1、導數導數一、導數公式一、導數公式（1） 、幾種常見的導數 ； ；C ()x ()R = ； ；()xa()xe = ；(log)ax ； ； (ln )x(sin )x(cos )x（2） 、導數運算規則： ； ；( )k f x ( )( )f xg x ； ； ( )( )f xg x( )( )f xg x練習：1、函數的導數為_ ；sin xyx2、若,則 2( )lnf xxx( )fx 3、若,則 ( )sincosf xx( )f二、函數的單調性二、函數的單調性在區間 A 單調遞增在 A 恒成立( ),( )f xC f x( )0fx在區間 A 單調遞減在 A 恒成立 ( ),

2、( )f xC f x( )0fx作用：可求單調區間作用：可求單調區間解不等式；或判定函數在某區間單調；解不等式；或判定函數在某區間單調；常識：看到單調，就想到導數大于等于（或小于等于）常識：看到單調，就想到導數大于等于（或小于等于）0 0 在給定區間恒成立在給定區間恒成立練習：1、已知在 R 上是減函數，則的取值范圍是 13)(23xxaxxfa2、設是函數的導函數，的圖象如圖（1）所示，則的圖象最( )fx( )f x( )yfx( )yf x有可能為（ ）3、已知函數, 的導函數的圖象如下圖，那么, 的圖( )yf x( )yg x( )yf x( )yg x象可能是（ ）4、已知對任意

3、實數，有，且時，x()( )()( )fxf xgxg x ，0 x ，則時（ ）( )0( )0fxg x，0 x A B ( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，C D( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，5、若在（1，4）內為減函數，在（6，+）上為增函數，1) 1(2131)(23xaaxxxf則的范圍是 a三、極值和極值點三、極值和極值點（1 1） 、極值點的判別法、極值點的判別法-函數草圖中的轉折點或導數草圖中與函數草圖中的轉折點或導數草圖中與軸的交點軸的交點x函數的草圖 導數的草圖注意點：如圖，是邊界點不是極值點；，是轉折點，才11( ,()xf

4、 x22(,()xf x33(,()xf x是極值點，其中極大值點，極小值點，22(,()xf x33(,()xf x是極大值，極小值；-極大值、極小值統稱極值-是函數值2()f x3()f x由于極值點由橫坐標決定，因此，常稱為極大值點，極小值點；所以求極值點-求2x3x橫坐標（即的解）( )0fx導數的草圖需畫軸；軸上方，導數大于 0，函數單調遞增；下方導數小于 0，函數單調xx2O1遞減-畫軸x（2 2） 、求函數、求函數的極值的方法：的極值的方法：( )yf x求出的根；利用導數草圖判定是極大值點還是極小值點；求出( ) 0fxixix極值（3 3）求最值的方法）求最值的方法求出的根；

5、作出導數草圖；作出函數草圖；計算比較得到最值( ) 0fxix練習：1、已知函數在區間上的最大值為，則 .3( )128f xxx 3,3MM 在的值域是 2( )2f xxx （，）2、已知。如圖，的圖象過點（1，0） ， （2，0） ，則下列32( )f xxbxcx( )yfx說法中：不正確的有時，函數取到極小值； 32x ( )yf x函數有兩個極值點；( )yf x； 6c 時，函數取到極大值；1x ( )yf x3、設，函數的圖像可能是（ ）ab2() ()yxaxbAobayxBobayxCobayxDobayx4、若函數在處取極值，則 2( )1xaf xx1x a 四、切線：

6、四、切線：曲線在處切線的斜率，切點，從而切線方( )yf x0 xx0()kfx00(,()xf x程為 -求切線方程求切線方程-關鍵在求切點的橫坐標關鍵在求切點的橫坐標000()()()yf xfxxx練習：1、設點是上一點，則在點處的斜率取值范圍是 ( , )P x y3yxxP 2、曲線在點（0,1）處的切線方程為 21xyxex3、已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為 23ln4xyx12 4、設 P 為曲線 C：上的點，且曲線 C 在點 P 處切線傾斜角的取值范223yxx圍為，則點 P 橫坐標的取值范圍為 04， 5、在曲線的切線中，則斜率最小的切線方程是 323610yx

7、xx6、若曲線 y=在點（0，b）處的切線方程式=0，則 ，2xaxb1xya b 7、若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍是 2f xaxInxya解答題解答題1、已知函數的圖象過點 P（0，2） ，且在點 M（1，f（1） ）處daxbxxxf23)(的切線方程為.076 yx（）求函數的解析式；（）求函數的單調區間.)(xfy )(xfy 2、已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大( )f x( )0f x (0,5),( )f x1,4值是 12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然數使得方程在區間( )f x,m37( )0f xx內有且只有兩個不等的實數根？若存在，

