1、第二節第二節 直線的交點坐標與距離公式直線的交點坐標與距離公式三年三年2 2考考 高考指數高考指數: :1.1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；2.2.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離行直線間的距離. .1.1.兩點間距離公式、點到直線的距離公式兩點間距離公式、點到直線的距離公式, ,兩平行線間的距離兩平行線間的距離公式是高考的重點；公式是高考的重點；2.2.常與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題；常與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題；3.3.多以選擇題和

2、填空題為主，有時與其他知識點交匯，在解答多以選擇題和填空題為主，有時與其他知識點交匯，在解答題中考查題中考查. .1.1.兩條直線的交點兩條直線的交點直線直線l1l1：A1x+B1y+C1=0A1x+B1y+C1=0與與l2l2：A2x+B2y+C2=0A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標與的公共點的坐標與方方程組程組 的解一一對應的解一一對應. .相交相交方程組有方程組有_，交點坐標就是方程組的解；，交點坐標就是方程組的解；平行平行方程組方程組_；重合；重合方程組有方程組有_._.111222A xB yC0A xB yC0唯一解唯一解無解無解無數組解無數組解【即時應用】【即時應用】(1)

3、(1)考慮：如何用兩直線的交點判斷兩直線的位置關系？考慮：如何用兩直線的交點判斷兩直線的位置關系？提示：當兩直線有一個交點時，兩直線相交；沒有交點時，兩提示：當兩直線有一個交點時，兩直線相交；沒有交點時，兩直線平行；有無數個交點時，兩直線重合直線平行；有無數個交點時，兩直線重合. .(2)(2)直線直線l1l1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2l2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點的交點P P的坐標是的坐標是_._.【解析】由直線【解析】由直線l1l1與與l2l2所組成的方程組所組成的方程組得：得： ，直線直線l1l1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2l2

4、：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點的交點P P的的坐標是坐標是(2,-2).(2,-2).答案：答案：(2,-2)(2,-2)5x2y603x5y 160 x2y2 (3)(3)直線直線l1l1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2l2：5x+2y-16=05x+2y-16=0的位置關系是的位置關系是_._.【解析】【解析】由直線由直線l1l1與與l2l2所組成的方程組所組成的方程組 無解，無解，直線直線l1l1與與l2l2平行平行. .答案：平行答案：平行5x2y605x2y 1602.2.間隔間隔兩條平行線兩條平行線Ax+By+C1=0Ax+By+C1=0與與Ax A

5、x +By+C2 =0+By+C2 =0間的距離間的距離點點P0(x0,y0)P0(x0,y0)到直線到直線l:Ax +By +C =0l:Ax +By +C =0的的距離距離點點P1(x1,y1),P1(x1,y1),P2(x2,y2)P2(x2,y2)之間的距之間的距離離22122121PP(x -x ) (y -y )0022 Ax By Cd A B1222C -Cd A B【即時應用】【即時應用】(1)(1)原點到直線原點到直線x+2y-5=0 x+2y-5=0的距離是的距離是_；(2)(2)已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=

6、17，則，則a=_a=_；(3)(3)兩平行線兩平行線y=2xy=2x與與2x-y=-52x-y=-5間的距離為間的距離為_._.【解析】【解析】(1)(1)因為因為(2)(2)依題設及兩點間的距離公式得：依題設及兩點間的距離公式得： , ,解得：解得：a=a=8 8；(3)(3)因為兩平行線方程可化為：因為兩平行線方程可化為：2x-y=02x-y=0與與2x-y+5=0.2x-y+5=0.因而，兩平行線間的距離為：因而，兩平行線間的距離為：答案：答案：(1) (2)(1) (2)8 (3) 8 (3) 22|02 05|d5.12 22a05 1017 22|50|d5.2155 兩直線的交

