1、假設檢驗概論 二、兩類錯誤二、兩類錯誤 在確定檢驗法則時，應盡可能使犯兩類錯誤的概率都較小但是，一般說來，當樣本容量給定以后，若減少犯某一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率往往會增大，要使犯兩類錯誤的概率都減小，只好增大樣本容量 由于檢驗法則是依據樣本作出的，因此假設檢驗的結果可能犯兩類錯誤： 第一類錯誤：當原假設H0為真時，作出的決定卻是拒絕H0，犯這類錯誤的概率記為 ，即P拒絕H0|H0為真= 第二類錯誤：當原假設H0不正確時，作出的決定卻是接受H0，犯這類錯誤的概率記為 ，即P接受H0|H0不正確 = 在給定樣本容量的情況下，我們總是控制犯第一類錯誤的概率，讓它小于或等于 ，而不考慮犯第

2、二類錯誤的概率這種檢驗問題稱為顯著性檢驗問題顯著性檢驗問題數 稱為顯著性水顯著性水平平 的大小依具體情況確定，通常取 =0.1，0.05，0.01 在對假設進行檢驗時，常使用某個統計量T，稱為檢驗統計量 當檢驗統計量取某個區域 W 中的值時，我們就拒絕原假設 H0 ，則稱區域W 為拒絕域拒絕域拒絕域的邊界點稱為臨界點當檢驗統計量在某區域中取值時，我們就接受 H0 ，則稱此區域為接受域接受域 例1 某車間用一臺包裝機包裝味精，每袋標準重量為100g，由已往經驗知每袋重量的標準差 保持不變，每隔一定時間需要檢查包裝機的工作情況，現抽取 9 袋，測得它們的凈重為： 99.0，100.2，99.3，9

3、9.1，99.6，99.2，99.9，100.1，99.3 假定每袋重量服從正態分布，試問這段時間內包裝機的工作是否正常（取顯著性水平 ）？g5 . 005. 0 解 設每袋重量 ，回答包裝機的工作是否正常，相當于判斷 是否正確因此原假設H0： ，備擇假設為H1： )5 . 0 ,(2NX)(10001000,100在 H0 正確條件下 是一個統計量，且 又因為 是 的無偏估計，所以 不應該很大，即 大過某個常數時，就應該拒絕H0拒絕域的形式為nXu/0) 1 , 0( NuX|0XknX/0|0X. 當 的取值大于 時就應拒絕H0，否則接受H0 于是令犯第一類錯誤的概率為 ，即 查標準正態分

4、布表可得 ，于是有 ./|0knXP2/uk ./|2/0unXPnXu/|02/u 現在 所以拒絕H0，即認為這段時間內包裝機的工作不正常,96. 1,52.9991, 9, 5 . 0,1002/910uxxniinxu/|096. 188. 29/5 . 0|10052.99| * 參數檢驗的一般步驟為： 1根據問題的要求，提出原假設 H0和備擇假設 H1； 2給出顯著性水平 及樣本容量 n ； 3在H0正確下確定檢驗統計量 T 及拒絕域的形式； 4按犯第一類錯誤的概率等于 求出拒絕域W； 5根據樣本值計算 T 的觀察值 t，當 時，拒絕H0，否則接受H0 Wt 三、雙邊檢驗與單邊檢驗三

5、、雙邊檢驗與單邊檢驗 在備擇假設H1： 中， 可能大于 ，也可能小于 ，稱H1為雙邊備擇假設，相應的檢驗稱為雙邊檢驗 如果對假設H0： ，H1： 進行檢驗稱為右邊檢驗 如果對假設H0： ，H1： 進行檢驗稱為左邊檢驗 右邊檢驗的拒絕域為 ，左邊檢驗的拒絕域為 000kt kt 0000 例2 某工廠生產的固體燃料推進器的燃燒率服從正態分布 ， ,現在用新方法生產了一批推進器，從中抽取 n=25只，測得樣本均值為 設在新方法下總體的標準差仍為 ，問這批新推進器的燃燒率是否較以往生產的推進器的燃燒率有顯著提高？取顯著性水平 sN/cm40),(2s/cm2sx/cm25.41s/cm205. 0

