1、第六章第六章 多采樣率信號處置多采樣率信號處置 至今，我們討論的信號處理的各種理論與算法至今，我們討論的信號處理的各種理論與算法都是把抽樣頻率都是把抽樣頻率sf視為恒定值，即在一個數字系視為恒定值，即在一個數字系統中只有一個采樣率。統中只有一個采樣率。 在實際數字信號處理系統中，經常會遇到采樣在實際數字信號處理系統中，經常會遇到采樣率轉換問題。率轉換問題。或者要求一個數字系統能工作在或者要求一個數字系統能工作在“多采樣率”狀態，或者要求其將采樣信號轉換“多采樣率”狀態，或者要求其將采樣信號轉換為新的采樣率下工作。為新的采樣率下工作。 幾個例子：幾個例子：一個數字系統，經過該系統傳輸的既有語一個

2、數字系統，經過該系統傳輸的既有語音信號，也有音信號，也有FAXFAX信號，甚至有視頻信號，信號，甚至有視頻信號，這些信號的頻率成分相差甚遠。因此，該系這些信號的頻率成分相差甚遠。因此，該系統應具有多種抽樣頻率并自動地完成采樣率統應具有多種抽樣頻率并自動地完成采樣率的轉換；的轉換；對低采樣率的信號進展準確的時間對準或對低采樣率的信號進展準確的時間對準或時間估計時，需求進展升采樣率處置，對高時間估計時，需求進展升采樣率處置，對高采樣率的信號進展部分頻段的準確頻譜分析采樣率的信號進展部分頻段的準確頻譜分析時，常采用降采樣率處置，在時空信號處置時，常采用降采樣率處置，在時空信號處置時，常進展升采樣率和

3、降采樣率混合處置；時，常進展升采樣率和降采樣率混合處置；當需求將數字信號與一些特殊系統的時鐘當需求將數字信號與一些特殊系統的時鐘同步時，能夠需求進展采樣率的轉換；同步時，能夠需求進展采樣率的轉換；對非平穩隨機信號如語音作譜分析或對非平穩隨機信號如語音作譜分析或編碼時，對不同的信號段可根據其頻率成分編碼時，對不同的信號段可根據其頻率成分的不同而采用不同的采樣率，到達既滿足抽的不同而采用不同的采樣率，到達既滿足抽樣定理又最大限制地減少數據量的目的。樣定理又最大限制地減少數據量的目的。 以上幾個例子都需求能對采樣率進展轉以上幾個例子都需求能對采樣率進展轉換，或要求數字系統任務在多采樣率形狀。換，或要

4、求數字系統任務在多采樣率形狀。 所以，建立在采樣率轉換實際根底上的所以，建立在采樣率轉換實際根底上的“多采樣率數字信號處置已成為數字信號多采樣率數字信號處置已成為數字信號處置這一學科中的重要內容。處置這一學科中的重要內容。實實現現采采樣樣率率轉轉換換的的方方法法有有三三個個： 一一 是是 若若 原原 模模 擬擬 信信 號號)(tx可可 以以 再再生生，或或是是已已記記錄錄下下來來，那那么么可可重重新新抽抽樣樣； 二二是是將將 nx通通過過 D D/ /A A 變變成成模模擬擬信信號號)(tx后后，對對)(tx經經 A A/ /D D 再再抽抽樣樣； 三三是是發發展展一一套套算算法法，對對抽抽樣

5、樣后后的的數數字字信信號號)(nx在在“數數字字域域”作作采采樣樣率率轉轉換換，以以得得到到新新的的抽抽樣樣。 方方法法一一有有時時不不現現實實，方方法法二二要要再再一一次次地地受受到到 D D/ /A A 和和 A A/ /D D 量量化化誤誤差差的的干干擾擾，方方法法三三相相對對較較為為理理想想。 主要討論第三種方法主要討論第三種方法, ,在在“數字域作采樣數字域作采樣率轉換的方法。減少采樣率以去掉多余數據率轉換的方法。減少采樣率以去掉多余數據的過程稱為信號的的過程稱為信號的“抽取，添加采樣率以抽取，添加采樣率以添加數據的過程稱為信號的添加數據的過程稱為信號的“插值。插值。本節所涉及的內容