7、點問題兩直線的交點問題【方法點睛】【方法點睛】1.1.兩直線交點的求法兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點方程組的解為坐標的點即為交點. .2.2.過直線過直線A1x+B1y+C1=0A1x+B1y+C1=0與與A2x+B2y+C2=0A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程交點的直線系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直線不包括直線A2x+B2y+C2=0)A2x+B2y+C2=0)【例【例1

8、1】(1)(1)求經過直線求經過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點，且也經的交點，且也經過點過點A(8,-4)A(8,-4)的直線方程為的直線方程為_；(2)(2)已知兩直線已知兩直線l1l1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0與與l2l2：2x+my-1=02x+my-1=0，若，若l1l1與與l2l2相相交，求實數交，求實數m m、n n滿足的條件滿足的條件. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)可求出兩直線的交點坐標，用兩點式解決；可求出兩直線的交點坐標，用兩點式解決；也可用過兩直線交點的直線系解決；也可用過兩直線交點的直線系解決；(2

9、)(2)兩直線相交可考慮直兩直線相交可考慮直線斜率之間的關系，從而得到線斜率之間的關系，從而得到m m、n n滿足的條件滿足的條件. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)方法一：因為直線方法一：因為直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的的交點坐標為交點坐標為(-2,1)(-2,1)，直線又過，直線又過A(8,-4)A(8,-4)，所以所求直線方程，所以所求直線方程為：為： ，即，即x+2y=0 x+2y=0；方法二：設過直線方法二：設過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點的直線方程為的交點的直線方程為x+y

10、+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，又因為直線過又因為直線過A(8,-4)A(8,-4)，所以，所以8-4+1+(8+4+3)=08-4+1+(8+4+3)=0，解得解得: ,: ,所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.答案：答案：x+2y=0 x+2y=0y4x81428 13 (2)(2)因為兩直線因為兩直線l1l1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0與與l2l2：2x+my-1=02x+my-1=0相交，因而，相交，因而，當當m=0m=0時，時，l1l1的方程為的方程為 ，l2l2的方程為的方程為 ，兩直線相交，兩直線相交，此此時，實

11、數時，實數m m、n n滿足的條件為滿足的條件為m=0m=0，nRnR；當；當m0m0時，時，兩直線兩直線相交，相交， ，解得，解得mm4 4，此時，實數，此時，實數m m、n n滿足的條件為滿足的條件為mm4 4，nR.nR.ny8 1x2m82m【互動探究】本例【互動探究】本例(1)(1)中的中的“且也經過點且也經過點A(8,-4)”A(8,-4)”改為改為“與直與直線線2x-y=02x-y=0垂直垂直”, ,求該直線方程求該直線方程. .【解析】方法一：因為直線【解析】方法一：因為直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點坐標的交點坐標為為(-2,

12、1)(-2,1)，又直線與直線，又直線與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直線的斜率垂直，所以所求直線的斜率 ，因此所求直線方程為：，因此所求直線方程為：y-1= (x+2)y-1= (x+2)，即，即x+2y=0.x+2y=0.1k2 12方法二：設過直線方法二：設過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點的直線方程為的交點的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，即，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因為直線與直線又因為直線與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所

13、求直線的斜率垂直，所以所求直線的斜率即有即有解得解得: ,: ,所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.1k2 ，1112 ，13 【反思【反思感悟】感悟】1.1.本例本例(1)(1)中是求直線方程中是求直線方程, ,其關鍵是尋找確定其關鍵是尋找確定直線的兩個條件直線的兩個條件, ,可以直接求交點可以直接求交點, ,利用兩點式得出方程利用兩點式得出方程, ,此法此法要注意兩點的縱要注意兩點的縱( (或橫或橫) )坐標相同時坐標相同時, ,兩點式方程不適用兩點式方程不適用, ,也可以也可以利用直線系方程求解利用直線系方程求解, ,其關鍵是利用已知點求其關鍵是利用已知點

