1、一、填空題1.(1987,)已知三維線性空間的一組基底為,則向量在上述基底下的坐標是 .【考點】向量在基下的坐標.解 方法一:設,得方程組解得.方法二:,解矩陣方程得.【注意】行(列)向量組由行(列)向量組線性表示的矩陣表達式的形式是不同的.2.(1988,)設矩陣,其中均為4維列向量,且已知行列式,則行列式 .【考點】分塊矩陣的運算和行列式的性質.解 .【注意】.3.(1988,) .【考點】行列式的計算.方法一: .方法二: .【注】副對角行列式.4.(1988,) .【考點】求逆矩陣.解 方法一:,所以.方法二:利用分塊矩陣求逆公式得到.【注】.方法三:利用初等矩陣的性質得到.所討論的矩

2、陣是將4階單位矩陣的第一行與第四行交換得到的第一類初等矩陣.【注】.5.(1989,)設矩陣,則逆矩陣 .【考點】分塊矩陣求逆.解 .【注】(1) ;(2) .6.(1989)齊次線性方程組只有零解,則應滿足的條件是 .【考點】齊次線性方程組解的理論.解 個方程個未知數的齊次線性方程組只有零解,即.7.(1989)行列式 .【考點】行列式的計算.解 8.(1990,)已知向量組,則該向量組的秩是 .【考點】向量組秩的計算.解 9.(1990,)若線性方程組有解,則常數應滿足條件 .【考點】非齊次線性方程組解的理論.解 非齊次線性方程組有解.,則.10.(1991,)設4階方陣,則的逆陣 .【考

3、點】分塊矩陣求逆.解 .11.(1991)設和為可逆矩陣,為分塊矩陣,則 .【考點】抽象分塊矩陣求逆.解 設,由,得,所以.12.(1991)階行列式 .【考點】行列式的計算.解 把行列式按第1列展開,得.13.(1992,)設,其中,則矩陣的秩 .【考點】矩陣秩的計算.解.14.(1992)設為階方陣,為階方陣,且,則 .【考點】行列式的性質.解 .15.(1992)矩陣的非零特征值是 .【考點】特征值的計算.解 方法一:,則為所求.方法二: 為實對稱矩陣且,則只有一個非零特征值;又的主對角線元素之和為4,則所求非零特征值為4.【注】(1)若為實對稱矩陣,則的非零特征值的個數.事實上,由為實

4、對稱矩陣,則存在可逆矩陣,使得,其中為的特征值,所以中非零的個數.(2) 的特征值之和等于的對角線元素之和.16.(1993,)設階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為,則線性方程組的通解為 .【考點】齊次線性方程組解的結構.解 的秩為,則線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為.由的各行元素之和均為零,知向量是線性方程組的一個非零解,故線性方程組的通解為為任意常數.【注】對于抽象的齊次(非齊次)線性方程組,求其通解時都是根據其解的結構解決.17.(1993,)設四階方陣的秩為2,則其伴隨矩陣的秩為 .【考點】的秩與其伴隨矩陣的秩的關系.解 .【注】18.(1994,)已知,設,其中是的轉置,則

5、.【考點】矩陣的基本運算.解 .【注意】為常數,而為方陣.19.(1994,)設,且,則 .【考點】分塊矩陣求逆.解 .20.(1995,)設三階方陣滿足關系式,且,則 .【考點】解矩陣方程.解 由得.【注】,其中全不為零.21.(1995,)設,為的伴隨矩陣,則 .【考點】逆矩陣的性質.解 由.【注意】當可逆時,.22.(1996,)設是矩陣,且的秩,而,則 .【考點】矩陣秩的性質.解 由知可逆,則.【注】當可逆時,即在矩陣的左邊或右邊乘以可逆矩陣不改變矩陣的秩.23.(1996)設,其中,則線性方程組的解是 .【考點】求解非齊次線性方程組.解 由范德蒙行列式,得,方程組有惟一解.顯然為方程

6、組的解.24.(1996)五階行列式 .【考點】行列式的計算.解 ,則 .【注意】本題的遞推公式為,不是.25.(1997)設,為三階非零矩陣,且,則 .【考點】矩陣秩的性質(或齊次線性方程組解的理論).解 方法一:由,得;又,得,則.則.或由.方法二:由且,得有非零解,所以.以下同方法一.26.(1997)已知向量組的秩為2,則 .【考點】含參數的矩陣的秩的討論.解 ,則.27.(1997)若二次型是正定的,則的取值范圍是 .【考點】正定二次型(霍爾維茨定理).解 二次型的矩陣為正定.【注意】與具體的二次型的正定性有關的問題,一般都是用霍爾維茨定理直接解決.28.(1997)設階矩陣,則 .