6、解 ，依題意檢驗假設為 H0： （即新方法未提高燃燒率） H1： （即新方法提高了燃燒率） 這是一個右邊檢驗問題，其檢驗統計量為 ， 拒絕域為 現在 ，00400) 1, 0(/0NnXu645. 105. 0uuu645. 1125. 325/24025.41/0nxu 即 u 的取值落在拒絕域中，所以在顯著性水平 = 0.05下拒絕 H0，接受 H1，即認為這批新推進器較以往提高了燃燒率 第二節 單個正態總體均值與方差的假設檢驗 一、方差已知時，正態總體均值的假設檢驗u 檢驗 假設總體 ，(X1, X2, , Xn)是來自總體 X 的樣本， 已知，這里要檢驗的假設是H0： ，H1： ),(

7、2NX200 當H0成立時，檢驗統計量 ) 1, 0(/0NnXu 類似地可以檢驗單邊假設（見表8-1） 上述檢驗所用統計量服從標準正態分布，稱為 u 檢驗法 對于給定的顯著性水平 ，拒絕域為 |2/uuuW 例1 一種元件，要求其平均壽命不小于1000h，現在從一批這種元件中隨機抽取25件，測得平均壽命為 950 h，已知這種元件壽命服從 =100 h 的正態分布，試在顯著性水平 = 0.05 條件下確定這批元件是否合格 解 H0： ，H1： . 當H0為真時，檢驗統計量 10001000) 1, 0(/1000NnXu 對于給定的顯著性水平 = 0.05, 查表得 此題是一個左邊檢驗的問題

8、，拒絕域為 現在 n = 25， = 100， = 950 所以拒絕H0，而接受H1，即認為這批元件不合格 645. 105. 0 uu645. 1uu645. 15 . 2/1000nxux 二、方差未知時，正態總體均值的假二、方差未知時，正態總體均值的假設檢驗設檢驗t t 檢驗檢驗 設總體 ， 未知，(X1，X2，Xn)是來自總體 X 的樣本這里要檢驗的是H0： ，H1： ),(2NX200. ) 1(/0ntnSXT 對于給定的顯著性水平 ，拒絕域為 . 2) 1(|2/ntt 我們用 S 2 代替 ，當H0為真時，檢驗統計量 上述檢驗統計量服從 t 分布，稱這種檢驗為 t 檢驗類似地可

9、以進行單邊檢驗（見表8-1） 解 這里是在總體方差 未知的情況下，檢驗假設 H0： ，H1： 在H0成立時，檢驗統計量 對于給定的顯著性水平 =0.05，拒絕域為15001502. ) 1(/0ntnSXT. ) 1(|2/ntt 例2 某車間加工一種零件，要求長度為150mm，今從一批加工后的這種零件中抽取 9 個，測得長度如下：147，150，149，154，152，153，148，151, 155 假設零件長度服從正態分布，問這批零件是否合格（取 = 0.05）？ 這里 所以接受H0，即認為這批零件合格,15191, 991iixxn, 5 . 7)(1919122iixxs,739.

10、25 . 7s.306. 2)8() 1(025. 02/tnt.306. 2096. 1/|0nsxt 三、正態總體方差的假設檢驗三、正態總體方差的假設檢驗 檢驗檢驗2 設總體 , (X1，X2，Xn)為X 的樣本，給定顯著性水平 1當 已知時，方差 的假設檢驗 H0： ，H1： 其中 為已知常數檢驗統計量),(2NX202202.)()(121220nXTnii220 對于給定的顯著性水平 ，拒絕域為 或 上述檢驗的統計量服從 分布，稱此種檢驗為 檢驗，類似地可以進行單邊檢驗（見表 8-1）)(22/1nt)(22/nt22 或 2當 未知時， 的假設檢驗 H0： ，H1： 檢驗統計量 對

11、于給定的顯著性水平 = 0.1 ，拒絕域為2202.) 1() 1(2202nSnT202) 1(22/1nt) 1(22/nt 例3 某廠生產的尼龍纖維的纖度在正常情況下服從正態分布，其標準差 =0.048，某日抽取5根纖維，測得它們的纖度為1.32，1.36，1.55，1.44，1.40 試問能否認為這一天尼龍纖維的纖度的標準差 =0.048（取 =0.1）？ 解 這里要檢驗的假設是 H0： =0.048，H1： 0.048 檢驗統計量 對于給定的顯著性水平 =0.1，拒絕域為 或 .) 1(048. 0) 1(222nSnT) 1(22/1nt) 1(22/nt 這里 =1.414， =

