分。（四）教學方法本課程將采用課堂講授、多媒體課件等方法和形式。（五）面向專業經濟學、管理學各本科專業。二、教學內容第一章矩陣（一）教學目的與要求 教學目的 本章內容是線性代數理論的一個重要組成部分，通過學習n 階行列式的定義，培養學生的抽象概括能力與邏輯思維能力。矩陣

3、是線性代數的一個主要研究對象，是數學及其它科學技術的一個重要工具。它在本課程中起著承上啟下的作用，尤其是對以下幾章的學習有重要作用。 基本要求 1、熟練掌握矩陣加、減、乘法和數乘的運算法則，了解其經濟背景，熟練掌握矩陣的行列式的有關性質。2、了解矩陣分塊的原則，掌握分塊矩陣的運算法則。3、理解可逆矩陣的概念及其性質，會用伴隨矩陣求矩陣的逆，熟練掌握用初等行變換的方法求矩陣的逆。4、了解初等矩陣的概念及它們與矩陣初等變換的關系。5、理解 n 階行列式的定義及其性質。6、掌握用行列式的定義、性質和有關定理去計算較簡單的n 階行列式的方法。（二）教學內容矩陣，矩陣的運算，方陣的行列式，幾種特殊的矩陣

4、，分塊矩陣，逆矩陣，初等矩陣。教學重點和難點： n 階行列式定義；行列式按行（列）展開；矩陣乘法運算；逆矩陣的定義及其運算。第一節矩陣的概念一、引出矩陣概念的實際背景二、矩陣的概念1、矩陣的定義。2、矩陣的表示法。三、幾種特殊的矩陣1、對角矩陣。2、數量矩陣。3、上（下）三角矩陣。4、對稱矩陣與反對稱矩陣。第二節矩陣的運算一、矩陣的加法1、矩陣加法的定義。2、矩陣加法滿足的運算法則。二、數與矩陣乘法1、數與矩陣相乘的定義。2、數與矩陣相乘滿足的運算法則。三、矩陣的乘法1、矩陣與矩陣相乘的定義。2、矩陣與矩陣相乘滿足的運算法則及其計算要領。3、矩陣的冪。四、矩陣的轉置1、矩陣轉置的定義。2、矩陣

5、轉置滿足的運算法則。第三節方陣的行列式一、二階行列式1、二階行列式的引入。2、二階行列式的定義。二、 n 階行列式的定義1、余子式和代數余子式的概念。2、 n 階行列式的定義。3、 n 階行列式的簡單計算。三、行列式的性質1、行列式的五個性質、三個推論。2、行列式的按行（列）展開定理。四、行列式的計算1、三角形法。2、降階法。3、公式法。4、范德蒙（ Van der monde）行列式。5、數學歸納法。* 五、 Laplace 定理Laplace 定理（不證明）。第四節矩陣的分塊一、矩陣分塊的概念二、矩陣分塊的運算第五節逆矩陣一、逆矩陣的定義及其性質二、用伴隨矩陣計算逆矩陣第六節矩陣的初等變換

6、一、矩陣的初等變換與初等矩陣二、求逆矩陣的初等變換法第七節矩陣的秩一、矩陣秩的定義二、階梯形矩陣三、用初等變換求矩陣的秩（三）教學方法與形式采用課堂講授、多媒體課件等方法和形式。（四）教學時數20 學時。第二章線性方程組（一）教學目的與要求 教學目的 本章在理論上徹底解決了線性方程組有解的判定、解的個數與求法，它在理論上、方法上都是學習以后幾章的重要基礎，是本課程的重點內容之一。 基本要求 1、理解向量的概念；熟練掌握向量的加法和數乘運算。2、理解向量組的線性相關、線性無關、向量組的秩和矩陣的秩等概念；掌握求向量組的極大無關組和矩陣的秩的方法。3、掌握線性方程組有解的判定定理，了解線性方程組的

7、特解、導出組的基礎解系和一般解的關系。4、熟練掌握用矩陣初等變換的方法求線性方程組的一般解。（二）教學內容解線性方程組，矩陣的初等行變換，線性方程組有唯一解、無窮多解和無解的討論，齊次線性方程組有非零解的充分和必要條件；n 維向量，向量組的線性相關性，向量組的秩，向量組的極大線性無關組；矩陣的行秩與列秩，矩陣的秩，陣的秩與其子式的關系；初等變換求矩陣的秩；線性方程組解的一般理論，線性方程組有解判定定理，齊次線性方程組解的結構，非齊次線性方程組解的結構。教學重點和難點：矩陣的初等變換，線性方程組解的存在性及其解法。第一節線性方程組一、克拉默（ Cramer）法則1、克拉默（ Cramer）法則及

8、推論。2、克拉默（ Cramer）法則的應用。二、線性方程組的消元解法1、線性方程組的消元解法。2、線性方程組有解的判別定理。第二節向量及其線性運算一、 n 維向量的概念二、向量的加法和數乘運算三、 n 維向量空間第三節向量間的線性關系一、向量的線性組合1、向量的線性組合的概念。2、向量的線性表示的概念。二、線性相關與線性無關1、線性相關性的概念。2、線性相關、線性無關的一些結論。第四節向量組的秩一、向量組的極大線性無關組1、向量組的極大線性無關組的概念。2、向量組的等價。3、向量組的秩。二、向量組的秩與矩陣的秩的關系1、矩陣的行秩與列秩，矩陣的秩。2、矩陣的秩與其子式的關系。3、初等變換求矩