6、也是語音及圖象數據緊縮本節所涉及的內容也是語音及圖象數據緊縮的新技術的新技術子帶編碼子帶編碼subband codingsubband coding的重要實際根底。的重要實際根底。 6.1 6.1 信號的抽取信號的抽取設設snTttxnx)()(， 如果希望將抽樣頻率， 如果希望將抽樣頻率 sf減減小小 M M 倍，一個最簡單的方法是將倍，一個最簡單的方法是將 )(nx中每中每 M M 個點個點中抽取一個，依次組成一個新的序列中抽取一個，依次組成一個新的序列 )(nx，即，即 )()(mMmxmx （6 6.1.1） 圖圖6.1.1 6.1.1 信號抽取表示圖，信號抽取表示圖，M=3M=3，橫

7、坐標為抽樣點數，橫坐標為抽樣點數a a原信號；原信號；b b中間信號；中間信號；c c抽取后的信號抽取后的信號顯然顯然 nnjjenxeX)()(nnjeMnx)( nMjnjeXeMnx)()(/11 (6.3(6.3a a) ) 而而 nnjjenpnxeX)()()(1 nnjMkMnkjeeMnx1)(10/2 10)/2()(1MkMkjeXM (6.3 (6.3b b) ) 10/21)n(pMkMnkjeM為周期序列為周期序列 p(n)p(n)的付里葉級的付里葉級數展開。數展開。 所所以以 10/)2()(1)(MkMkjjeXMeX （6 6. .4 4） 式式中中)(jeX，

8、)(jeX分分別別是是)(nx和和)(nx的的D DT TF FT T。這這樣樣，)(jeX是是原原信信號號頻頻譜譜)(jeX先先作作M M 倍倍的的擴擴展展再再在在軸軸上上每每隔隔M/2的的移移位位疊疊加加，如如圖圖 6 6. .1 1. .2 2( (b b) )和和（c c）所所示示，圖圖中中 M M= =2 2。 圖圖6.1.2 6.1.2 抽取后對頻域的影響抽取后對頻域的影響（a a）原模擬信號）原模擬信號)(tx的頻譜的頻譜)( jX； （b b）)(nx的頻譜的頻譜)(jeX，沒有發生混疊；，沒有發生混疊； （c c）作）作 M=2M=2 倍的抽取，倍的抽取，)(jeX中發生混疊

9、；中發生混疊； （d d）對）對)(nx先作低通濾波再抽取；先作低通濾波再抽取； （e e）低通濾波器的頻譜；）低通濾波器的頻譜； （f f）對）對)(nx濾波后的頻譜濾波后的頻譜)(jew； （g g） 對） 對)(nw作抽取得作抽取得)(ny， 在， 在)/(MM內內)(jjeXeY 由由抽抽樣樣定定理理，在在第第一一次次對對)(tx抽抽樣樣時時，若若保保證證csff2，那那么么抽抽樣樣的的結結果果不不會會產產生生混混疊疊，如如圖圖6 6. .1 1. .2 2( (a a) )和和（b b）所所示示。對對)(nx作作 M M 倍倍抽抽取取后后得得)(nx，若若保保證證能能由由)(nx重重

10、建建)(tx，那那么么，)(jeX 的的一一個個周周期期)(MM也也應應等等于于)( jX，這這要要求求抽抽樣樣頻頻率率與與信信號號最最高高頻頻率率之之間間必必須須滿滿足足csMff2。如如果果不不滿滿足足，那那么么)(jeX 將將發發生生混混疊疊，如如圖圖（c c）所所示示。因因為為 M M 是是可可變變的的，所所以以很很難難要要求求在在不不同同的的 M M 下下都都保保證證csMff2。為為此此，可可以以在在抽抽取取之之前前先先對對)(nx作作抗抗混混疊疊低低通通濾濾波波，然然后后再再抽抽取取，如如圖圖（d d）所所示示。令令)(nh為一理想低通濾波器，即為一理想低通濾波器，即 其它0/1

