1、第六章圖形的相似（相似三角形的性質(zhì)）一選擇題1如果兩個(gè)相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）A1：16B1：4C1：6D1：22ABC與DEF的相似比為1：4，則ABC與DEF的周長比為（）A1：2B1：3C1：4D1：163如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB，PQ相交于點(diǎn)M，則圖中QMB的正切值是（）AB1CD24已知ABCDEF，若ABC與DEF的相似比為，則ABC與DEF對(duì)應(yīng)中線的比為（）ABCD5在四邊形ABCD中，B=90，AC=4，ABCD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象

2、大致可以表示為（）ABCD6如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DEAC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若SDOE：SCOA=1：25，則SBDE與SCDE的比是（）A1：3B1：4C1：5D1：257如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為（）ABCD8如圖，在ABC中，AD和BE是高，ABE=45，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H，CBE=BAD有下列結(jié)論：FD=FE；AH=2CD；BCAD=AE2；SABC=4SADF其中正確的有（）A1個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4個(gè)9

3、如圖的ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點(diǎn)若B=90，AB=4，BC=3，EF=1，則BN的長度為何？（）A B C D10如圖，CB=CA，ACB=90，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FGCA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：AC=FG；SFAB：S四邊形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D411如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別是PB、PC（靠近點(diǎn)P）的三等分點(diǎn)，PEF、PDC、PAB的面積分別

4、為S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，A=60，則S1+S2+S3的值為（）ABCD412如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均相等網(wǎng)格中三個(gè)多邊形（分別標(biāo)記為，）的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上被一個(gè)多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部分線段長度之和記為m，水平部分線段長度之和記為n，則這三個(gè)多邊形中滿足m=n的是（）A只有B只有CD二填空題13如圖，已知ADEABC，若ADE=37，則B=14如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若SDEC=3，則SBCF=15如圖，ACBC，AC=BC，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，與ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接BE若SACE=，SBDE

5、=，則AC=16如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CDAB且CD=AB=4，連接AD，BEAB，AE是DAB的平分線，與DC相交于點(diǎn)F，EHDC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則HG的長為17如圖，已知ABC和DEC的面積相等，點(diǎn)E在BC邊上，DEAB交AC于點(diǎn)F，AB=12，EF=9，則DF的長是18如圖，在ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且DEBC，若ADE與ABC的周長之比為2：3，AD=4，則DB=19如圖，已知ABC、DCE、FEG、HGI是4個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點(diǎn)Q，則QI=20如圖，矩形EFGH內(nèi)接于A

6、BC，且邊FG落在BC上，若ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為21如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：EBG=45；DEFABG；SABG=SFGH；AG+DF=FG其中正確的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）三解答題22如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C，與直線AD交于點(diǎn)A（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）（1）求直線AD的解析式；（2）直線AD與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）

7、，當(dāng)BOD與BCE相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)23從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線（1）如圖1，在ABC中，CD為角平分線，A=40，B=60，求證：CD為ABC的完美分割線（2）在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割線，且ACD為等腰三角形，求ACB的度數(shù)（3）如圖2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割線，且ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長24如圖，ABC中，AB=AC，E在B

8、A的延長線上，AD平分CAE（1）求證：ADBC；（2）過點(diǎn)C作CGAD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，若AF=4，求BC的長25如圖，ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm（1）求證：AEHABC；（2）求這個(gè)正方形的邊長與面積26如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AED=B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且（1）求證：ADFACG；（2）若，求的值27如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E（1）求證：AG=CG（2）求證：AG2

9、=GEGF28如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t5），連接MN（1）若BM=BN，求t的值；（2）若MBN與ABC相似，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值29如圖，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)

10、針旋轉(zhuǎn)（090），得到圖，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明30【探究證明】（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明如圖1，矩形ABCD中，EFGH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H求證： =；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AMBN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若=，則的值為；【聯(lián)系拓展】（3）