9、陣的秩。4、初等變換求向量組的極大線性無關組。第五節線性方程組解的結構一、齊次線性方程組解的結構1、齊次線性方程組解的性質。2、基礎解系。3、齊次線性方程組解的結構。二、非齊次線性方程組解的結構1、非齊次線性方程組解的性質。2、齊次線性方程組解的結構。（三）教學方法與形式采用課堂講授、多媒體課件等方法和形式。（四）教學時數18 學時。第三章線性空間與線性變換（一）教學目的與要求 教學目的 向量空間的理論是線性代數的主要內容，它的理論和方法在自然科學和工程技術的許多領域中有著廣泛的應用。 基本要求 1、了解向量空間的概念；知道Rn 的基、標準正交基、子空間及其維數的概念。知道向量在不同基下的過渡

10、矩陣與坐標變換。2、了解線性空間的基、坐標、內積、長度、正交的定義，掌握線性無關向量組的正交化方法。3、了解正交矩陣的定義，知道其主要性質。（二）教學內容Rn 的標準正交基，向量空間的基、坐標、內積、長度、正交，正交矩陣；線性空間的基，坐標，子空間及其維數。教學重點和難點：重點是線性空間的概念，向量空間的基、坐標、內積、長度、正交。難點是向量的正交化與正交矩陣。第一節Rn 的標準正交基一、 Rn 的標準正交基1、 Rn 的基與坐標。2、內積、長度、正交。3、 Rn 的標準正交基。4、施密特正交化方法。二、正交矩陣1、正交矩陣的定義。2、正交矩陣的性質。第二節線性空間一、線性空間的定義二、線性空

11、間的性質三、線性空間的維數、基與坐標四、基變換與坐標變換五、線性子空間（三）教學方法與形式采用課堂講授、多媒體課件等方法和形式。（四）教學時數8 學時。第四章矩陣的特征值和特征向量（一）教學目的與要求 教學目的 矩陣的特征值與特征向量是線性代數研究的一個主要對象，它對于研討向量空間中向量和向量之間、矩陣與矩陣的內在聯系起著重要的作用。 基本要求 1、了解矩陣特征值、特征向量等概念及有關性質。熟練掌握求矩陣特征值與特征向量的方法。2、了解相似矩陣的概念和矩陣相似于對角形矩陣的條件。3、掌握將實對稱矩陣化為對角陣的方法。（二）教學內容特征值與特征向量的定義；特征方程；特征值，特征向量的求法及有關性

12、質；矩陣的跡；相似矩陣的定義和性質；矩陣可對角化的條件；實對稱矩陣特征值的性質；對稱矩陣化為對角陣的方法。教學重點和難點：矩陣的相似、特征值、特征向量等基本概念，特征值、特征向量和矩陣可對角化的理論和方法。第一節矩陣的特征值和特征向量一、矩陣的特征值、特征向量的概念和計算方法1、特征值與特征向量的定義。2、特征多項式、特征方程。3、特征值和特征向量的簡單性質。4、特征值和特征向量的計算方法。二、特征值和特征向量的性質1、特征值和特征向量的性質。2、矩陣的跡。第二節相似矩陣與矩陣可對角化的條件一、相似矩陣的定義和性質1、相似矩陣的定義。2、相似矩陣的性質。二、矩陣可對角化的條件1、矩陣可對角化的

13、條件。2、矩陣可對角化的方法。三、矩陣的若爾當（ Jordan ）形簡介第三節實對稱矩陣的特征值和特征向量一、實對稱矩陣特征值的性質二、實對稱矩陣對角化的方法1、實對稱矩陣對角化的方法。2、實對稱矩陣對角化的典型問題。（三）教學方法與形式采用課堂講授、多媒體課件等方法和形式。（四）教學時數12 學時。第五章二次型（一）教學目的與要求 教學目的 二次型的理論起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的分類，是中學有關教材的深入與提高，也是線性代數的一個具體應用。 基本要求 1、了解二次型的定義；掌握二次型的矩陣表示方法。2、會用配方法化二次型為標準形；掌握用正交變換法化二次型為標準形的方法。3、了解正定二次型、正定矩陣的定義和有關性質。（二）教學內容二次型的定義，矩陣表示方法，二次型的標準形，二次型的規范形，正定二次型，正定矩陣的定義和有關性質。教學重點和難點：化二次型為標準形的方法，正定二次型、正定矩陣的定義和有關性質。第一節基本概念一、二次型及其矩陣1、二次型的定義。2、二次型的矩陣。3、二次型與實對稱矩陣之間的關系。二、矩陣合同1、合同的定義。2、合同的性質。第二節二次型的標準形與規范形一、二次型的標準形1、二次型為標準形的概念。2、用正交替換法化二次型為標準形。3、用配方法化二次型為標準形。4、用初等變換法化二次型為標準形。二、二次型的規范形1、規范形的概念。2、慣性定