14、求的值的值; ;2.2.考查兩直線相交的條件考查兩直線相交的條件, ,即斜率不等或有一條直線的斜率不即斜率不等或有一條直線的斜率不存在存在. .【變式備選】當【變式備選】當m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1l1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2l2：x+y=0,l3x+y=0,l3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點，所以點，所以解得：解得：243m(m0)213m ，12mm63 且；又因為又因為l1l1：4x+y-3=04

15、x+y-3=0與與l2l2：x+y=0 x+y=0的交點為的交點為(1,-1)(1,-1)，所以，所以2+3m-2+3m-4040，解得，解得m m ；當當m=0m=0時，時，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1與與l3l3的交點為的交點為(2,-5)(2,-5)，l1l1與與l2l2的交點為的交點為(1,-1),l2(1,-1),l2與與l3l3的交點為的交點為(2,-2)(2,-2)，能構成三角形，符合題意能構成三角形，符合題意. .綜上可知：綜上可知：23122m,mm.633 且 距離公式的

16、應用距離公式的應用【方法點睛】【方法點睛】1.1.兩點間的距離的求法兩點間的距離的求法設點設點A(xA,yA),B(xB,yB)A(xA,yA),B(xB,yB)，特例：特例：ABxABx軸時，軸時，|AB|=|yA-yB|AB|=|yA-yB|AByABy軸時，軸時，|AB|=|xA-xB|.|AB|=|xA-xB|.22ABABABxxyy.2.2.點到直線的距離的求法點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式必須為一般式. .3.3.兩平行直線間的距離的求法兩平行直線間的距離的求法(1)(1

17、)利用利用“化歸法將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上化歸法將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離任意一點到另一條直線的距離. .(2)(2)利用兩平行線間的距離公式利用兩平行線間的距離公式. .【提醒】應用兩平行線間的距離公式求距離時【提醒】應用兩平行線間的距離公式求距離時, ,要注意兩平行要注意兩平行直線方程中直線方程中x x、y y的系數必須相等的系數必須相等. .【例【例2 2】已知三條直線】已知三條直線l1:2x-y+a=0(al1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=00),l2:-4x+2y+1=0和和l3:x+y-1=0l3:x+y-1=0

18、，且，且l1l1與與l2l2的距離是的距離是(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)能否找到一點能否找到一點P,P,使使P P同時滿足下列三個條件：同時滿足下列三個條件：P P是第一象限的點；是第一象限的點；P P點到點到l1l1的距離是的距離是P P點到點到l2l2的距離的的距離的 ; ;P P點到點到l1l1的距離與的距離與P P點到點到l3l3的距離之比是的距離之比是 . .若能，求若能，求P P點點坐坐標；若不能，說明理由標；若不能，說明理由. .75.101225【解題指南】【解題指南】(1)(1)由由l1l1與與l2l2的距離及兩平行線之間的距離公式，的距離及兩平行線之間的距

19、離公式，可得關于可得關于a a的方程，解方程即可得出的方程，解方程即可得出a a的值；的值；(2)(2)由點由點P(x0,y0)P(x0,y0)滿足滿足條件可得出關于條件可得出關于x0 x0、y0y0的方程組，的方程組，解方程組，即可求出點解方程組，即可求出點P P的坐標，注意驗證是否適合條件的坐標，注意驗證是否適合條件. .【規范解答】【規范解答】(1)l2(1)l2為為2x-y- =0,2x-y- =0,l1l1與與l2l2的距離為的距離為aa0,a=3.0,a=3.(2)(2)設存在第一象限的點設存在第一象限的點P(x0,y0)P(x0,y0)滿足條件滿足條件, ,則則P P點在與點在與

20、l1l1、l2l2平行的直線平行的直線l:2x-y+c=0l:2x-y+c=0上且上且 , ,即即 或或2x0-y0+ =02x0-y0+ =0或或2x0-y0+ =0.2x0-y0+ =0.12221|a()|7 52d.1021 1|c|c3|1225513c211c,6132116若若P P點滿足條件，由點到直線的距離公式有：點滿足條件，由點到直線的距離公式有：即即|2x0-y0+3|2x0-y0+3=|x0+y0-1|,=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0 x0-2y0+4=0或或3x0+2=0.3x0+2=0.PP在第一象限，在第一象限，3x0+2=03x0+2=0不可能不可能