8、求出的值；若不存在，說明理由。( ,1)m mm3、設函數22( )21(0)f xtxt xtxt R，（）求的最小值；（）若對恒成立，求實數的取( )f x( )h t( )2h ttm (0 2)t，m值范圍4、已知函數的圖象過點（1，6） ，且函數的32( )2f xxmxnx( )( )6g xfxx圖象關于 y 軸對稱.()求 m、n 的值及函數 y=f(x)的單調區間；()若 a0，求函數 y=f(x)在區間（a-1,a+1）內的極值.5、已知函數 f（x）=的圖像在點 P（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-23213xxaxb()求實數 a,b 的值；()設 g（x）=f

9、(x)+是上的增函數。1mx2, （i）求實數 m 的最大值； (ii)當 m 取最大值時，是否存在點 Q，使得過點 Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由。6、已知函數1( )ln1()af xxaxaRx（I）當時，求曲線在點處的切線方程；（II）當時，討論1a ( )yf x(2,(2)f12a 的單調性( )f x7、已知函數，常數討論函數的奇偶性，并說明理0()(2xxaxxf)aR)(xf由；若函數在上為增函數，求的取值范圍)(xf2)x ，a8、已知函數求曲線在點處的切線方程；設，3( )f

10、 xxx( )yf x( )M tf t，0a 如果過點可作曲線的三條切線，證明：()ab，( )yf x( )abf a 9、已知函數42( )32(31)4f xaxaxx（I）當時，求的極值;（II）若在上是增函數，求的取值范圍16a ( )f x( )f x1,1a二階導數的意義二階導數的意義二階導數就是對一階導數再求導一次， 意義如下： （1）斜線斜率變化的速度，表示的是一階導數的變化率（2）函數的凹凸性。 （3）判斷極大值極小值。結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于零，而二階導數大于零時，為極小值點；當一階導數等于零，而二階導數小于零時，為極大值點；當一階導數、二階導

11、數都等于零時，為駐點。一、用二階導數判斷極大值或極小值定理一、用二階導數判斷極大值或極小值定理設設在在二階可導，且二階可導，且)(xf0 x0)(, 0)(00 xfxf(1) 若若，則，則在在取得極大值；取得極大值；0)(0 xf)(xf0 x(2) 若若，則，則在在取得極小值取得極小值0)(0 xf)(xf0 x例例 試問為何值時，函數在處取得極值？它取得極值？它axxaxf3sin31sin)(3x是極大值還是極小值？求此極值是極大值還是極小值？求此極值解解 xxaxf3coscos)(由假設知，從而有，即0)3(f012a2a又當時，且2axxxf3sin3sin2)( ，所以在處取得

12、極03)3( fxxxf3sin31sin2)(3x大值，且極大值3)3(f例例 求函數的極大值與極小值593)(23xxxxf解解 在上連續，可導令)(xf4 , 2 ，0)3)(1(3963)(2xxxxxf得 和，1x3x思考： 在取得極大還是極小值？在取得極大還是極小值？)(xf1x3x( )66fxx-1 代入二階導數表達式為-12，在取得極大值)(xf1x 3 代入二階導數表達式 12，在取得極小值3x三、函數圖像凹凸定理三、函數圖像凹凸定理 若在內二階可導，)(xf),(ba則曲線在內的圖像是凹曲線的充要條件是，)(xfy ),(ba0)( xf),(bax曲線在內的圖像是凸曲線

13、的充要條件是，。)(xfy ),(ba0)( xf),(baxooxxyy幾何的直觀解釋：如果如果一個函數 f(x)在某個區間 I 上有恒成立，那么在區間( )0fx I 上 f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。. 曲線的凸性曲線的凸性對函數的單調性、極值、最大值與最小值進行了討論，使我們知道了函數變化的大致情況但這還不夠，因為同屬單增的兩個可導函數的圖形，雖然從左到右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同如圖 11 中的曲線為向下凸，而圖 12 中的曲線為向上凸 圖 11 圖 121212()()()22f xf xxxf定義定義 4.5.1 設在內可導，若曲線位于其每點處切線的上方，)(xfy ),(ba)(xfy 則稱它為在內下凸(或上凹)；若曲線位于其每點處切線的下方，則稱它在),(ba)(xfy 內上凸(或下凹)相應地，也稱函數分別為內的下凸函數和上凸函數),(ba)(xfy ),(ba(通常把