11、)(MeHj （6 6.5.5） 如圖（如圖（e e）所示。令濾波后的輸出為）所示。令濾波后的輸出為)(nw，則，則 kknxkhnw)()()( 再令對再令對)(nw抽取后的序列為抽取后的序列為)(ny，則，則 )()()()(mpmwMmwmy kkMmxkh)()(kkxkMmh)()( （6 6.6.6） 該式實際將低通濾波和抽取兩個過程統一起來處理，因該式實際將低通濾波和抽取兩個過程統一起來處理，因為為 x(n)x(n)中的非中的非 M M 整數倍點不需關心， 所以統一處理時實整數倍點不需關心， 所以統一處理時實際省略了對這些點的濾波處理，從而減少了運算量。際省略了對這些點的濾波處理

12、，從而減少了運算量。 現現在在從從濾濾波波器器來來看看)(ny與與)(nx頻頻譜譜之之間間的的關關系系。 先先從從)(ny的的 Z Z 變變換換入入手手，即即 mmmmzMmwzmyzY)()()( mMmzmpmw/)()( 因因為為 p p( (m m) )可可以以看看成成是是周周期期為為 M M 的的離離散散序序列列，可可展展開開為為傅傅立立葉葉級級數數形形式式： 10/21)(MkMkmjeMmp 所所以以有有 mMmMkMkmjzeMmwzY/10/21)()( 10/1/2)(1MkMMkjzeWM 又又因因為為 )()()(zXzHzW 所所以以 10/1/2/1/2)()(1)

13、(MkMMkjMMkjzeHzeXMzY （6 6. .7 7） 令令相相對對)(jeY的的圓圓周周頻頻率率為為y，相相對對)(jeX的的圓圓周周頻頻率率為為x，則則 xsssyyMfMfMffff/2)/(2/2 ( (6 6. .8 8) ) 這樣，我們可由（這樣，我們可由（6.76.7）及（）及（6.86.8）式得到）式得到)(jeY和和)(jeX的關系，即的關系，即 10/ )2(/ )2()()(1)(MkMkjMkjjyyyeHeXMeY 10)/2()/2()()(1MkMkjMkjxxeHeXM （6.96.9） 式中，若式中，若y，則，則Mx/，這也正是（，這也正是（6.46

14、.4）式）式所給出的關系。所給出的關系。 用時域表示，有用時域表示，有 )()()()(mpmwMmwmy kkMmxkh)()( kkxkMmh)()(與式與式 6 6.6.6 相同相同圖圖6.1.3 6.1.3 降采樣處置的頻譜變化過程降采樣處置的頻譜變化過程6.2 6.2 信號的插值信號的插值如果將如果將)(nx的抽樣頻率的抽樣頻率sf增加增加 L L 倍， 得倍， 得)(),(nwnw即即是對是對)(nx的插值，用符號的插值，用符號L L 表示。表示。插值的方法很多，插值的方法很多，一個簡單的方法就是信號抽取的逆處理過程。一個簡單的方法就是信號抽取的逆處理過程。 回想信號抽取前后的傅立

15、葉變換關系回想信號抽取前后的傅立葉變換關系 10)/2(1)(1)(MkMkjjeXMeX 10/ )2()(1)(MkMkjjeXMeX 其中，其中，X(eX(ej j) )為原序列的傅立葉變換，為原序列的傅立葉變換，X X1 1(e(ej j) ) 為原為原序列序列的非的非 M M 整數倍處變為零后的傅立葉變換，整數倍處變為零后的傅立葉變換，X X(e(ej j) )為對原序列降采樣率為對原序列降采樣率 1/M1/M 倍后的傅立葉變換。倍后的傅立葉變換。 想想 象象 一一 下下 ， 現現 在在 的的x x ( ( n n ) ) 相相 當當 于于 降降 采采 樣樣處處 理理 中中 的的 x

16、 x ( ( n n ) ) ，如如 果果 我我 們們 在在)(nx每每 相相 鄰鄰 兩兩個個 點點 之之 間間 填填 充充 L L - - 1 1 個個 零零 ， 相相 當當 于于 降降 采采 樣樣 處處理理 中中 的的 x x1 1( ( n n ) ) ， L L 相相 當當 于于 降降 采采 樣樣 處處 理理 中中 的的 M M 。從從 傅傅 立立 葉葉 變變 換換 關關 系系 看看 ， 插插 零零 序序 列列x x1 1( ( n n ) ) 的的傅傅 立立 葉葉 變變 換換X X1 1( ( e ej j ) ) 為為 所所 要要 求求 的的 內內 插插 序序 列列y y ( (