11、如圖3，四邊形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值參考答案與解析一選擇題1（2016臨夏州）如果兩個(gè)相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）A1：16B1：4C1：6D1：2【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可【解答】解：兩個(gè)相似三角形的面積比是1：4，兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，兩個(gè)相似三角形的周長比是1：2，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵2（2016重慶）ABC與D

12、EF的相似比為1：4，則ABC與DEF的周長比為（）A1：2B1：3C1：4D1：16【分析】由相似三角形周長的比等于相似比即可得出結(jié)果【解答】解：ABC與DEF的相似比為1：4，ABC與DEF的周長比為1：4；故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵3（2016淄博）如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB，PQ相交于點(diǎn)M，則圖中QMB的正切值是（）AB1CD2【分析】根據(jù)題意得出PAMQBM，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，進(jìn)而求出答案【解答】解：連接AP，QB，由網(wǎng)格可得：

13、PAB=QBA=90，又AMP=BMQ，PAMQBM，=，AP=3，BQ=，AB=2，=，解得：AM=，tanQMB=tanPMA=2故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出PAMQBM是解題關(guān)鍵4（2016蘭州）已知ABCDEF，若ABC與DEF的相似比為，則ABC與DEF對(duì)應(yīng)中線的比為（）ABCD【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比解答【解答】解：ABCDEF，ABC與DEF的相似比為，ABC與DEF對(duì)應(yīng)中線的比為，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；

14、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比5（2016金華）在四邊形ABCD中，B=90，AC=4，ABCD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（）ABCD【分析】由DAHCAB，得=，求出y與x關(guān)系，再確定x的取值范圍即可解決問題【解答】解：DH垂直平分AC，DA=DC，AH=HC=2，DAC=DCH，CDAB，DCA=BAC，DAN=BAC，DHA=B=90，DAHCAB，=，=，y=，ABAC，x4，圖象是D故選D【點(diǎn)評(píng)】本題科學(xué)相似三角形的判定和性質(zhì)、相等垂直平分線性質(zhì)、反比例函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找

15、相似三角形，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，注意自變量的取值范圍的確定，屬于中考常考題型6（2016隨州）如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DEAC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若SDOE：SCOA=1：25，則SBDE與SCDE的比是（）A1：3B1：4C1：5D1：25【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到DOECOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到=， =，結(jié)合圖形得到=，得到答案【解答】解：DEAC，DOECOA，又SDOE：SCOA=1：25，=，DEAC，=，=，SBDE與SCDE的比是1：4，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵

16、7（2016瀘州）如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為（）ABCD【分析】過F作FHAD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根據(jù)勾股定理得到AF=2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性質(zhì)得到=，求得AM=AF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，求得AN=AF=，即可得到結(jié)論【解答】解：過F作FHAD于H，交ED于O，則FH=AB=2BF=2FC，BC=AD=3，BF=AH=2，F(xiàn)C=HD=1，AF=2，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=2=，AEFO，AM

17、EFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線，求出AN與AM的長是解題的關(guān)鍵8（2016丹東）如圖，在ABC中，AD和BE是高，ABE=45，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H，CBE=BAD有下列結(jié)論：FD=FE；AH=2CD；BCAD=AE2；SABC=4SADF其中正確的有（）A1個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4個(gè)【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=AB，證明ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延長FD=FE，正確

18、；證出ABC=C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，BAD=CAD=CBE，由ASA證明AEHBEC，得出AH=BC=2CD，正確；證明ABDBCE，得出=，即BCAD=ABBE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BCAD=AE2；正確；由F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，得出SABC=2SABD=4SADF正確；即可得出結(jié)論【解答】解：在ABC中，AD和BE是高，ADB=AEB=CEB=90，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)D=AB，ABE=45，ABE是等腰直角三角形，AE=BE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E=AB，F(xiàn)D=FE，正確；CBE=BAD，CBE+C=90，BAD+ABC=90

19、，ABC=C，AB=AC，ADBC，BC=2CD，BAD=CAD=CBE，在AEH和BEC中，AEHBEC（ASA），AH=BC=2CD，正確；BAD=CBE，ADB=CEB，ABDBCE，=，即BCAD=ABBE，AE2=ABAE=ABBE，BCAD=ACBE=ABBE，BCAD=AE2；正確；F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，SABC=2SABD=4SADF正確；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵9（2016臺(tái)灣）如圖的ABC中有一正方形

