1、線段的垂直平分線-知識講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線.2 .會證明三角形的三條中垂線必交于一點.掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3 .已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形4 .能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實際問題.【要點梳理】要點一、線段的垂直平分線1 .定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.2 .線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：(1)分別以點 A B為圓心，以大于 1AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C, D兩點；2(2)作直

2、線CD CD即為所求直線. 要點詮釋：(1)作弧時的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點了.2(2)線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.要點二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理： 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.要點詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線， 常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全 等三角形創(chuàng)造條件.要點三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點

3、，在這條線段的垂直平分線上. 要點詮釋：到線段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個端點的距離相等的所有點的集合.要點四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心外心 .要點詮釋：1 .三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（三線共點），該點即為三角形外接圓的圓心 .2 .銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.3 .外心到三頂點的距離相等.要點五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，

4、畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點題即“ xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理C1.如圖，在 ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于的去AB的長為半徑畫孤， 兩弧相交于點M, N,作直線 MN交BC于點D,連接AD.若4ADC的周長為10, AB=7,則 ABC的A、7B 14 C 、17D 20AD=BD又由 ADC的周長【思路點撥】 首先根據(jù)題意可得 MN> AB的垂直平分線，即可得為10,求得AC+BC勺長，則可求得 ABC的周長.1【解析】二在4ABC中，分別以點 A和點B為圓心，大于的=

5、AB的長為半徑畫孤，兩弧相交于點M N作直線MN交BC于點D,連接AD.MN是AB的垂直平分線，.AD=BD.ADC的周長為10,AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.AB=7 ABC 的周長為：AC+BC+AB=10+7=17【總結(jié)升華】 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與作法.題目難度不大，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.舉一反三：【變式】閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明.已知：線段AB,要作線段 AB的垂直平分線.作法：(1)分別以A、B為圓心，大于 【AB的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點G D;2(2)作直線CD直線CD即為所求作的線段 AB的垂直平分線

6、.根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接 AC BC AD BD, AC=AD=求證：CDL AB, CD平分AB.證明：A iIB雙【答案】已知：如圖，連接 AC BG AD BD, AC=AD=BC=BD 求證：CDLAB, CD平分 AB. 證明：設(shè)CD與AB交于點E.在 ACD BCD43,AC BCAD BD,CD CD. .AC陰BCD(SSS .1 = /2.-.AC=BC. ACB是等腰三角形.-.CE± AB, AE=BE即 CDL AB, CD平分 AB.O.如線分另、BS大住BEE兩,相交于點C Q,連接CQ與AB相交于點 D,連接AG BC.那么

7、：(1) / ADC= _度:(2)當(dāng)線段 AB=4, Z ACB=60時，/ ACD=30度， ABC的面積等于 (面積單位)【思路點撥】利用線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識點計算.【答案】(1) 90° ;(2) 46.【解析】(1) AAB(G MQB 中，AC=AQ BC=BQ AB=AB AAB(C AAB(Q / CABW QAB根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，我們可知：AD是等腰 ACQ底邊的高、中線和頂角的平分線.，/ADC=90 .(2) AC=AB Z ACB=60 ,.ABC是等邊三角形.CD£ AB, / CADW BCD=30 .CD=

8、 ,'BC2 (1 BC)2.'16 4 2.3 .【總結(jié)升華】本題運(yùn)用了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識點，雖然知識點比較多，但只要找準(zhǔn)所求與已知的關(guān)系，本題并不難解.舉一反三：【變式】如圖，在 ABC中，已知BC=7, AC=16, AB的垂直平分線交 AB于點D,交AC于點 E,求ABEC的周長.【答案】DE是AB的垂直平分線，BE=AEBE+EC=AE+EC=AC .BEC 的周長=BE+EC+BC=AC+BC=23要點二、線段的垂直平分線的逆定理砂口一八出占占工 3.已知，如圖，在 ABC中，BD±AC于點D,點M N分別是AB>

9、BC邊的中點.求證: 直線“此線段BD的垂直平分線.【思路點撥】 先連接 DM DN由于BD± AC,那么/ ADB=90 ,于是在 RtADB中，M是AB的中點，可得 DM=1AB=BM可證M在線段BD垂直平分線上，同理可證 N線段BD垂直平分 2線上，從而可知 MN BD垂直平分線.【答案與解析】 證明：如圖所示，連接 DM DN,-.BD± AC,，/ADB=90 ,在RtADB中,M是AB的中點，1DMjAB=BM2又在RtBDE中,N是BC的中點，1 c. DN= BC=BN2.M渴線段BD的垂直平分線.【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上

10、的中線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接DM DN類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用眇 4. （2012圖興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.舉例：如圖1,若PA=PB則點P為 ABC的準(zhǔn)外心.應(yīng)用：如圖2, CD為等邊三角形 ABC的高，準(zhǔn)外心 P在高CD上，且PD=1AB,求/ APB的2探究：已知 ABC為直角三角形，斜邊 BC=5 AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究 PA的長.圖1圖之【思路點撥】 應(yīng)用：連接PA PB,根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分 PB=PCPA=PCPA=PBE種 情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出 PD與

11、AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況是合適的， 再根據(jù) 等腰直角三角形的性質(zhì)求出/ APB=45 ,然后即可求出/ APB的度數(shù)；探究：先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分 PB=PCPA=PCPA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計算即可得解.【答案與解析】應(yīng)用：解：若 PB=PC連接PB,則/ PCBW PBC.CD為等邊三角形的高，AD=BD / PCB=30 , / PBDh PBC=30 ,3、3PD= - DB= AB, _ 1 .一 一 與已知PD=AB矛盾，PB PC2若PA=PC連接PA,同理可得 PA PC若 PA=PB 由 PD=1AB,彳導(dǎo) PD=BD2，/APD

12、=45 , 故/APB=90 ; 探究：解：: BC=5 AB=3,若 PB=PC 設(shè) PA=x,貝U x2+32= (4-x) 2, x= 7 ,即 PA=7 ,c A *D3kfAC BC2 AB2,52 32 4【總結(jié)升華】 考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄 清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要注意分三種情況進(jìn)行討論.舉一反三：【變式】在 ABC中，AB的垂直平分線分別交 AR BC于點D> E, AC的垂直平分線分別交 AG BC于點 F、G,若 Z BAC=11O ,則/ EAG=.B EG C【答案】40° ;解：/ B=x, / c=y,貝 U, / B+/ C=180 -/BAG 即 x+y=70° ，.DE、GF分別是AB AC的垂直平分線，BE=AE AG=CG.Z BAE=/ B=x, / CAG= C=y,/ BAE吆 CAGy EAC4 BAG，x+y+/EAC=1l0 ，聯(lián)立得，/ EAC=I1O° -70° =40° .故答案為：40° .要點四、尺規(guī)作圖劭 5.如圖，每個格的單位長度是