12、0.00778， 所以拒絕H0，即不能認為這一天尼龍纖度的標準差 =0.048,711. 0)4() 1(295. 022/1n,488. 9) 4() 1(205. 022/nx2s. )4(51.13048. 000778. 0) 15(205. 02t第三節 兩個正態總體均值差與方差比的假設檢驗 設總體 X 與 Y 相互獨立， ， , (X1，X2，Xm)與 (Y1，Y2，Yn) 分別為來自總體 X 與 Y 的相互獨立的樣本),(211NX),(222NY 一、方差已知時，兩個正態總體均值差的假設檢驗u 檢驗 設 為已知，要檢驗的假設為 H0： ，H1： ， 也可以寫成 H0： ，H1：

13、 2221,2102121021 檢驗統計量為 對于給定的顯著性水平 , 查表得 , 使得 拒絕域為. ) 1, 0(2221NnmYXu2/u,|2/ uuP.|2/uu 二、方差未知但相等時，兩個正態總體均值差的假設檢驗 t 檢驗22221, )2(11nmtnmsYXtw 設 為未知，要檢驗的假設為 H0：1=2(12= 0)，H1：12 檢驗統計量 其中 ， ， 對于 給定的顯著性水平， 查表得t/2( )使 得 P| t |t/2( )=， 從而可知拒絕域為 | t |t/2( )2) 1() 1(22212nmSnSmsw2wwss2 nm2 nm2 nm 注意 當 與 未知時，首

14、先要檢驗方差齊性，即要檢驗 = ，然后才能使用上述檢驗法21222122 例1 在甲、乙兩個工廠生產的蓄電池中，分別取5個測量電容量，數據如下： 甲廠：143 141 138 142 140 乙廠：141 143 139 144 141設甲、乙兩廠蓄電池的電容量分別服從 N(1， )和N(2， )，且 = .問兩廠的電容量有無顯著差異(取=0.05)？21222122 解法一 設X，Y分別表示甲、乙兩廠蓄電池 的電容量，于是有XN(1， )，YN(2， )， = 要檢驗的假設為H0：1=2，H112 檢驗統計量 拒絕域為 | t |t/2( m+n2)2221. )2(11nmtnmsYXtw

15、2221 這里=0.05，m = n = 5，查表得 t/2(m+n2) = t 0.025(8) = 2.306， (143+141+138+142+140)=140.8 ， (141+143+139+144+141)=141.6 ，51x51y = 0.6535 2.306， 即| t | t0.025(8)，因此接受原假設H0，即認為甲乙兩廠蓄電池的電容量無顯著 差異 (143 140.8)2+(141 140.8)2+(138 140.8)2 +(142 140.8)2+(140 140.8)2=3.699 ， (141 141.6)2+(143 141.6)2+(139 141.6)

16、2 +(144 141.6)2+(141 141.6)2=3.799 ， = 3.7499，4121s4122s84422212sssw51517499. 3|6 .1418 .140|11|nmSyxtw 解法二 (當兩個樣本容量相等時，兩個正態總體均值是否相等的檢驗，可化為單個總體 Z = XY 的均值是否為零的檢驗) 設 Z = XY，則 Z N (，2)，其中=12， ，由已知數據可知Z的樣本觀察值為22212 2，2，1，2，1 需要檢驗的假設為 H0：=0，H1：0 檢驗統計量為 拒絕域為| t |t/2(n1) 1(/ntnSZt. 這里= 0.05，n = 5，查表得 t/2(

17、n1) = t0.025(4) = 2.7764， (22121) = 0.8，s2 = 2.699于是 = 0.2177 2.7764 因此接受原假設 H0，即認為兩廠蓄電池的電容量無顯著差異51z5/699. 28 . 0/|nszt 注 兩種解法的結果相同，而后一種解法的計算量較前一種解法要小得多另外，后一種解法可以取消 的要求2221 三、兩個正態總體方差比的假設檢驗三、兩個正態總體方差比的假設檢驗F 檢驗檢驗 1均值1，2已知時，方差比 的假設檢驗2221/ 這里要檢驗的假設為 H0： , H1： 由于 且 與 相互獨立，在H0成立的條件下，有22212221, )()(1, )()

