1、27.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換【知識網(wǎng)絡(luò)】1 .幾種常用的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系及其相互轉(zhuǎn)化2 .平面坐標(biāo)系中幾種常見變換：平移變換、伸縮變換【典型例題】例1. (D點M的直角坐標(biāo)是(1，肉,則點M的極坐標(biāo)為(C)二二2 二二A. (2,/ B. (2,-)C. (2,)D. (2,2kn+'),(kwZ)33332 二一一提小：(2, 2kn +),(kwZ)都是點M的極坐標(biāo).3(2)在極坐標(biāo)系中有下列各點：A( P,6), B(P, -0), C(P,6 +n), D(P,n -0) , E(-P,8),F(-P -0)(其中P#0).給出下列結(jié)論：C,D兩點

2、關(guān)于極軸所在的直線對稱； A, E兩點關(guān)于過原點且垂直于極軸的直線對稱；C, E兩點重合；B, D兩點關(guān)于極點對稱； A, F兩點重合.其(A)2 Y2X +=1 ,則曲線C16中正確的結(jié)論是C.D.A.B.提示：在極坐標(biāo)系中作出上述各點即可X = x(3)伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為 ，曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓Y =4y的方程為.222222a. x +y =1 b. x +y =4 C. x +y =16工 + a X = x 提示：直接將i代入的方程.Y =4y5二、(4)已知空間點 A的球坐標(biāo)為(2, 一 ,)，則A點的空間直角坐標(biāo)為 4 4(-1,-1, -2)提示：設(shè)一點的球坐標(biāo)為 (，

3、日，中),直角坐標(biāo)為(x, y, z),則 x = rsincos , y = r sin s sin , z = r cos -.n n 在極坐標(biāo)系中，若點 A, B的坐標(biāo)分別為(3,-),(4,-)，則| AB尸, S&OB=(其中O是極點)5,6提示：ZAOB,: MOB為直角三角形2例2.設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為X =3xY=2y22求圓x +y =16在此伸縮變換下的方程,并指出變換后的方程表示什么曲線小上X =3x解：由金可得Y=2yX3Y2代入圓的方程得X2 Y2 一 X2 Y2十=16 ,即十=1 ,94144 64它表示中心在原點、焦點在 x軸上的橢圓為頂點的三

4、角形是等腰三角形例 3.證明：以 A(4,1,9), B(10,-1,6), C(2,4,3)證明:Ab =(6, -2,-3), AC =(-2,3, -6).不存在實數(shù)人滿足熊“AC, ：A,B,C三點不共線,即可以構(gòu)成三角形.又因為| AB|=| AC|=7,AABC是等腰三角形.例4.在x軸上求一點，使它到點 A(41,7)與到點B(3,5, -2)的距離相等解:設(shè)所求的點為 C(x,0,0) ,| AC |=J(x+4)2 +1 + 72 = Jx2+8x+66,| BC|= J(x-3)2 +52 +(-2)2 =收-6x + 38,|AC|=|BC|, Jx2 +8x+66 =

5、Jx2 -6x +38,解之得 x = 2.:所求的點為(一2,0,0).【課內(nèi)練習(xí)】3TJ1.在極坐標(biāo)系中，點(4,二)和(_4,_二)的位置關(guān)系是(D)33A.表示同一點B.關(guān)于極點對稱C.關(guān)于極軸對稱D.關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線對稱(B)2.空間一點的直角坐標(biāo)為 (1,1,3), 則其在相應(yīng)的柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為提示：設(shè)該點在相應(yīng)的柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(P,日，z),則p2 = x2 + y2, tan8=,z = z.' x'7 二3.點M (5 一)為極坐標(biāo)系中的一點，給出如下各點的坐標(biāo)：(-5,-)；(5 );6667 二 (-5,3)；(-5,-3-).其中可以作

6、為點 M關(guān)于極點的對稱點的坐標(biāo)的是(C)A.B.C.D.提示：在極坐標(biāo)系中畫出各點，或根據(jù)極坐標(biāo)的意義4.平面直角坐標(biāo)系中，點 P(M,3)按向量a =(1,5)平移至點Q ,則點Q的坐標(biāo)為(B)A- (-3,8)B(4,-2)C. (3, -8)» (5,2)提示：設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為(x：y')，則(x： y') =(H,3)+(-1,-5)=(4，2)5 .點M的直角坐標(biāo)為(J3, 1),在P至0,0 <6 <2n的要求下，它的極坐標(biāo)為 (2,11二,3提示：點M的直角坐標(biāo)為x =，3, y = 1 ,6 .在直角坐標(biāo)系中，點 A(2,斗)關(guān)于直線x-

7、y 1=0對稱的點是(-2,1)x 2 v-3提不：設(shè)點 A關(guān)于直線x-y-1 =0對稱的點為B(x, y),則AB的中點為M ( -一)，2，2點M 在直線x-y-1 =0上，且直線 AB與直線x-y-1 =0垂直.7 .雙曲線9x2 -16y2 36x+32y124 = 0的焦點坐標(biāo)為；將此雙曲線 I按向量a平移后，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則 a=.(3,1),(7,1) ; (-2,-1)2222提小：將 9x -16y 36x+32y 124=0配方，得 9(x 2) -16(y-1) 144 = 0,_ 22/x -2) (y -1)一即-L=i.二雙曲線的中心為(2,1),對稱軸平行于坐標(biāo)