17、n n ) ) 的的 傅傅 立立 葉葉 變變 換換 Y Y ( ( e ej j ) )（ 相相 當當 于于 降降 采采 樣樣處處 理理 中中 原原 序序 列列 x x ( ( n n ) ) 的的 傅傅 立立 葉葉 變變 換換 X X ( ( e ej j ) ) ）的的L L 項項 周周 期期 沿沿 拓拓 ， 周周 期期 為為2 2 / / L L ， 如如 果果 再再加加 一一 低低 通通 濾濾 波波 器器 濾濾 出出 主主 值值 頻頻 譜譜 ， 也也 就就 得得 到到了了 所所 要要 求求 的的 內內 插插 序序 列列 y y ( ( n n ) ) 。 圖圖6.2.1 6.2.1 信

18、號的插值信號的插值a a原信號原信號 b b插入插入L-1L-1個個0 0后的后的w(n) L=2w(n) L=2因此內插方法為，首先在因此內插方法為，首先在)(nx每相鄰兩個點之間填每相鄰兩個點之間填充充 L L- -1 1 個零，個零，即令即令 為其它值mLLmLmxmw0,2, 0)/()( （6.116.11） 如圖如圖 6.2.16.2.1 所示。所示。 然后再對該序列作低通濾波處理。然后再對該序列作低通濾波處理。 記記)(),(nwnx的的 D DT TF FT T 分分別別為為)(xjeX，)(yjeW，由由于于 LLffffxxsyy/)/(2/2 ( (6 6. .1 12

19、2) ) 所所以以 為整數LmeLmxemweWmjmmjmjyyy/)/()()( )()(xyjjLeXeX （6 6. .1 13 3） 若若令令 yjez 則則 )()(LzXzW 實際上實際上)(yjeW除在除在)/(LL內等于內等于)(jeX, ,還有周期延拓部分還有周期延拓部分（即多余的映像部分） ，為此，我（即多余的映像部分） ，為此，我們在插值后仍需使用低通濾波器以截取們在插值后仍需使用低通濾波器以截取)(yjeW的一的一個周期，去掉多余的映像。為此，令個周期，去掉多余的映像。為此，令 其它0/)(LCeHyjy （6.146.14）式中式中 C C 為常數，是定標因子。令為

20、常數，是定標因子。令)(nw通過通過)(nh后的后的輸出為輸出為)(ny。則則 ()()()()/yyyxjjjLjyY eH eX eCX eL （6.156.15）因為因為 yjdeYyy)(21)0( 0212/xLCdeXLCdeXCxjyLLjLxy所以應取所以應取 C=LC=L 以保證以保證)0()0(xy。在這里，在這里，信號的插值雖然是靠插入信號的插值雖然是靠插入 L-1L-1 個零來實個零來實現的，但將現的，但將)(nw通過低通濾波器后，這些零值點將通過低通濾波器后，這些零值點將不再是零，從而得到插值后的輸出不再是零，從而得到插值后的輸出 y(n)y(n)。用用時時域域表表示

21、示，有有 )()()(kwkmhmyk kLkxkmh)()( k k/ /L L 為為整整數數 rrxrLmh)()( 在在這這個個算算式式中中，因因省省略略了了大大量量對對內內插插的的零零的的運運算算，從從而而可可提提高高運運算算效效率率。 圖圖6.2.3 6.2.3 信號的插值過程及頻譜變化信號的插值過程及頻譜變化6.3 6.3 抽取與插值相結合的采樣率轉換抽取與插值相結合的采樣率轉換非整數倍轉換非整數倍轉換對給定的信號對給定的信號 x(n)x(n)，若希望將采樣率，若希望將采樣率轉變轉變 L/ML/M 倍，可以按以上兩節討論的方倍，可以按以上兩節討論的方法，先將法，先將 x(n)x(n

22、)作作 M M 倍的抽取，再作倍的抽取，再作 L L 倍倍的插值來實現，或是先作的插值來實現，或是先作 L L 倍的插值，再倍的插值，再作作 M M 倍的抽取。一般來說，抽取使倍的抽取。一般來說，抽取使 x(n)x(n)的數據點減少，會產生信息的嚴重丟失，的數據點減少，會產生信息的嚴重丟失，因此，合理的方法是先對信號作插值，然因此，合理的方法是先對信號作插值，然后再抽取，如圖后再抽取，如圖 6.6.3.13.1 所示。所示。 圖圖6.3.1 6.3.1 插值和抽取的級聯實現插值和抽取的級聯實現a a運用運用2 2個低通濾波器個低通濾波器 b b運用運用1 1個低通濾波器個低通濾波器圖圖中中插插

