1、高中物理競賽培訓第二十講 磁場對電流的作用和電磁感應知識點擊1安培力作用下的載流導線和載流線圈安培力：長為L電流強度為I的載流導線處的磁感應強度為，電流元的方向與 之間的夾角為，則電流元所受安培力為FIBLsin，力的方向可由左手定則確定 磁場對載流平面線圈的作用：勻強磁場中，平面載流線圈各電流元所受力的矢量和為零，即，但線圈受一力矩作用，其力矩大小為MISBsin2帶電粒子在磁場中的運動洛倫茲力：磁場對運動電荷的作用力稱之為洛倫茲力若帶電粒子所帶電量為q，速度為，則運動粒子在磁感應強度為的一點所受洛倫茲力的大小為。洛倫茲力總是與粒子運動速度垂直，洛倫茲力不做功，它不能改變運動電荷速度的大小，

2、只能改變速度的方向，使其運動路徑發生彎曲帶電粒子在勻強磁場中的運動：設有一勻強磁場，磁感應強度為，一電量為q、質量為m的粒子，以初速度進人磁場中運動 （a），粒子在磁場中作勻速直線運動 （b），方向垂直于和，帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動。圓周運動的半徑 周期 （c）和成一任意夾角，我們把分解為與平行的分量和垂直分量。粒子所作的運動是上面兩種運動的疊加，粒子作螺旋運動，螺旋半徑，運動的周期，其螺距 3電磁感應的基本定律 感生和動生感應電動勢法拉第電磁感應定律：閉合回路中的感應電動勢 與穿過回路的磁通量的變化率 成正比。這就是法拉第電磁感應定律，即，或楞次定律：閉合導體回路中感應電流的方向，總是

3、使得感應電流所激發的磁場阻止引起感應電流的磁通量的變化，這個結論就是楞次定律動生電動勢和感生電動勢：法拉第電磁感應定律告訴我們：只要閉合回路的磁通量發生變化，回路中就有電動勢產生，而不管磁通量的變化是怎樣引起的而，造成中變化的原因有下列三種情況：第一是、不變，但回路的一部分切割磁感線運動使得回路面積改變導致變；第二是、S不變，但變，即回路在磁場中轉動，使回路所包圍的面與的夾角改變而導致變；第三是S、不變，但變導致必變 第一、二種情況是由于線圈回路的一部分或整體在磁場中運動使得通過回路的磁通量改變而產生感應電動勢，這類感應電動勢稱之為動生電動勢；動生電動勢對應的非靜電力是洛倫茲力，當ab導體在勻

4、強磁場中向右以速度v運動時，自由電子受到向下的洛倫茲力的作用：，而其電動勢為單位正電荷從負極通過電源內部移到正極過程中洛倫茲力所做的功：。 若導線的方向不與垂直，而夾角為時，則導線內的動生電動勢為。第三種情況是磁場的變化使得回路的磁通量改變而產生的感應電動勢，這種感應電動勢稱之為感生電動勢4自感和互感 自感：因線圈內電流變化而在線圈自身引起感應電動勢的現象稱為自感現象所產生電動勢稱為自感電動勢 根據畢奧一薩伐爾定律，通過線圈的磁通量與線圈中電流成正比：根據法拉第電磁感應定律，自感電動勢為 互感：1，2線圈中的電流I1和I2可在線圈2，1中產生磁通量，而當I1和I2變化時，可在線圈2和1中產生感

5、應電動勢，這種現象稱為互感現象，所產生的感應電動勢稱為互感電動勢 設線圈1中的電流I1在線圈2中產生的磁通量為12，線圈2中的電流I2在線圈1中產生的磁通量為21，根據畢奧薩伐爾定律：12=MI1 21=MI2 根據法拉第電磁感應定律： 利用配速度的方法處理帶電粒子在電磁場中的復雜運動的問題。例1在空間有相互垂直的場強為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場。如圖11一1所示，一電子從原點靜止釋放，求電子在y軸方向前進的最大距離。分析和解：雖然電子在O點速度為0，但也可設想其具有沿x方向的速度和逆x軸方向的，滿足，與所對應的洛倫茲力沿y軸反方向，與電子所受電場力平衡。與對應的洛倫茲力與y軸同向