20、DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點(diǎn)若B=90，AB=4，BC=3，EF=1，則BN的長度為何？（）ABCD【分析】由DEBC可得求出AE的長，由GFBN可得，將AE的長代入可求得BN【解答】解：四邊形DEFG是正方形，DEBC，GFBN，且DE=GF=EF=1，ADEACB，AGFANB，由可得，解得：AE=，將AE=代入，得：，解得：BN=，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AE的長是解題的關(guān)鍵10（2016深圳）如圖，CB=CA，ACB=90，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF

21、為正方形，過點(diǎn)F作FGCA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：AC=FG；SFAB：S四邊形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【分析】由正方形的性質(zhì)得出FAD=90，AD=AF=EF，證出CAD=AFG，由AAS證明FGAACD，得出AC=FG，正確；證明四邊形CBFG是矩形，得出SFAB=FBFG=S四邊形CBFG，正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出ABC=ABF=45，正確；證出ACDFEQ，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出DFE=AD2=FQAC，正確【解答】解：四邊形ADEF為正方形，F(xiàn)AD=90，A

22、D=AF=EF，CAD+FAG=90，F(xiàn)GCA，C=90=ACB，CAD=AFG，在FGA和ACD中，F(xiàn)GAACD（AAS），AC=FG，正確；BC=AC，F(xiàn)G=BC，ACB=90，F(xiàn)GCA，F(xiàn)GBC，四邊形CBFG是矩形，CBF=90，SFAB=FBFG=S四邊形CBFG，正確；CA=CB，C=CBF=90，ABC=ABF=45，正確；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，正確；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，

23、證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵11（2016日照）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別是PB、PC（靠近點(diǎn)P）的三等分點(diǎn)，PEF、PDC、PAB的面積分別為S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，A=60，則S1+S2+S3的值為（）ABCD4【分析】先作輔助線DHAB于點(diǎn)D，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以求得DH的長度，從而可以求得平行四邊形的面積，然后根據(jù)三角形的相似可以求得S1+S2+S3的值【解答】解：作DHAB于點(diǎn)H，如右圖所示，AD=2，AB=2，A=60，DH=ADsin60=2=，SABCD=ABDH=2=6，S2+S3=SPBC=3，又E、F分別是

24、PB、PC（靠近點(diǎn)P）的三等分點(diǎn)，SPEF=3=，即S1=，S1+S2+S3=+3=，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，畫出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題12（2016江西）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均相等網(wǎng)格中三個(gè)多邊形（分別標(biāo)記為，）的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上被一個(gè)多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部分線段長度之和記為m，水平部分線段長度之和記為n，則這三個(gè)多邊形中滿足m=n的是（）A只有B只有CD【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求出各多邊形豎直部分線段長度之和與水平部分線段長度之和，再比較即可【解答】

25、解：假設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1，：m=1+2+1=4，n=2+4=6，則mn；在ACN中，BMCN，=，BM=，在AGF中，DMNEFG，=， =，得DM=，NE=，m=2+=2.5，n=+1+=2.5，m=n；由得：BE=，CF=，m=2+2+1+=6，n=4+2=6，m=n，則這三個(gè)多邊形中滿足m=n的是和；故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的判定和性質(zhì)，對(duì)于有中點(diǎn)的三角形可以利用三角形中位線定理得出；本題線段比較多要依次相加，做到不重不漏二填空題13（2016寧德）如圖，已知ADEABC，若ADE=37，則B=37【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得答案【解答】解：由ADEABC，若

26、ADE=37，得B=ADE=37，故答案為：37【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵14（2016梅州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若SDEC=3，則SBCF=4【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ADBC和DEFBCF，由已知條件求出DEF的面積，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方得到答案【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，DEFBCF， =（）2，E是邊AD的中點(diǎn)，DE=AD=BC，=，DEF的面積=SDEC=1，=，SBCF=4；故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形