23、值值和和抽抽取取工工作作在在級級聯聯狀狀態態。圖圖（a a）中中濾濾波波器器)(),(21nhnh所所處處理理的的信信號號的的采采樣樣率率都都是是 L Lf fs s，因因此此可可以以將將它它們們合合起起來來變變成成一一個個濾濾波波器器， 如如圖圖 ( (b b) )所所示示。令令 0min,()0vvjLH eL M其它 ( (6 6. .1 16 6) ) 式式中中 LLffffxsvv/2/2 ( (6 6. .1 17 7) ) 圖圖 6.3.1 6.3.1( (b b) )中各部分信號間的關系中各部分信號間的關系:(:(參考參考) ) ( (6.116.11) )式已給出了式已給出了

24、 x(m)x(m)和和 v v(m)(m)間的關系，即間的關系，即 0, 2 ,(/ )( )0mLLx m Lv m其它(6.18)(6.18) 又由于又由于 knvnmhmhmvmu)()()(*)()( kkxLkmh)()( ( (6 6.19).19) n=Lk n=Lk 再由（再由（6. 66. 6）式所給出的抽取器的基本關系，最后）式所給出的抽取器的基本關系，最后得到得到)(my和和)(mx之間的關系，即之間的關系，即 kkxLkMmhMmumy)()()()( （6.6.2020） 令令 nLmMk （6 6.21.21） 式中運算式中運算 表示求小于或等于表示求小于或等于 p

25、的最大整數，這的最大整數，這樣， （樣， （6.206.20）式可寫成）式可寫成 nnLMmxnLLLMmMmhmy)()()( （6 6.22.22） 由由于于 LMmLMmLLMmMm)mod(我我們們可可最最后后得得到到)(my和和)(mx之之間間關關系系的的表表達達式式： nLnLMmxMmnLhmy)()()( ( (6 6. .2 23 3) )現現在在，我我們們來來分分析析)(mx和和)(my頻頻域域之之間間的的關關系系。綜綜合合前前兩兩節節抽抽取取與與插插值值的的基基本本關關系系，并并參參照照（6 6. .7 7）式式至至（6 6. .1 13 3）式式，有有)()()()()

26、(vvvvvjLjjjjeXeHeVeHeU 其它0),min(0)(LMeLXvjLv ( (6 6. .2 24 4) )及及 10/)2()(1)(MkMkjjyyeUMeY )()(1/)2(10/)2(MkjLMkMkjyyeXeHM式式中中 LMMxvy （6 6. .2 25 5）再再由由( (6 6. .1 10 0) )式式及及（6 6. .1 15 5）式式，有有其它0)/,min(0)()(/LMeXMLeYyMjLjyy （6 6. .2 26 6）由由（6 6. .2 23 3）式式可可以以看看出出，)(ny可可以以看看作作是是將將)(nx通通過過一一個個時時變變濾濾

27、波波器器所所得得到到的的輸輸出出。記記該該時時變變系系統統的的單單位位抽抽樣樣響響應應為為),(mng，即即mnMmnLhmngL,)(),( （6 6. .2 27 7）因因為為 )(),(LkMLMmnLhkLmng )(LMmnLh所所以以),(mng是是以以變變量量m為為周周期期，周周期期為為 L L。6.4 6.4 有限長序列的采樣率轉換有限長序列的采樣率轉換離散傅立葉變換的運用離散傅立葉變換的運用從前面的討論，我們知道，在頻域，從前面的討論，我們知道，在頻域，采樣率采樣率轉換前后傅立葉變換的差別只是頻譜的展寬和轉換前后傅立葉變換的差別只是頻譜的展寬和壓縮， 且展寬部分均為壓縮， 且