6、。電子的運動可視為一個速率為的沿x軸正向的勻速直線運動和一個速率為的勻速圓周運動的合成，對勻速圓周運動有，而利用微元法處理長直電流與圓形電流的相互作用的問題。例3如圖11一3所示，有一無限長直線電流I0，另有一半徑為R的圓形電流I，其直徑AB與此直線電流近似重合試求 （1）半圓弧AaB所受作用 力的大小和方向； （2）整個圓形電流所受的作用力的大小和方向。分析和解：（1）半圓電流所受磁力見圖11一3 ( b) ，在AaB弧上的C點取一電流元，其所在處的磁感強度方向垂直紙面向里，大小為則電流元上所受到的安培力為，方向沿徑向。現將分解到x軸和y軸，考慮到對稱性，方向沿x軸正方向。 （2）由于左半圓

7、AbB的電流與右半圓AaB的電流等值反向且與I0對稱，所處空間的磁感應強度也是對稱反向的，故兩半圓所受安培力等值同向，都沿x軸正向，那么利用圓電流近似處理為無限長載流直線的方法處理對稱圓形電流間的相互作用的問題。例4（1）圖11一4所示是兩根相同的導線環A與B。中心都在z軸上，兩導線環分別位于平面。為了使兩環互相排斥，它們通的電流方向應是相同還是相反？（2）一個通以電流的導線圓環能在不用任何器械的情況下漂浮在水平的超導平面之上。假設A就是這樣一個均勻圓環，它的質量為M，且它的半徑r遠大于它和超導平面的距離h，平面z=0就是超導平面證明達到平衡時的高度，即導線環A離超導平面的距離。（3）如果飄浮

8、的環在垂直方向上振動，求振動的周期。分析和解：（1）因為r>>h，所以可將兩導線環看作兩根長的平行導線，要它們相互排斥，電流方向必須相反。 （2）因超導體內磁感應強度為零，為抵消A產生的磁力線穿過超導面，即在超導面下，與A對稱處有線圈B，其中電流大小與A中相同，而方向相反。A與超導面的作用相同于A、B兩線圈的作用，把兩環看作兩根長的平行導線，因而A所受的磁場力為當平衡時磁場力應等于重力Mg，所以，即。 （3）在平衡位置附近，可令，為一相對平衡位置的小位移，而合力等于重力和磁場力的合成，即 振動的角頻率為：振動周期為：帶電粒子在感生電場作用和變化的磁場作用下做加速圓周運動的問題。例5

9、一個長的螺線管包含了另一個同軸的螺線管（它的半徑R是外面螺線管的一半）。它們的線圈單位長度具有相同的圈數，且初始時都沒有電流。在同一瞬間，電流開始在兩個螺線管中線性增長。在任意時刻，里邊的螺線管中的電流為外邊螺線管中的兩倍，它們的方向相同。由于增長的電流，一個初始靜止的處于兩個螺線管中間的帶電粒子，開始沿著一根圓形的軌道運動（見圖11一5）。問圓的半徑r為多少？分析和解：在t時刻外邊螺線管中的電流為，在里邊的螺線管中的電流為，其中是一個常數。由這些電流產生的磁場在外邊螺線管中為，而在里邊螺線管中為3B，其中n為單位長度上螺線管的圈數。由半徑為r的粒子軌道所包圍的磁通量為感生電場的大小可以從磁場