27、的判定和性質(zhì)；掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比是相似比的平方15（2016遵義）如圖，ACBC，AC=BC，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，與ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接BE若SACE=，SBDE=，則AC=2【分析】設(shè)BC=4x，根據(jù)面積公式計(jì)算，得出BC=4BD，過E作AC，BC的垂線，垂足分別為F，G；證明CFEG為正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的邊長（用x表示），再利用已知的面積建立等式，解出x，最后求出AC=BC=4x即可【解答】解：過E作AC，BC的垂線，垂足分別為F，G，設(shè)BC=4x，則AC=4x，CE是ACB的平分

28、線，EFAC，EGBC，EF=EG，又SACE=，SBDE=，BD=AC=x，CD=3x，四邊形EFCG是正方形，EF=FC，EFCD，=，即=，解得，EF=x，則4xx=，解得，x=，則AC=4x=2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等、角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵16（2016山西）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CDAB且CD=AB=4，連接AD，BEAB，AE是DAB的平分線，與DC相交于點(diǎn)F，EHDC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則HG的長為3【分析】根據(jù)AB=CD=4、C為線段AB的中點(diǎn)可得BC=AC=2、A

29、D=2，再根據(jù)EHDC、CDAB、BEAB得EHAC、四邊形BCGH為矩形，BC=GE=2，繼而由AE是DAB的平分線可得DAE=HEA即HA=HE，設(shè)GH=x得HA=2+x，由DHGDAC得=，列式即可求得x【解答】解：AB=CD=4，C為線段AB的中點(diǎn)，BC=AC=2，AD=2，EHDC，CDAB，BEAB，EHAC，四邊形BCGH為矩形，HEA=EAB，BC=GE=2，又AE是DAB的平分線，EAB=DAE，DAE=HEA，HA=HE，設(shè)GH=x，則HA=HE=HG+GE=2+x，EHAC，DHGDAC，=，即=，解得：x=3，即HG=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、平行線

30、的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例且表示出各邊長度是關(guān)鍵17（2016舟山）如圖，已知ABC和DEC的面積相等，點(diǎn)E在BC邊上，DEAB交AC于點(diǎn)F，AB=12，EF=9，則DF的長是7【分析】根據(jù)題意，易得CDF與四邊形AFEB的面積相等，再根據(jù)相似三角形的相似比求得它們的面積關(guān)系比，從而求DF的長【解答】解：ABC與DEC的面積相等，CDF與四邊形AFEB的面積相等，ABDE，CEFCBA，EF=9，AB=12，EF：AB=9：12=3：4，CEF和CBA的面積比=9：16，設(shè)CEF的面積為9k，則四

31、邊形AFEB的面積=7k，CDF與四邊形AFEB的面積相等，SCDF=7k，CDF與CEF是同高不同底的三角形，面積比等于底之比，DF：EF=7k：9k，DF=7故答案為：7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)用割補(bǔ)法計(jì)算面積18（2016樂山）如圖，在ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且DEBC，若ADE與ABC的周長之比為2：3，AD=4，則DB=2【分析】由DEBC，易證ADEABC，由相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長，進(jìn)而可求出DB的長【解答】解：DEBC，ADEABC，ADE與ABC的周長之比為2：3，AD：AB=2：3，AD=4，AB=6，DB=ABAD

32、=2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段（包括對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線等）的比等于相似比，面積比等于相似比的平方19（2016黃岡）如圖，已知ABC、DCE、FEG、HGI是4個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點(diǎn)Q，則QI=【分析】由題意得出BC=1，BI=4，則=，再由ABI=ABC，得ABICBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得=，求出AI，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到ACB=FGE，于是得到ACFG，得到比例式=，即可得到結(jié)果【解答】解：ABC、DCE、FEG是三個(gè)全等的等腰三角

33、形，HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，=， =，=，ABI=ABC，ABICBA；=，AB=AC，AI=BI=4；ACB=FGE，ACFG，=，QI=AI=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段定理，以及三角形相似的判定，正確理解ABCDEF，ACDEFG是解題的關(guān)鍵20（2016安順）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于ABC，且邊FG落在BC上，若ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為【分析】設(shè)EH=3x，表示出EF，由ADEF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為EH的長【

