1、間時(shí)試考題號(hào)一二三四五六七八九總分分?jǐn)?shù)簽名、單項(xiàng)選擇題(每小題 4分，本題滿(mǎn)分20分)1.設(shè),1, 2, 3均為四維列向量，已知|A| |( , 1, 2, 3)| 5,BI |( , 1, 2, 3)|1,則 |A B| 【C 】名姓(A) 4 ;(B) 6;(C) 32;(D) 48.12 八_2 .行列式中兀素a21 3的代數(shù)余子式為 B 3 4(A) 1；(B)2；(C) 2；(D) 4.3 .設(shè)A為m n矩陣，則齊次方程組 AX 。有非零解的充要條件是 C (A) m n ；(B) m n；(Q R(A) n ;(D) | A 0.4 .設(shè)是方陣A的特征值且A2 A ,則的值為【A】

2、(A) 0或 1;(B) 1;(C) 0;(D) 1 或-1.5 .n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充要條件是【 D】(A) A 0 ;( B)存在n階矩陣C,使A CTC ；密(C) A的特征值均是非負(fù)數(shù)；(D) A的各階主子式均大于零或 二、填空題(每小題 4分，本題滿(mǎn)分20分)本題 得分1.已知A 0 2 3 ,則AA362.設(shè)線性方程組X1X2X3X1X2X3XiX2X300 有唯一解，則0的值應(yīng)為2,1數(shù)代性線3.向量組 1(1,2, 1)T ,2( 1, 2,1)T, 3(1,2,3)T 的秩為 24.齊次方程組X1 2x2 3x3 4x40的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為5.設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，

3、(1, 2, 3)和 (k, 4,1)是A屬于不同特征值1和2的特向目科 試考三、（本題滿(mǎn)分解：將第2行的負(fù)一倍加到其它行得12222222223222248分）計(jì)算4階行列式D4本題得分1000（4分）222200100002222（8分）01040021 0 01 0 01四、（本題滿(mǎn)分8分）已知等式110X0012 成立，求矩陣X .（3分）本題 得分11 0 01001 1 01101 1 101 1（6分）（8分）五、（本題滿(mǎn)分10分）已知非齊次線性方程組的一個(gè)特解；（2）求對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系;XiXiXiX2X2X2X3 X40x3 2x42, ( 1)求該方程組3x3 4

4、x42（3）寫(xiě)出該方程組的通解本題 得分解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換得1燕山大學(xué)試卷同解方程為(Ab) 00X1X32x3X22X43x4令X3X40 ,得特解(1,0,1,0)T對(duì)應(yīng)的齊次方程為X1 X3 X2 X42x3 3x4X2,得齊次方程組的基礎(chǔ)解系X4T 13 td，1，。，。），2 （2，0，2，1）方程組的通解為10分k1 1 k2 2*1*2 R)六、（本題滿(mǎn)分 10分）已知二次型f（Xi，X2，X3）x22x210x22X1X22空38X2X3,（1）用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣；（2）判斷其是否為正定二次型.解：（1）r2c,、/、2/、2- 2c2fX12X

5、1（X2X3）（X2X3）（X2X3）2X28X2X310X3本題 得分/、22 cc 2（X1x2x3）x26x2x39x3（X1X2X3）2（X23X3）222yy2 5分yX1X2X3X1y1y 2 y其中 y2X2 3x3即 X2y2 3y3y3X3X3y3112所用的變換矩陣C 013（C 1 0）- 8分0 01（2）由以上結(jié)果可知該二次型的正慣性指數(shù)為2 （或標(biāo)準(zhǔn)形中大于零的系數(shù)個(gè)數(shù)為所以該二次型不是正定二次型。（注：利用順序主子式方法判別正確亦給分）2）, 10 分七、（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)A 00,（1）求矩陣A的特征值和特征向量；（2）求可逆矩陣P ,使得P1AP為對(duì)角陣.本

6、題得分解 （1）矩陣A的特征方程為12)2(1) 0燕山大學(xué)試卷特征值1,2,21時(shí),得基礎(chǔ)解系所以屬于特征值解齊次方程組(1E0A)X10, 01E A 01(1,0,0)T11的特征向量為k1 1（ k1當(dāng)2 2時(shí)，解齊次方程組得基礎(chǔ)解系所以屬于特征值 k2(2)令0)(2E1A)X1(0,1,0)T,(1,0,1)T2的特征向量為k3 3（其中（33不全為零1, 2, 3)0010分-1 -P AP22八、(本題滿(mǎn)分8分)若向量組 證明1,2, 3也線性無(wú)關(guān).解：設(shè)有Xi, X2 ,X3使即Xl( 12(Xi X2因1，2，3線性無(wú)關(guān)，故有而方程組只有零解 XiX2X31 , 2 , 3線性無(wú)關(guān)，且11Xi 1, X2 2 X3 303) X2( 12 ) X3(1)0X3)1 (X1 X2) 2 X1 3 0X1 0X1 X20X1 X2 X3 00,所以1, 2, 3也線性無(wú)關(guān)3 ,212 ,31 ,本題得分4分8分九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)方陣 A滿(mǎn)足A2 6A 8E O ,且A