1、- 1 - / 16本科畢業論文二階常微分方程的解法與其應用畢業論文（設計）原創性聲明畢業論文（設計）原創性聲明- 2 - / 16本人所呈交的畢業論文（設計）是我在導師的指導下進行的研本人所呈交的畢業論文（設計）是我在導師的指導下進行的研究工作與取得的研究成果。據我所知，除文中已經注明引用的容外，究工作與取得的研究成果。據我所知，除文中已經注明引用的容外，本論文（設計）不包含其他個人已經發表或撰寫過的研究成果。對本本論文（設計）不包含其他個人已經發表或撰寫過的研究成果。對本論文（設計）的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明論文（設計）的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明

2、確說明并表示意。確說明并表示意。 作者簽名：作者簽名： 日期：日期：畢業論文（設計）授權使用說明畢業論文（設計）授權使用說明本論文（設計）作者完全了解本論文（設計）作者完全了解*學院有關保留、使用畢業論文學院有關保留、使用畢業論文（設計）的規定，學校有權保留論文（設計）并向相關部門送交論文（設計）的規定，學校有權保留論文（設計）并向相關部門送交論文（設計）的電子版和紙質版。有權將論文（設計）用于非贏利目的的（設計）的電子版和紙質版。有權將論文（設計）用于非贏利目的的少量復制并允許論文（設計）進入學校圖書館被查閱。學校可以公布少量復制并允許論文（設計）進入學校圖書館被查閱。學校可以公布論文（設計

3、）的全部或部分容。的論文（設計）在解密后適用本規定。論文（設計）的全部或部分容。的論文（設計）在解密后適用本規定。 作者簽名：作者簽名： 指導教師簽名：指導教師簽名：日期：日期： 日期：日期：注意事項1.設計（論文）的容包括：- 3 - / 161）封面（按教務處制定的標準封面格式制作）2）原創性聲明3）中文摘要（300 字左右） 、關鍵詞4）外文摘要、關鍵詞5）目次頁（附件不統一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論） 、正文、結論7）參考文獻8）致9）附錄（對論文支持必要時）2.論文字數要求：理工類設計（論文）正文字數不少于 1 萬字（不包括圖紙、程序清單等） ，文科類論文正文字數不少于 1

4、.2 萬字。3.附件包括：任務書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復印件） 。4.文字、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體與大小符合要求，無錯別字，不準請他人代寫2）工程設計類題目的圖紙，要求部分用尺規繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應符合國家技術標準規。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準用徒手畫3）畢業論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印4）圖表應繪制于無格子的頁面上5）軟件工程類課題應有程序清單，并提供電子文檔5.裝訂順序1）設計（論文）2）附件：按照任務書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復印件）次序裝訂3）其它目 錄1 引言5 2

5、二階常系數常微分方程的幾種解法5 2.1 特征方程法52.1.1 特征根是兩個實根的情形6 - 4 - / 162.1.2 特征根有重根的情形6 2.2 常數變易法8 2.3 拉普拉斯變換法9 3 常微分方程的簡單應用103.1 特征方程法11 3.2 常數變易法133.3 拉普拉斯變換法144 總結與意義15 參考文獻16 二階常微分方程的解法與其應用摘要摘要：本文主要介紹了二階常系數微分方程的三種解法：特征方程法、常數變異法和拉普拉斯變換法，并著重討論了特征方程根為實根、復根與重根的情形。針對這三種解法的特點，分別將其應用到求解彈簧振子系統的振子的運動方程。- 5 - / 16關鍵詞：關鍵

6、詞：二階常微分方程;特征根法；常數變異法；拉普拉斯變換- 6 - / 16METHODSMETHODS FORFOR TWOTWO ORDERORDER ORDINARYORDINARY DIFFERENTIALDIFFERENTIAL EQUATIONEQUATION ANDAND ITSITS APPLICATIONAPPLICATIONAbstract:ThisAbstract:This paperpaper mainlymainly introducesintroduces threethree kindskinds ofof solutionsolution forfor twotw