34、解答】解：如圖所示：四邊形EFGH是矩形，EHBC，AEHABC，AMEH，ADBC，設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=ADEF=22x，解得：x=，則EH=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵21（2016安徽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：EBG=45；DEFABG；SABG=SFGH；AG+DF=FG其中正確的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）【分析】由折疊

35、性質(zhì)得1=2，CE=FE，BF=BC=10，則在RtABF中利用勾股定理可計(jì)算出AF=8，所以DF=ADAF=2，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=CDCE=6x，在RtDEF中利用勾股定理得（6x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折疊性質(zhì)得3=4，BH=BA=6，AG=HG，易得2+3=45，于是可對(duì)進(jìn)行判斷；設(shè)AG=y，則GH=y，GF=8y，在RtHGF中利用勾股定理得到y(tǒng)2+42=（8y）2，解得y=3，則AG=GH=3，GF=5，由于A=D和，可判斷ABG與DEF不相似，則可對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形面積公式可對(duì)進(jìn)行判斷；利用AG=3，GF=5，DF=2可對(duì)進(jìn)行判斷【解答】解：BC

36、E沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，1=2，CE=FE，BF=BC=10，在RtABF中，AB=6，BF=10，AF=8，DF=ADAF=108=2，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=CDCE=6x，在RtDEF中，DE2+DF2=EF2，（6x）2+22=x2，解得x=，ED=，ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，3=4，BH=BA=6，AG=HG，2+3=ABC=45，所以正確；HF=BFBH=106=4，設(shè)AG=y，則GH=y，GF=8y，在RtHGF中，GH2+HF2=GF2，y2+42=（8y）2，解得y=3，AG=GH=3，GF=5，A=D， =， =，ABG與DEF

37、不相似，所以錯(cuò)誤；SABG=63=9，SFGH=GHHF=34=6，SABG=SFGH，所以正確；AG+DF=3+2=5，而GF=5，AG+DF=GF，所以正確故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合題：熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定方法；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長三解答題22（2016廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C，與直線AD交于點(diǎn)A（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）（1）求直線AD的解析式；（2）直線AD與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)BOD與BCE相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【分析】（1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，用待定

38、系數(shù)法將A（，），D（0，1）的坐標(biāo)代入即可；（2）由直線AD與x軸的交點(diǎn)為（2，0），得到OB=2，由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到或，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，將A（，），D（0，1）代入得：，解得：故直線AD的解析式為：y=x+1；（2）直線AD與x軸的交點(diǎn)為（2，0），OB=2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），OD=1，y=x+3與x軸交于點(diǎn)C（3，0），OC=3，BC=5BOD與BEC相似，或，=或，BE=2，CE=，或CE=，BCEF=BECE，EF=2，CF=1，E（2，2），或（3，）【點(diǎn)評(píng)】本

39、題考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵23（2016寧波）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線（1）如圖1，在ABC中，CD為角平分線，A=40，B=60，求證：CD為ABC的完美分割線（2）在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割線，且ACD為等腰三角形，求ACB的度數(shù)（3）如圖2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割線，且ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求

40、完美分割線CD的長【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明ABC不是等腰三角形，ACD是等腰三角形，BDCBCA即可（2）分三種情形討論即可如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖3中，當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖4中，當(dāng)AC=CD時(shí)，分別求出ACB即可（3）設(shè)BD=x，利用BCDBAC，得=，列出方程即可解決問題【解答】解：（1）如圖1中，A=40，B=60，ACB=80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACD=BCD=ACB=40，ACD=A=40，ACD為等腰三角形，DCB=A=40，CBD=ABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割線（2）當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖2，ACD=A=48，BDCBCA，