18、(12122222221212121nYmXnjjmii. ),()()(/1221212221nmFmnYXnmFnjjmii2122 對于給定的顯著性水平，查表得F/2(m, n)和 F1/2(m, n)，我們有PF1/2(m, n) F F/2(m, n) = 1， 因此得到拒絕域為F F1/2(m, n) 或 F F/2(m, n) 這種利用 F 分布進行檢驗的方法，稱為 F 檢驗 2均值1，2未知時，方差比 的假設檢驗2221/ 這里要檢驗的假設為 H0： ，H1： 由于22212221, ) 1() 1(, ) 1() 1(22222222212121nSnmSm 且 與 相互獨立

19、，在H0成立的條件下，有. ) 1, 1(1/1/22212221nmFSSnmF2122 PF1/2(m1, n1) F/2(m1, n1)=1， 因此得到拒絕域為 F1/2(m1, n1) 或 F/2(m1, n1) 對于給定的顯著性水平，查表得 F/2(m1, n1) 和 F1/2(m1, n1)， 我們有2221SS2221SS2221SS 例2 從兩個正態總體分別獨立地抽取樣本觀察值如下： 甲：4.4 4.0 2.0 4.8 乙：6.0 1.0 3.2 0.4能否認為兩個樣本觀察值來自同一總體(取=0.05) 解 設兩個正態總體分別為 XN(1， )和YN(2， )，首先檢驗 H0：

20、 = 由于1，2未知，所以檢驗統計量為 F = F (m1, n1) 拒絕域為 F1/2(m1, n1) 或 F/2(m1, n1)22212221SS21222221SS2221SS 這里=0.05，m = n = 4，查表得 F/2(m1, n1) = F0.025(3.3)=15.44， F1/2(m1, n1) = 由于 0.065 = = 0.24 15.44， 因此接受原假設H0，即認為兩個正態總體的方差相同( = ),065. 044.151) 3 . 3 (1) 1, 1(1025. 02/FmnF,8 . 3x,6 . 2y,55. 121s,44. 622s2221ss44

21、. 655. 12122 下面再檢驗假設 ：1=2 0H 由于 = 但未知，所以取檢驗統計量為 拒絕域為| t |t/2(m + n2)2122. )2(11nmtnmsYXtw 因為t/2(m+n2) = t0.025(6) = 2.4469，而 = 0.82 2.4469， 所以接受 ，即認為兩個正態總體的均值相同4141644. 6355. 13|65. 280. 3|11|nmsyxtw0H 綜上所述，在顯著性水平 = 0.05下，認為兩個樣本值來自同一總體 名 稱條 件假 設 統 計 量 及 其 分 布拒 絕 域H 0H 1附表附表 正態總體參數的假設檢驗表正態總體參數的假設檢驗表總

22、 體 數已 知已 知未 知未 知 檢 驗 檢 驗 ut222221,22211122002121000000212121212121) 1 , 0(0NnXu)1 ,0(2221NnmYXu) 1(0ntnSXt)2(11nmtnmSYXtw2) 1() 1(22212nmSnSmSw|u| u/2u u u -u|u| u/2u u u -u| t | t/2(n1) t t(n1) t -t(n1)| t | t/2(m+ n2) t t(m+ n2) t -t(m+ n2)檢 驗 已 知未 知21202202202202202202202202附表附表 正態總體參數的假設檢驗表正態總體參

23、數的假設檢驗表 ( 續表續表)檢 驗 已 知未 知21,22221222122212221 名 稱條 件假 設 統 計 量 及 其 分 布拒 絕 域H 0H 121,F2221222122212221總 體 數miinX122202)()(1) 1() 1(22022nSn),()()(122121nmFYmXnFnjjmii) 1, 1(2221nmFSSF)(22/12n)(22/2n)(22n)(212n或 ) 1(22/12n) 1(22/2n)1(22n) 1(212n或 ),(12/mnFF),(2/nmFF),(nmFF),(1mnFF或) 1, 1(12/mnFF) 1, 1(