21、. .聯立方程聯立方程 和和x0-2y0+4=0,x0-2y0+4=0,解得解得 ( (舍去舍去) )，00002xy3xy12,55200132xy0200 x3,1y2 由由存在存在P( )P( )同時滿足條件同時滿足條件. .000000111x2xy09637x2y40y18，得，1 37,9 18【反思【反思感悟】在解答本題時，首先要根據題設條件，由點到感悟】在解答本題時，首先要根據題設條件，由點到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式得出方程直線的距離公式、兩平行線間的距離公式得出方程( (組組) )，這是，這是很關鍵的問題；另外，還要注意每種距離公式所要求的條件，很關鍵的問題；另外

22、，還要注意每種距離公式所要求的條件，以防漏解、錯解以防漏解、錯解. .【變式訓練】已知【變式訓練】已知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直線和直線l:4x+3y-2=0l:4x+3y-2=0，在坐，在坐標平面內求一點標平面內求一點P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且點，且點P P到直線到直線l l的距離為的距離為2.2.【解析】設點【解析】設點P P的坐標為的坐標為(a,b).(a,b).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，線段線段ABAB的中點的中點M M的坐標為的坐標為(3(3，-2)-2)，線段線段ABAB的垂直平分線方程為的垂

23、直平分線方程為y+2=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.由題意知點由題意知點P(a,b)P(a,b)在上述直線上，在上述直線上，a-b-5=0.a-b-5=0.又點又點P(a,b)P(a,b)到直線到直線l l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距離為的距離為2 2， , ,即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,聯立聯立可得可得所求點所求點P P的坐標為的坐標為(1(1，-4)-4)或或( ).( ).4a3b22527aa17.b48b7 或278,77【變式備選】過點【變式備選】過點P(-1,2)P(-1,2)引一直線，兩點引一直線，兩點A(2,3)

24、A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)到到該直線的距離相等，求這條直線的方程該直線的距離相等，求這條直線的方程. .【解析】方法一：當斜率不存在時，過點【解析】方法一：當斜率不存在時，過點P(-1,2)P(-1,2)的直線方程的直線方程為：為：x=-1x=-1，A(2,3)A(2,3)到到x=-1x=-1的距離等于的距離等于3 3，且，且B(-4,5)B(-4,5)到到x=-1x=-1的距的距離也等于離也等于3 3，符合題意；，符合題意；當直線的斜率存在時，設斜率為當直線的斜率存在時，設斜率為k k，過點，過點P(-1,2)P(-1,2)的直線方程的直線方程為：為：y-2=k(x+1)y-

25、2=k(x+1)，即，即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0，依題設知：依題設知：解上式得：解上式得：所以，所求直線方程為：所以，所求直線方程為：x+3y-5=0 x+3y-5=0；綜上可知綜上可知, ,所求直線方程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.22|2k3k2| 4k5k2|,k1k1 1k3 ，方法二：依題設知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點方法二：依題設知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點P(-1,2)P(-1,2)與與ABAB平行的直線，另一條是過點平行的直線，另一條是過點P P及及ABAB中點的直線中點的直線. .因為因為A(2,3

26、)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)，所以，所以因而，過點因而，過點P P與與ABAB平行的直線的方程為：平行的直線的方程為：y-2= (x+1),y-2= (x+1),即即x+3y-5=0;x+3y-5=0;又因為又因為A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)的中點坐標的中點坐標D(-1,4)D(-1,4)，所以過點所以過點P P及及ABAB中點的直線方程為中點的直線方程為x=-1x=-1；綜上可知綜上可知, ,所求直線方程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.AB351k243 ，13 對稱問題對稱問題【方法點睛】【方法點睛】1.1.