7、o orderorder differentialdifferential equationequation withwith constantconstant coefficients:coefficients: thethe characteristiccharacteristic equationequation method,method, thethe methodmethod ofof variationvariation ofof constantconstant andand LaplasseLaplasse transformtransform method,method,

8、andand discussesdiscusses thethe characteristicscharacteristics ofof FangFang ChenggenChenggen isis thethe realreal root,root, complexcomplex rootsroots andand root.root. AccordingAccording toto thethe characteristicscharacteristics ofof thethe threethree solution,solution, werewere appliedapplied t

9、oto thethe equationsequations ofof motionmotion ofof vibratorvibrator forfor springspring oscillatoroscillator system.system.Keywords:Keywords:second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 1 引言引言數學發展的歷史告訴我們，300年來數學分析是數學的首要分支，而微分方

10、程又是數學分析的心臟，它還是數學分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產生的那天起，就是研究自然界變化規律、研究人類社會結構、生態結構和工程技術問題的強有力工具。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。常微分方程在很多學科領域有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。二階常系數常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術與力學和物理學中都有十分廣泛的應用。關于它的解結構己有十分完美的結論，但其求解方- 7 - / 16法卻各有不同，因此

11、.二階常系數線性微分方程的求解方法成為常微分方程研究的熱點問題之一。而本文正是在這一背景下對于二階常系數常微分方程的解法和應用做出研究。2 2 二階常系數常微分方程的幾種解法二階常系數常微分方程的幾種解法 通常來說，縱觀二階常系數常微分方程的解法來看，其中比較有代表性的是特征方程法、常數變易法、拉普拉斯變換法這三種解法，因為篇幅和個人能力有限，本文則選取這三種具備代表性的解法進行分析。2.1 特征方程法所謂特征方程，實際上就是為研究相應的數學對象而引入的一些等式，它因研究對象的不同而不同，包括數列特征方程，矩陣特征方程，微分方程特征方程，積分方程特征方程等等。 求微分方程的通解. 解 特征方程

12、的根,(1)若這是兩個不等實根,則該方程有兩個實值解,故通解為 （為任意常數）.(2)若這兩個根相等,則該方程有二重根,因此方程的通解具有形狀 （為任意常數）.(3)若這兩個根為共軛復根,則該方程的通解具有形狀 （為任意常數）.數學的許多公式與定理都需要證明,下面本文給出上面前兩個解答的理論依據.2.1.1 特征根是兩個實根的情形設是上面特征方程的兩個不相等的實根,從而相應的方程有如下兩個解, 我們指出這兩個解在上線性無關,從而它們能夠組成方程的基本解組.事實上,這時 , 而最后一個行列式是著名的德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于.由于假設,故此行列式不等于零,從而,于是 線性無關

13、,這就是所要證明的.而此方程的通解可表示為- 8 - / 16（其中為任意數）. 如果特征方程有復根,則因方程的系數是實常數,復根將成對共軛出現.設是一特征根,則也是特征根,因而與這對共軛復根對應的,方程有兩個復值解, . 根據定理可知,復值解的實部和虛部也是方程的解.這樣一來,對應于特征方程的一對共軛復根,我們可求的方程的兩個實值解.2.1.2 特征根有重根的情形 設特征方程有重根則眾所周知 , 先設,即特征方程有因子,于是 , 也就是特征方程的形狀為 ,而對應的方程變為. 易見它有個解1,而且它們是線性無關的.這樣一來,特征方程的重零根就對應方程的個線性無關的解1,.如果這個重根,我們作變

14、量變換,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!ttmmmmmmm mxyeeymyyy，可得 1111111()nntttnnnd ydyL yebb y eLy edtdt ,于是對應方程化為 , 其中仍為常數,而相應的特征方程為 , 直接計算易得- 9 - / 161111()()()11()( )tttttFeL eLeeGe ,因此 ,從而 ，,這樣,問題就化為前面討論過的情形了.2.2 常數變易法常數變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,常應用于一階線性微分方程的求解。在常數變易法中，通過將常數 C 放入當中就可以得到非齊次線 XU性方程的通解。它是拉格朗日十一年