7、參考1988,.答案:.29.(1998)設為階矩陣,為的伴隨矩陣,為階單位矩陣.若有特征值,則必有特征值 .【考點】特征值的性質.答案:.【注】(1)若為可逆矩陣的特征值,則為的特征值,且有相同的特征向量.(2)若為矩陣的特征值,則為的特征值,且有相同的特征向量.30.(1998,)設矩陣滿足,其中為單位矩陣,為的伴隨矩陣,則 .【考點】解矩陣方程.解 由.【注意】如果矩陣方程中含有,利用 及 消去矩陣方程中的,以簡化計算量.31.(1998)設均為階矩陣,則 .【考點】矩陣運算的性質.解 .【注】32.(1999)設階矩陣的元素全為1,則的個特征值是 .參考1992.答案: 33.(199

8、9,)設,而為正整數,則 .【考點】矩陣冪的計算.解 34.(1999)已知,其中,則 .【考點】解矩陣方程.解 由.35.(2000)已知方程組無解,則 .【考點】非齊次線性方程組解的理論.解 方法一(一般方法):非齊次線性方程組無解.,所以當時,方程組無解.方法二(特殊方法):個方程個未知量的非齊次線性方程組無解或無窮多解.或.當時,方程組無解;當時, 方程組有無窮多解.36.(2000)設為4階單位矩陣,且,則 .【考點】矩陣運算及其性質.解 37.(2000)若四階矩陣與相似,的特征值為,則行列式 .【考點】相似矩陣與特征值的性質.解 方法一:與相似,則與有相同的特征值,即的特征值為,

9、的特征值為,的特征值為,所以.方法二:與相似,則與有相同的特征值,即的特征值為,從而可對角化,即存在可逆矩陣,使得,則.38.(2000)設,矩陣為正整數,則 .【考點】矩陣冪的計算.解 方法一:,則.方法二:的特征值為,則的特征值為,所以.【注】若,則的特征值為.39.(2000)已知四階矩陣相似于,的特征值為,為四階單位矩陣,則 .參考37.(2000).答案.40.(2001)設矩陣滿足,其中為單位矩陣,則 .【考點】抽象矩陣的逆矩陣.解 由【注意】設,其中為的多項式,求的方法是:將化成的形式,從而41.(2001)設方程組有無窮多個解,則 .參考35.(2000).答案:42.(200

10、1,)設矩陣,且秩,則 .【考點】含有參數的矩陣的秩的討論.解 ,顯然時.或或.當時;當時.43.(2001)設行列式,則第四行各元素余子式之和的值為 .【考點】行列式按行(或列)展開定理.解 .【注意】已知行列式,求其余子式(或代數余子式)的線性組合的值時,一般用上面所介紹的方法.44.(2002)已知實二次型經正交變換可化成標準形,則 .【考點】二次型的標準形理論.解 方法一: 二次型的矩陣.由題意知.,顯然,當時,.或或.當時;當時.【注意】若二次型的標準形為,則中不為零的個數.方法二:二次型的矩陣.由題意知,的特征值為,則.【注意】二次型經正交變換化成標準形,則為二次型矩陣的特征值;若

11、二次型經可逆變換化成標準形,則不一定是二次型矩陣的特征值.即相似矩陣有相同的特征值,但合同矩陣不一定有相同的特征值.45.(2002)矩陣的非零特征值是 .【考點】特征值的計算.解 .46.(2002)設三階矩陣,三維列向量.已知與線性相關,則 .【考點】矩陣的乘法和向量組線性相關的概念.解 .【注意】兩個向量線性相關的它們對應的分量成比例.47.(2002)設矩陣,則 .【考點】矩陣的運算.解 .48.(2002)設向量組線性無關,則必滿足關系式 .【考點】向量組線性無關的判別定理.解 .【注】維向量組線性相關.49.(2003)從的基到基的過渡矩陣為 .【考點】過渡矩陣的概念.解 設為所求

12、的過渡矩陣,則.【注】設由基到基的過渡矩陣,則,即將向量組由線性表示的系數矩陣.50.(2003)設為3維列向量,是的轉置,若,則 .【考點】矩陣的乘法.解 設.51.(2003)設三階方陣滿足,其中為三階單位矩陣,若,則 .【考點】矩陣的運算.解 .52.(2003,)設維向量;為階單位矩陣,矩陣,其中的逆矩陣為,則 .【考點】可逆矩陣的概念及矩陣運算的性質.解 .53.(2003)設均為三階方陣,為三階單位矩陣,已知,則 .【考點】矩陣的運算.解 .54.(2004,)設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則 .【考點】矩陣的運算.解 55.(2004)二次型的秩為 .【考點】二次型秩的概念.解 方法一:二次