27、對稱中心的求法對稱中心的求法若兩點若兩點A(x1,y1)A(x1,y1)、B(x2,y2)B(x2,y2)關于點關于點P(a,b)P(a,b)對稱，則由中點坐標對稱，則由中點坐標公式求得公式求得a a、b b的值，即的值，即1212xxyyab22，；2.2.軸對稱的兩個公式軸對稱的兩個公式若兩點若兩點M(x1,y1)M(x1,y1)、N(x2,y2)N(x2,y2)關于直線關于直線l l：Ax+By+C=0(A0)Ax+By+C=0(A0)對稱，對稱，則線段則線段MNMN的中點在對稱軸的中點在對稱軸l l上，而且連接上，而且連接MNMN的直線垂直于對稱的直線垂直于對稱軸軸l.l.故有故有12

28、121212xxyyA()B()C0 22.yyBxxA 3.3.對稱問題的類型對稱問題的類型(1)(1)點關于點對稱；點關于點對稱；(2)(2)點關于直線對稱；點關于直線對稱；(3)(3)直線關于點對稱；直線關于點對稱；(4)(4)直線關于直線對稱直線關于直線對稱. .以上各種對稱問題最終化歸為點關于點對稱、點關于直線對稱以上各種對稱問題最終化歸為點關于點對稱、點關于直線對稱. .4.4.對稱問題的具體應用對稱問題的具體應用(1)(1)在直線上求一點，使它到兩定點距離之和最小問題在直線上求一點，使它到兩定點距離之和最小問題當兩定點分別在直線的異側時，兩點連線與直線的交點即為當兩定點分別在直線

29、的異側時，兩點連線與直線的交點即為所求；所求；當兩定點在直線的同一側時，可借助于點關于直線對稱，將當兩定點在直線的同一側時，可借助于點關于直線對稱，將問題轉化為問題轉化為情形來解決情形來解決. .(2)(2)在直線上求一點，使它到兩定點距離之差的絕對值最大問在直線上求一點，使它到兩定點距離之差的絕對值最大問題題當兩定點在直線的同一側時，利用三角形的兩邊之差小于第當兩定點在直線的同一側時，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點的連線與直線的交點即為所求三邊，可知兩定點的連線與直線的交點即為所求; ;當兩定點分別在直線的異側時，可借助于點關于直線對稱，當兩定點分別在直線的異側時，可借助于點關于

30、直線對稱，將問題轉化為將問題轉化為情形解決情形解決. .【例【例3 3】求直線】求直線a a：2x+y-4=02x+y-4=0關于直線關于直線l l：3x+4y-1=03x+4y-1=0對稱的直線對稱的直線b b的方程的方程. .【解題指南】本題實質上是求直線的方程，可設法找到兩個點【解題指南】本題實質上是求直線的方程，可設法找到兩個點的坐標，再由兩點式即可求出方程；本題還可利用求曲線方程的坐標，再由兩點式即可求出方程；本題還可利用求曲線方程的方法求解，設所求曲線上任意一點，由該點關于直線的方法求解，設所求曲線上任意一點，由該點關于直線l l的對的對稱點在已知曲線上，即可求得稱點在已知曲線上，

31、即可求得. .【規范解答】方法一：由【規范解答】方法一：由 解得直線解得直線a a與與l l的交點的交點E(3,-2)E(3,-2)，E E點也在直線點也在直線b b上上. .在直線在直線a a：2x+y-4=02x+y-4=0上取一點上取一點A(2,0)A(2,0)，設，設A A點關于直線點關于直線l l的對稱的對稱點點B B的坐標為的坐標為(x0,y0)(x0,y0)，由由 , ,解得解得B( ).B( ).由兩點式得直線由兩點式得直線b b的方程為的方程為即即2x+11y+16=0.2x+11y+16=0.2xy403x4y 10 0000y04x232x0y341022 y( 2)x3