15、的研究成果，我們所用僅是他的結論，并無過程。它是連接非齊次線性微分方程與相應的齊次線性微分方程的橋梁。對于二階常系數非線性常微分方程的解法,只要先求出其一個特解,再運用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程 的通解. 解 方程對應齊次方程為 ,其特征方程為 . 由于方程的通解等于其對應的齊次線性微分方程的通解與其自身的一個特解之和，而二階常系數齊次線性微分方程的通解我們已經研究過了,所以此處只需求出其一個特解. 若為上面方程的實根,則是方程的解.由常數變易法設的一個解為,代入原方程并化簡得,這是關于 的一階線性微分方程,其一個特解為,從而得上面方程的一個特解為- 10 - / 16. 若為上面

16、方程的復根,我們可以設且，則是方程的解，根據常數變易法可設其一個特解為，與情形 1 的解法類似得方程的一個特解為由于是特解,則積分常量可以都取零.2.3 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法是工程數學中常用的一種積分變換法，又名拉氏轉換法。拉氏變換法是一個線性變換法，可將一個有因數實數的函數轉換為)0(tt一個因數為復數 s 的函數。有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算并不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的

17、代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替常系數微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以與提供控制系統調整的可能性。常系數線性微分方程可以應用拉普拉斯變換法進行求解，這往往比較簡單。由積分.所定義的確定于復平面（）上的復變數的函數,稱為函數的拉普拉斯變換,我們稱為原函數,而稱為像函數. 拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數線性微分方程轉換成復平面的代數方程.通過一些代數運算,一般地再利用拉普拉斯變換表

18、,即可求出微分方程的解.方法十分簡單方便,為工程技術工作者所普遍采用.當然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函數必須是原函數。 求解方程 .- 11 - / 16 解 先使，將問題化為,再對新方程兩邊作拉普拉斯變換,得到,因此 ,查拉普拉斯變換表可得 ,從而 ,這就是所要求的解. 當然,求解二階或者更高階的常微分方程的方法還有很多,這里我們不能一一列出.然而我們利用上面的一些結論就可以解決下面的幾個物理問題了。3 3 常微分方程的簡單應用常微分方程的簡單應用為直觀的了解常微分方程的簡單應用，本文特選取動力學方程當中簡單應用常微分方程。通常來說，對于物理問題進行求解主要應該分

19、為以下三個步驟容：第一步是對問題進行分析從而做到對方程的建立并且對定解條件進行明確；第二步是對解的性質進行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性分析對解，對原來問題反著進行解釋，其中最為關鍵的因素就是要將方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時變化法。而在對阻尼振動進行研究的過程當中，對運動方程所進行的求解這一問題顯得比較復雜，以下就分別使用特征值法、常數變異法以與拉普拉斯變換法來求動力學方程。3.1 特征方程法例如在彈簧振子系統當中，測試出物體的阻尼系數，物體質量,該彈簧所具備的勁度系數,在此背景下，假設整個質點從靜止狀態開始逐步運動，求解彈簧振子的位移方程。 解：按

20、照牛頓的第二運動定律的結果可以得到 , （1） 或 , （2） - 12 - / 16相對來說振動系統這是之前給定的，其中的常量為，如果可以確定,那么以上的方程式可以轉變為：, （3）那么把所得到的數據代入公式（3）就可以得到 . （4）通過對以上公式的細致觀察和研究則可以得到對其進行求解能夠使用特征值法，那么在這里的特征方程可以表述為：,并且在這一特征方程當中包含有兩個分別根,這樣相對應的則(4)的兩個根分別為 （5）那么按照公式（5）進行計算可以得到固有角頻率數值為，在這時候阻尼系數值為,也就是說,則方程(5)的解可以表述為 （初始條件覺得數值）. （6）在公式（6）當中，所保持的屬于一個