10、隨時間的變化率計算得出：，因此帶電粒子由磁場限制在它的圓形軌道上，因此，從作用在它上面的力的總的徑向分量為零，我們可以得到 根據公式，粒子由合力的切向分量沿著它的圓形軌道加速，其中m是質量，q是粒子的電荷。當電場力的大小恒定時，粒子的速度隨時間均勻地增加，把上式和B的值代入方程，我們得到滿足上式的條件為，即運用微元法和節點定律解電路中的自感電動勢的問題。例7如圖11一7(a)所示的電路中，已知，R，r，L，電源內阻不計，電感內阻為r。問閉合電鍵K后，有多少電量通過無電阻導線ab？分析和解：當閉合電鍵K后，由于電感L的存在，支路ad段上的電流從零逐漸增大，直至電流達到穩定。當電流穩定時，電感中無

11、感生電動勢，所以節點a和b的電勢相同，無電流流動。在電流達到穩定之前，支路ad和bc中電流不等，而由兩個R并聯的兩支路中電流相等，所以將有電荷通過導線ab。設自閉合K到電流穩定的過程中任一時刻，各支路中的電流如圖11一7 (b)所示。由無阻導線ab相連的兩點a和b電勢始終相等。因此，流經R的電流應相等，即 寫出a點節點方程： 將每一時刻看成穩恒電流，得 K閉合后L上電流漸增，回路abcda有方程即 利用式、，得 聯立式、得到 從閉合K直至電流穩定，易知從零增加到 所以可以對式兩邊整個過程求和，得到通過ab的電量：變化的磁場產生渦旋電場帶電小球的切向作用力形成力矩的剛體的角動量問題。例8如圖11

12、8所示，在一個半徑為r，質量為m，可以無摩擦地自由轉動的勻質絕緣圓盤中部有一細長螺線管，其半徑為a，沿軸線方向單位長度上繞有n匝線圈，線圈中通以穩恒電流I。在圓盤的邊緣上均勻地嵌著N個帶等量正電荷q的小球。設開始時，螺線管中的電流為I，圓盤靜止，然后將電流切斷，試求圓盤轉動的角速度。分析和解：設螺線管電流切斷后，在t時間內電流從I減為零，在此過程中任意時刻t的電流表示為i(t)，則在t時刻由i(t)產生的磁場B(t)為 B(t)0 ni（t）B的方向沿軸向，B(t)將隨i(t)減小為零，變化的B(t)產生環狀渦旋電場，在r處的渦旋電場E(t)應滿足即因i（t）隨時間減小，。E(t)0。即渦旋電

13、場的方向與電流的方向一致。在半徑為r的圓周上嵌著的N個帶電小球所受的總切向力為它相對轉軸形成的力矩為 由剛體的角動量定理，在電流從I減小為零的t時間內，剛體所獲得的全部沖量矩等于它的角動量的增量。因開始時剛體（圓盤）靜止，角動量為零，故有圓盤繞軸的轉動慣量J為代入上式，得出電流降為零后，圓盤轉動的角速度為。類型八、超導框在非均勻磁場中振動的問題。例9有一邊長為a的正方形小框，由不會發生形變的、電阻為零的超導體材料制成，置于非均勻磁場中，的三個分量為，式中、為常量，線框的自感系數為L，質量為m，水平放置，如圖11一9所示。試確定小線框的運動規律，即在t時刻小線框所處的位置。設在t=0時，小線框的

14、中心O在坐標原點。分析和解：（1）與一般導體在非均勻磁場中運動時 情況不同，無論磁場均勻與否，超導體框內的磁通量恒保持不變。為了確定其值，我們可利用t=0時的值即。 （2）線框中電流強度的計算，小線框中電動勢為零，但電流不為零，這是超導體一個特殊的電磁性質。怎樣確定這個電流I的大小？這里的關鍵在于正確理解超導線框內的為什么不變。當線框從t=0受重力作用開始下滑，其外磁場通過線框的通量因z<0實際上是減小了，因而產生了感應電流，這個感應電流I的磁場是補償線框回路中磁通量減小，所以線框內的總磁通量保持不變。線框位置為z處時感應電流產生的磁通量為。利用電流與磁通量成正比的關系有，從而得到，式中L為線圈的自感。（3）線框受力分析，線框受到沿z軸負方向的力，線框中的電流受到外磁場作用的安培力。Bz對線框產生的力，AB與CD邊上受力大小相等，