32、842355 ，4855，方法二：設直線方法二：設直線b b上的動點上的動點P(x,y)P(x,y)關于關于l l：3x+4y-1=03x+4y-1=0的對的對稱點為稱點為Q(x0,y0).Q(x0,y0).那么那么解上式得：解上式得：由于由于Q(x0,y0)Q(x0,y0)在直線在直線a a：2x+y-4=02x+y-4=0上，那么上，那么化簡得化簡得2x+11y+16=02x+11y+16=0是所求的直線是所求的直線b b的方程的方程. .0000yy4xx3,xxyy341022 007x24y6x25,24x7y8y257x24y624x7y8240,2525【反思【反思感悟】感悟】1

33、.1.此題是求直線關于直線對稱的直線方程問題，此題是求直線關于直線對稱的直線方程問題，通過求解本題，我們可體會到求直通過求解本題，我們可體會到求直( (曲曲) )線的對稱直線的對稱直( (曲曲) )線方程線方程時可以轉化為求點的對稱點坐標來求解時可以轉化為求點的對稱點坐標來求解. .2.2.利用兩點式求直線方程要注意兩點橫坐標相等或縱坐標相等利用兩點式求直線方程要注意兩點橫坐標相等或縱坐標相等的情形，此時可直接寫出直線方程的情形，此時可直接寫出直線方程. .【變式訓練】【變式訓練】(1)(1)在直線在直線l l：3x-y-1=03x-y-1=0上求一點上求一點P P，使得，使得P P到到A(4

34、,1)A(4,1)和和B(0,4)B(0,4)的距離之差最大；的距離之差最大；(2)(2)在直線在直線l l：3x-y-1=03x-y-1=0上求一點上求一點Q Q，使得，使得Q Q到到A(4A(4，1)1)和和C(3C(3，4)4)的距離之和最小的距離之和最小. .【解析】【解析】(1)(1)如圖甲所示，設點如圖甲所示，設點B B關于關于l l的對稱點為的對稱點為BB，連接，連接ABAB并延長交并延長交l l于于P P，此時的，此時的P P滿足滿足|PA|-|PB|PA|-|PB|的值最大的值最大. .設設BB的坐標為的坐標為(a,b),(a,b),則則kBBkl=-1.kBBkl=-1.即

35、即a+3b-12=0, a+3b-12=0, 又由于線段又由于線段BBBB的中點坐標為的中點坐標為( ),( ),且在直線且在直線l l上，上， , ,即即3a-b-6=0. 3a-b-6=0. 聯立，解得聯立，解得a=3,b=3,B(3,3).a=3,b=3,B(3,3).于是于是ABAB的方程為的方程為即即2x+y-9=0,2x+y-9=0,解解所求所求P P點的坐標為點的坐標為(2(2，5).5).b431,aa b4,22ab431022 y 1x43 134，3xy10 x2,2xy90y5 得(2)(2)如圖乙所示，設如圖乙所示，設C C關于關于l l的對稱點為的對稱點為CC，連接

36、，連接ACAC與與l l交交于點于點Q Q，此時的，此時的Q Q滿足滿足|QA|+|QC|QA|+|QC|的值最小的值最小. .設設CC的坐標為的坐標為(x,y),(x,y),解得解得 C( ).C( ).y431x3.x3y431022 3x5.24y53 24,5 5由兩點式得直線由兩點式得直線ACAC的方程為的方程為即即19x+17y-93=0.19x+17y-93=0.解解所求所求Q Q點的坐標為點的坐標為y 1x4.243145511x19x17y9307,.3xy 1026y7 得11 26().77，【創新探究】新定義下的直線方程問題【創新探究】新定義下的直線方程問題【典例】【典