24、2/nmFF)2, 1(nmFF) 1, 1(1mnFF或第四節 大樣本情況下非正態總體均值的假設檢驗 設非正態總體 X 具有有限的均值 E (X ) =和非零方差 D(X) =2，當樣本容量 n 很大 (n50) 時，由中心極限定理可知 近似地服從標準正態分布N(0,1)，要檢驗的假設為H0：=0 nXDXEXu/ )()( （1）當方差2已知時，在H0成立的條件下，檢驗統計量 （1）近似服從標準正態分布N(0,1)，對于給定的顯著性水平，查表得 u/2，使 ,因此得到拒絕域為nXu/0|2/uuP.|2/uu （2）當方差2未知時，用 S2 代替2，檢驗統計量為 （2）仍然近似服從標準正態

25、分布 N (0,1)，拒絕域為nSXu/0.|2/uu （3）右邊檢驗 H0：=0，H1：0的拒絕域為 左邊檢驗 H0：=0，H1：0的拒絕域為.uu .uu 例1 某工廠生產一批產品，要求次品率不超過10%，如果從產品中抽取50件，發現有8件次品，可否認為這批產品合格(取=0.05)？ 解 設次品率為 p，要檢驗的假設為 H0：p = p0 = 0.1， H1：p0.1 由于總體 X 服從參數為 p 的 (0-1) 分布，方差為2 = D (X ) = p (1p)在H0 成立的條件下，檢驗統計量為拒絕域為 uu.)1 (/0000npppXnpXu 這里 u= u0.05 = 1.645，

26、n = 50， ，于是因此，在顯著性水平=0.05下接受H0，即認為這批產品合格16. 0508x,645. 1414. 1509 . 01 . 01 . 016. 0u 例2 對于一個未知分布的總體 X ，從中抽取容量為150的樣本觀察值，算得 ，s = 4，在顯著性水平=0.05下檢驗假設H0：= 04 . 0 x 解 這里方差2未知，因此檢驗統計量為 拒絕域為 查表得 = u0.025 = 1.96 ./0nSXu2/|uu 2/u由于所以接受H0，即認為總體的均值=0,96. 122. 15044 . 0/|0|nsxu 在總體 X 的分布未知時，檢驗總體的分布函數 F ( x ) 是

27、否與已知的分布函數 F0( x ) 有顯著差別，即檢驗H0：F(x)=F0(x) 這類問題稱為非參數檢驗 若總體分布為離散型，則上述假設相當于 H0：總體 X 的分布律為 若總體分布為連續型，則相當于檢驗假設H0：f (x) = f0 (x) （ f0(x) 為已知密度函數）2 , 1,ipaXPii第五節 總體分布的假設檢驗 檢驗2區間的頻率為 ，如果假設 H0 成立，即 F(x)=F0(x)，則落入第 i個區間內的概率為 在這里，視 稱 pi 為理論頻率，稱 nipi 為理論頻數 為檢驗假設H0，在實數軸上取k1個點 t1 t2tk1，把實數軸分成 k 個區間：( , t1，( t1, t

28、2，( tk1， ) 對于總體 X 的一個樣本觀察值( x1, x2, ，xn )，計算出 x1，x2， ，xn 落入第 i 個區間 (ti1, ti的個數ni（稱為實際頻數 )，則落入該), 2 , 1(/kinni., 2 , 1)()(1001kitFtFtXtPpiiiiiktt,0 由頻率與概率的關系知道，當原假設H0成立時，(ni /npi)2 應該比較小，也應該比較小，因此比較小才合理上式稱為皮爾遜統計量kinpnpnnppnniiiiii, 2 , 1)(/)/(22kiiiinpnpn12)( 如果F0(x)中含有r 個未知參數1,2,r 即總體 X 的分布函數為 F0 ( x；1,2,r )，則應先求出1,2,r 的極大似然估計 ，再求出r,21., 2 , 1),;(),;(2110210kitFtFpririi 可以證明，在假設H0成立的條件下，不論F0(x)是怎樣的分布函數，當樣本容量充分大時，皮爾遜統計量總是近似地