8、軸，又 c = 5,169:焦點坐標(biāo)為 (-3,1),(7,1).設(shè)a =(h,k),則有 2+h =0,1 +k =0.48 .求直線l : 2x-3y 12 =0按向量a =(2,3)平移后的方程.解：設(shè)直線l上任意一點的坐標(biāo)為(x： y),平移后的直線上任意一點的坐標(biāo)為(x, y),x=x-2 x = x 2則有，即！，代入直線l的方程，得2(x + 2) 3(y3) 12 = 0 ,y =y 3 y =y-3化簡得2x 3y+1 =0. :直線l平移后的方程為2x 3y + 1 = 0.=1,寫出坐標(biāo)變換公式9 .把圓x2 + y2 = 4沿x軸方向均勻壓縮為橢圓一X二mx口xX m設(shè)

9、坐標(biāo)變換公式為由此得Jy,將其代入圓的方程,Y=ny1 =Yn解:、，2. 2比較,22，曰 XY/得 -2- + 2 = 4 ，mn即行而=1.與橢圓方程X24221得 4m =1,4n =4,.m=一,n=1.2X = 2x;坐標(biāo)變換公式為y =y5 二10.已知三角形的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A(2 ) B(4 ) O(0 0),設(shè)BD為AAOB中'6 '' 6 ''OA邊上的高，求AAOB的面積和D點的極坐標(biāo)5 二 二 2 二解：OA=2,OB=4, AOB=一一二663八 .2 二二2 4 sin 3=4、3.又/AOB為鈍角，：點D在AO的延長

10、線上，且 ZBOD =3八1八|OD|=-|OB|=2,:點D的極坐標(biāo)為(2 7三).，6作業(yè)本1在直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為(-1, J3),則在相應(yīng)的極坐標(biāo)系中它的極坐標(biāo)可以是(C)5二5二5二11A.(2,g)B. (2,9) C. (-2 ,&)D . (-2 ,g)2.設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(1,1, J2),則在相應(yīng)的球坐標(biāo)系中，點 M的坐標(biāo)為(D)J JEJI JE< JT JEj JT JEA. (2, , )B. (2, ,)C. (V2, ,) D . (V2, ,)4 34 44 34 4x = ：；cos 二 sin :一 1 提小：由球坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的坐標(biāo)

11、變換公式為：y y = Psin日sin中，Z = ：； COs :門 22 , 2,2P = x + y + z所以由直角坐標(biāo)到球坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式為：ccos中P, ytan 日=一L.X43 .將直角坐標(biāo)系按向量 a =(m, n)平移，新坐標(biāo)系中的點 B與原坐標(biāo)系中的點 A(1,2)有相同的坐標(biāo)，且| AB|=5,則必有(D)A.m=3,n=4b, m=1,n = 2j62222C.m n=5D.m n=25提示：設(shè)點B在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x, y),則有x m = 1, y n = 2 ,.點 B 在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1 + m,2 +n),. (1 +m)12 +(2 +n)

12、22 =52,22即m n =25.(注意坐標(biāo)系不變，點按向量平移與坐標(biāo)系按向量平移的區(qū)別)55.3 54 .點M的極坐標(biāo)為(5 ),則匕的直角坐標(biāo)為(一 -)62 25 .直線2x +3y -1 =0經(jīng)過變換可以化為 mx+ny 1 = 0 ,則坐標(biāo)變換公式是 .提示：設(shè)直線2x+3y 1 =0上任一點的坐標(biāo)為(x, y),直線6x + 6y1 = 0上任一點的坐標(biāo)為(x： y),坐標(biāo)變換公式為x = kx r<,即y =hy1 .x = _ xk ,將其代入直線方程1y"y2x + 3y 1 = 0,23.11信一x +y 1=0,將其與 6x + 6y 1 =0 比較，得

13、 k = 一，h =.k h325二、6 .在極坐標(biāo)系中，求點 M (4,)關(guān)于直線H = 的對稱點的坐標(biāo).123一5 二、,一.二. r .二解：設(shè)點M (4,)關(guān)于直線日=一的對稱點為M ( P 6),線段MM交直線日=一于點 1233. 5二A ,則2M OA =/MOA = 二,.點M 的極角日=一一一二一,又點M , M 123 123 12 4的極半徑相等，. P=4, 二點M 的極坐標(biāo)為(4,).立冗7 . (1)在極坐標(biāo)系中，求點 M (6,一)繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 后的坐標(biāo)；（2）在直角坐標(biāo)系中，求點 A（6, 2褥）繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 土后的坐標(biāo).3TTTTTTTTTT解：（1）點M （6二）繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 后，極半徑不變，極角變?yōu)?二一二=, 4 464612228.將圓x +y =4按向量a =（1,2）平移后再按坐標(biāo)變換公式x2:旋轉(zhuǎn)后點 M的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（6,x進行伸縮變換,y求所得圖形的中心坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.解：圓x2 +y2 =4按向量a =（1,2）平移后所得的方程為（x + 1）2 +（y _2）2 = 4.22設(shè)圓（x+1） +（y-2） =4上任意一點的坐標(biāo)為（x, y）,伸縮變換后