21、非振動狀態，在如此背景之下，所存在的質點也只是在原先的不平衡位置逐步恢復到平衡狀態當中，質點并不具備周期振動的特征。而我們的關注點是在基于此種情況下,質點呈現出逐漸衰減的振動。可是正是由于受到阻尼作用的影響，不能夠長久的維持這種自由振動系統的振動，通常都會經歷著從振動的逐漸衰減延續至振動停止，為了保持震蕩持續不停的狀態，就必須不斷的從外界當中獲得必要的能量，學術界將這種因為受到外部持續作用而產生的振動歸納成為強迫振動。又例如案例：假如在以上的振動系統當中受到某個外力的作用，在公式當中表示為驅動力所具備的幅度值，則表示為驅動力所擁有的圓頻率，也就是驅動力所保持的頻率。解：在質點振動系統當中受到驅

22、動力的作用，那么就可以得到關于系統振動的方程為： , (7)或者還可以將上述公式改成. (8)在以上的公式當中表示為在單位質量上面所受到的外力幅值。 （7）與（8）這兩個方程式都屬于質點強迫振動方程。從本質上來看，這種強迫振動方程屬于二階的非齊次常微分方程，這個方程所得到的一般解也就是這個方程所得到的某- 13 - / 16一個特解和相對應的齊次方程一般解兩者之和。由于在之前的篇幅當中已經得到相對應的自由振動方程的一般解，這就導致其在的關鍵問題就是對于（8）當中的一個特解進行尋找，把所得到的數據代入到（8）當中就可以得到： , （9）在這里可以通過假設（9）有著這樣的特解，將這個特別往（9）當

23、中進行替代并且將其進行簡化之后得到(3324 )sin30(2433 )cos304cos30ABtABtt,按照比較同類項系數可以得到,這樣就可以進一步得到,根據以上所得到的結果沒那么原方程所存的通解就可以表述為 .在以上的公式當中，初始條件決定的數值，而其中的瞬態解是之前的兩項，瞬態項能夠對于整個系統的自由衰減振動進行有效描述，而所能夠起作用的只是在震動的開始階段，而當經歷比較長的時間之后，瞬態解所起到的影響則會逐漸的減弱并且在最后階段消失。穩態解則是之后的兩項，穩態解則是對于系統受到驅動力的作用之下進行強制振動的狀態進行描述，這主要是由于立足于恒定的幅值條件下，從而將這種狀態稱之為穩定振

24、動。從以上的公式可以得到，如果質點振動系統受到外力作用之后，整個系統有著比較復雜的振動狀態，這屬于穩態振動和自由衰減振動兩者的有機合成體，在這樣的振動狀態之下對于強迫振動當中逐步建立穩態振動的過程進行有效描述。如果經歷一定時間之后，就會消失瞬態振動，使得整個系統保持著穩態振動的狀態。3.2 常數變易法 從之前的分析當中可以了解到這屬于特征方程的實根，那么就可以得到這個屬于方程（9）當中的一個根，然后通過常數變異法設置，那么在這一過程當中也可以得到方程的一個解為，把數值代入到（9）當中并且進行簡化之后可以得到.以上屬于的一階線性微分方程,并且在方程當中一個特解為,從而得出（9）的一個特解為（取）

25、- 14 - / 16*5551284( )( (sin30cos30 )33tttx teetet dtc,從而可得（9）的通解.由之前可知 . （10）將數據代入公式中可以得到 . （11）按照自己所做的觀察可以發現，在進行求解的過程當中使用常數變異法，首要就是必須得出公式（11） ，而在之前的研究當中可以得到公式（11）齊次線性微分方程的特征方程為。這樣就可以進一步的假設特征方程的根為，那么這就是公式（11）的一個解。由常數變易法可設為.與情形 1 中的解法類似，將代入（12）并化簡得.由于是特解,則積分常量可以都取零。3.3 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運動定律可以得到以下的公式,將這一公式代入數據之后可以得到, (12)由于質點通過開設的靜止狀態逐步運動，那么就可以得到以下的公式 ,對方程(12)進行拉普拉斯變換,得到,即,- 15 - / 16把上式右端分解為部分分式2222101 310 3991011881239604(10)(10 3)(10)(10 3)sss,由拉普拉斯變換表可得1010101 399sin(10 3 )cos(10 3 )11881239604ttetet。4 4 總