37、例】(2019(2019上海模擬上海模擬) )在平面直角坐標系中，設點在平面直角坐標系中，設點P(x,y)P(x,y)，定義，定義OP=|x|+|y|OP=|x|+|y|，其中，其中O O為坐標原點為坐標原點. .對于以下結論：對于以下結論：符合符合OP=1OP=1的點的點P P的軌跡圍成的圖形的面積的軌跡圍成的圖形的面積為為2 2；設設P P為直線為直線 x+2y-2=0 x+2y-2=0上任意一點，那么上任意一點，那么OPOP的最小值為的最小值為1 1；其中正確的結論有其中正確的結論有_(_(填上你認為正確的所有結論的序號填上你認為正確的所有結論的序號) .) .5【解題指南】【解題指南】

38、根據新定義，討論根據新定義，討論x x的取值，得到的取值，得到y y與與x x的分段的分段函數關系式，畫出分段函數的圖象，即可求出該圖形的面積；函數關系式，畫出分段函數的圖象，即可求出該圖形的面積；認真觀察直線方程，可舉一個反例，得到認真觀察直線方程，可舉一個反例，得到OPOP的最小值為的最小值為1 1是假命題是假命題. .【規范解答】【規范解答】由由OP=1OP=1，根據新定義，根據新定義得：得：|x|+|y|=1,|x|+|y|=1,上式可化為：上式可化為：y=-x+1y=-x+1(0 x1)(0 x1)，y=-x-1(-1x0)y=-x-1(-1x0)，y=x+y=x+1(-1x0)1(

39、-1x0)，y=x-1(0 x1),y=x-1(0 x1),畫出畫出圖象如圖所示：圖象如圖所示：根據圖形得到：四邊形根據圖形得到：四邊形ABCDABCD為為邊長是邊長是 的正方形，所以面積的正方形，所以面積等于等于2 2，故，故正確；正確；當點當點P P為為( ( ，0)0)時，時，OPOP=|x|+|y|= +0=|x|+|y|= +01,1,所以所以OPOP的最小值不為的最小值不為1 1，故，故錯誤；錯誤；所以正確的結論有：所以正確的結論有：. .答案：答案：22525x-11yo-11ABCD【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，我們可以得到以下創【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，我們可

40、以得到以下創新點撥和備考建議：新點撥和備考建議：創創新新點點撥撥本題有以下兩處創新點本題有以下兩處創新點(1)(1)考查內容的創新，對解析幾何問題與函數知識巧考查內容的創新，對解析幾何問題與函數知識巧妙結合進行考查妙結合進行考查. .(2)(2)考查對新定義、新概念的理解與運用的同時考查考查對新定義、新概念的理解與運用的同時考查思維的創新思維的創新, ,本題考查了學生的發散思維，思維方向本題考查了學生的發散思維，思維方向與習慣思維有所不同與習慣思維有所不同. .備備考考建建議議解決新概念、新定義的創新問題時，要注意以下幾解決新概念、新定義的創新問題時，要注意以下幾點：點：(1)(1)充分理解概

41、念、定理的內涵與外延；充分理解概念、定理的內涵與外延；(2)(2)對于新概念、新結論要具體化，舉幾個具體的例對于新概念、新結論要具體化，舉幾個具體的例子，代入幾個特殊值；子，代入幾個特殊值；(3)(3)注意新概念、新結論正用怎樣，逆用又將如何，注意新概念、新結論正用怎樣，逆用又將如何，變形將會如何變形將會如何. .1.(20191.(2019福州模擬福州模擬) )直線直線l1l1的斜率為的斜率為2,l1l22,l1l2，直線，直線l2l2過點過點(-(-1,1)1,1)且與且與y y軸交于點軸交于點P P，則，則P P點坐標為點坐標為( )( )(A)(3(A)(3，0) (B)(-30) (B)(-3，0)0)(C)(0(C)(0，-3) (D)(0-3) (D)(0，3)3)【解析】選【解析】選D.D.點點P P在在y y軸上，軸上，設設P(0,y),P(0,y),又又kl1=2,l1l2,kl2=kl1=2,l1l2,kl2=y=3,P(0,3).y=3,P(0,3).y 1y 12,01 2.(2