1、圓錐曲線的參數方程圓錐曲線的參數方程二二主備：馮宗明 喻浩 徐洪燕 審核：牟必繼普通人成功并非靠天賦，而是靠把尋常的天資發普通人成功并非靠天賦，而是靠把尋常的天資發揮到不尋常的高度。揮到不尋常的高度。橢圓的參數方程橢圓的參數方程. 1例例1、如下圖，以原點為圓心，分別以、如下圖，以原點為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個圓，點為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點，過與小圓的交點，過點點A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點，過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當半徑求當半徑OA繞點繞點O旋轉時點旋轉時點M的軌跡參數方程的軌跡參數方程. OAMxyNB分析：點點M的

2、橫坐標與點的橫坐標與點A的橫坐標相同的橫坐標相同,點點M的縱坐標與點的縱坐標與點B的縱坐標相同的縱坐標相同. 而而A、B的坐標可以通過的坐標可以通過引進參數建立聯系引進參數建立聯系. 設設XOA=例例1、如下圖，以原點為圓心，分別以、如下圖，以原點為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個圓，點為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點，過與小圓的交點，過點點A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點，過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當半徑求當半徑OA繞點繞點O旋轉時點旋轉時點M的軌跡參數方程的軌跡參數方程. OAMxyNB解：設XOA=, M(x, y), 則A: (aco

3、s, a sin),B: (bcos, bsin),由已知:即為點M的軌跡參數方程. sinbycosax消去參數得:,bya12222x即為點M的軌跡普通方程.()為參數1 .參數方程 是橢圓的參 數方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數方程中，常數a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長. ab另外, 稱為離心角,通常規定參數的取值范圍是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點在 軸cos ,sin .xbYya焦點在 軸OAMxyNB知識歸納橢圓的標準方程:12222byax橢圓的參數方程中參數的幾何意義:)(sinbycosa為為參參數數 xxyO圓的標準方程:圓的參數方程: x

4、2+y2=r2)(sinycos為為參參數數 rrx的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數方程:是AOX=,不是MOX=. ABM92 圖圖.),:?(.,.,的的軌軌跡跡的的參參數數方方程程求求出出點點槽槽所所成成的的角角為為參參數數和和橫橫可可以以用用直直尺尺提提示示能能說說明明它它的的構構造造原原理理嗎嗎你你一一個個橢橢圓圓使使直直尺尺轉轉動動一一周周就就畫畫出出套套管管裝裝上上鉛鉛筆筆處處用用在在直直尺尺上上的的點點滑滑動動可可分分別別在在縱縱槽槽和和橫橫槽槽中中它它們們塊塊在在直直尺尺上上有有兩兩個個固固定定滑滑相相垂垂直直的的導導槽槽上上有有兩兩條條互互在在一一個個十十字字形形的的金金

5、屬屬板板所所示示如如圖圖它它的的構構造造一一種種器器械械橢橢圓圓規規是是用用來來畫畫橢橢圓圓的的探探究究MABMBA92 .,規工作原理規工作原理理解橢圓理解橢圓畫演示畫演示利用幾何畫板動利用幾何畫板動【練習1】把下列普通方程化為參數方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數方程化為普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx練習練習2：已知橢圓的參數方程為已知橢圓的參數方程為 ( 是是參數參數) ，則此橢圓的長軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），短

6、軸長為），短軸長為（ ），焦點坐標是（），焦點坐標是（ ），離心率是），離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3.,并求出最小值并求出最小值的距離最小的距離最小直線直線到到使點使點上求一點上求一點在橢圓在橢圓例例0102149122 yxMMyx因為橢圓的參數方程為解 為參數,sin,cos23 yx .sin,cos23的坐標為所以可設點M距離為到直線的得到點由點到直線的距離公式M,51043|sincos| d.的的實實驗驗作作取取最最大大值值和和取取最最小小值值51054535|sincos| |,cos|105510 .sin,cos5453000 滿足其中.,5

7、00取最小值當由三角函數性質知d .sinsin,coscos,5822593300 此時.,501025859的距離取最小值到直線點時位于當點所以 yxMM?,可可以以提提出出哪哪些些類類似似問問題題由由此此的的最最大大值值和和最最小小值值嗎嗎出出求求的的前前提提下下滿滿足足在在實實數數你你能能比比與與簡簡單單線線性性規規劃劃問問題題類類思思考考yxzyxyx214922 例例2、已知橢圓、已知橢圓 有一內接矩形有一內接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。221259xy:5cos ,3sinA解 設10cos,6sin106sincos30sin 2ADABS,ABC

8、D30所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX練習3:已知A,B兩點是橢圓 與坐標軸正半軸的兩個交點,在第一象限的橢圓弧上求一點P,使四邊形OAPB的面積最大.22941yx264132212360|cossin6 |2 sin()123,yxPABxyddP3322即 求 點到 線的 距 離 最 大 值線 AB的 方 程 為66所 以 當=時有 最 大 值 面 積 最 大4這 時 點的 坐 標 為 (, 2 ):,AB0ABP解 橢圓參數方程 設點P(3cos ,2sin ) S面積一定 需求 S最大即可練習41、動點、動點P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實數時，連接取一切實數時