41、BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=96當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖3中，ACD=ADC=66，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=114當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖4中，ADC=A=48，BDCBCA，BCD=A=48，ADCBCD，矛盾，舍棄ACB=96或114（3）由已知AC=AD=2，BCDBAC，=，設(shè)BD=x，（）2=x（x+2），x0，x=1，BCDBAC，=，CD=2=【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論思想，屬于中考常考題型24（2016泰州）如圖，ABC中，AB=AC，E在BA的延長線上，AD平分CAE

42、（1）求證：ADBC；（2）過點(diǎn)C作CGAD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，若AF=4，求BC的長【分析】（1）由AB=AC，AD平分CAE，易證得B=DAG=CAG，繼而證得結(jié)論；（2）由CGAD，AD平分CAE，易得CF=GF，然后由ADBC，證得AGFBGC，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案【解答】（1）證明：AD平分CAE，DAG=CAG，AB=AC，B=ACB，CAG=B+ACB，B=CAG，B=DAG，ADBC；（2）解：CGAD，AFC=AFG=90，在AFC和AFG中，AFCAFG（ASA），CF=GF，ADBC，AGFBGC，GF：GC=AF：BC=1：2，BC=2AF=24=8

43、【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)注意證得AGFBGC是關(guān)鍵25（2016懷化）如圖，ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm（1）求證：AEHABC；（2）求這個(gè)正方形的邊長與面積【分析】（1）根據(jù)EHBC即可證明（2）如圖設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設(shè)正方形邊長為x，再利用AEHABC，得=，列出方程即可解決問題【解答】（1）證明：四邊形EFGH是正方形，EHBC，AEH=B，AHE=C，AEHABC（2）解：如圖設(shè)AD

44、與EH交于點(diǎn)MEFD=FEM=FDM=90，四邊形EFDM是矩形，EF=DM，設(shè)正方形EFGH的邊長為x，AEHABC，=，=，x=，正方形EFGH的邊長為cm，面積為cm2【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對(duì)于高的比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型26（2016杭州）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AED=B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且（1）求證：ADFACG；（2）若，求的值【分析】（1）欲證明ADFACG，由可知，只要證明ADF=C即可（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到=，由此即可證明【解

45、答】（1）證明：AED=B，DAE=DAE，ADF=C，=，ADFACG（2）解：ADFACG，=，又=，=，=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題中考常考題型27（2016大慶）如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E（1）求證：AG=CG（2）求證：AG2=GEGF【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ABCD，AD=CD，ADB=CDB，推出ADGCDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到EAG=DCG，等量代換得到EAG=F，求得AEGFGA

46、，即可得到結(jié)論【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形，ABCD，AD=CD，ADB=CDB，F(xiàn)=FCD，在ADG與CDG中，ADGCDG，EAG=DCG，AG=CG；（2）ADGCDG，EAG=F，AGE=AGE，AEGFGA，AG2=GEGF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵28（2016梅州）如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t5），連接MN（1）

47、若BM=BN，求t的值；（2）若MBN與ABC相似，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值【分析】（1）由已知條件得出AB=10，由題意知：BM=2t，由BM=BN得出方程，解方程即可；（2）分兩種情況：當(dāng)MBNABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；當(dāng)NBMABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）過M作MDBC于點(diǎn)D，則MDAC，證出BMDBAC，得出比例式求出MD=t四邊形ACNM的面積y=ABC的面積BMN的面積，得出y是t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果【解答】解：（1）在RtABC中，ACB=

48、90，AC=5，BAC=60，B=30，AB=2AC=10， 由題意知：BM=2t，BM=BN，解得：（2）分兩種情況：當(dāng)MBNABC時(shí)，則，即，解得：當(dāng)NBMABC時(shí)，則，即，解得：綜上所述：當(dāng)或時(shí)，MBN與ABC相似（3）過M作MDBC于點(diǎn)D，則MDAC，BMDBAC，即，解得：MD=t設(shè)四邊形ACNM的面積為y，y=根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，y的值最小此時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵29（2016丹東）如圖，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一

49、條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090），得到圖，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證ACEBCD，由此可得AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PMPN；（2）（1）中的結(jié)論仍舊成立，由（1）中的證明思路