28、展寬部分均為 0 0 分量， 而壓縮掉的部分分量， 而壓縮掉的部分本來就要去除。本來就要去除。 由此， 當需要作由此， 當需要作 M M 倍升采樣率處理時， 我們倍升采樣率處理時， 我們可以首先將可以首先將 N N 點有限長序列作離散傅立葉變換，點有限長序列作離散傅立葉變換，然后在數字頻率然后在數字頻率處補處補(M(M- -1)N1)N 個零，最后對補個零，最后對補過零后的總長度為過零后的總長度為 MNMN 的離散譜作反傅立葉變的離散譜作反傅立葉變換，即可得內插換，即可得內插 M M 倍的有限長數字序列。倍的有限長數字序列。 同同樣樣， 當當需需要要作作 L L 倍倍降降采采樣樣率率處處理理時

29、時， 我我們們可可以以首首先先將將 N N 點點有有限限長長序序列列作作離離散散傅傅立立葉葉變變換換，然然后后壓壓縮縮頻頻譜譜，即即保保留留 0 0N N/ /( (2 2L L) )- -1 1 和和 N N- - N N/ /( (2 2L L) )N N- -1 1 處處的的頻頻譜譜，共共 N N/ /L L 點點頻頻譜譜，最最后后對對壓壓縮縮后后的的總總長長度度為為 N N/ /L L 的的離離散散譜譜作作反反傅傅立立葉葉變變換換， 即即可可得得 M M 倍倍抽抽取取后后的的有有限限長長數數字字序序列列。 因因 為為 有有 快快 速速 傅傅 立立 葉葉 變變 換換 方方 法法 ， 所所

30、 以以 這這 樣樣的的 處處 理理 是是 高高 效效 的的 。 另另 外外 ， 從從 處處 理理 過過 程程 看看 ，由由 于于 直直 接接 對對 頻頻 譜譜 進進 行行 擴擴 展展 和和 壓壓 縮縮 ， 沒沒 有有 引引入入 新新 的的 頻頻 率率 分分 量量 ， 所所 以以 ， 也也 不不 需需 要要 象象 前前 面面的的 處處 理理 那那 樣樣 增增 加加 抗抗 混混 疊疊 低低 通通 濾濾 波波 或或 去去映映 像像低低通通 濾濾 波波 處處 理理 ， 簡簡 化化 了了 處處 理理 過過 程程 。在在 采采 用用 相相 關關 法法 精精 確確 估估 計計 兩兩 個個 采采 樣樣 序序

31、列列 的的時時 延延 時時 ， 該該 方方 法法 尤尤 其其 有有 效效 。6.5 6.5 抽取與插值的抽取與插值的FIRFIR構造構造對給定信號對給定信號x(n)x(n)的變采樣率運算，無論是的變采樣率運算，無論是L L倍倍的插值還是的插值還是M M 倍的抽取，都需求一個數字低通倍的抽取，都需求一個數字低通濾波器，這個低通濾波器經常用濾波器，這個低通濾波器經常用FIRFIR濾波器來濾波器來實現。假設這個濾波器結合抽取和插值一同采實現。假設這個濾波器結合抽取和插值一同采用合理構造，那么可以大大提高計算效率。用合理構造，那么可以大大提高計算效率。6.5.1 6.5.1 抽取的抽取的FIRFIR構

32、造構造 再看前面的抽取公式，再看前面的抽取公式，該式實踐將低通濾波和抽取兩個過程一致同來處置，該式實踐將低通濾波和抽取兩個過程一致同來處置，由于由于x(n)x(n)中的非中的非M M整數倍點不需關懷，所以一致處置整數倍點不需關懷，所以一致處置時省略了對這些點的濾波處置，從而減少了運算量。時省略了對這些點的濾波處置，從而減少了運算量。( )( )( ) ()( ) ()kky mp mh k x nkh k x Mmk 通常取通常取N N是是M M的整數倍，假設令的整數倍，假設令k=Mq+i, i=0,1,M-1k=Mq+i, i=0,1,M-1q= 0,1,N/M-1q= 0,1,N/M-1，

33、那么可得到抽取器的多相濾波器，那么可得到抽取器的多相濾波器構造構造令令 hi(q)=h(qM+i), i=0,1,M-1;q= 0,1,N/M-1 hi(q)=h(qM+i), i=0,1,M-1;q= 0,1,N/M-1為多相濾波器各子濾波器的單位脈沖呼應，如為多相濾波器各子濾波器的單位脈沖呼應，如 h0(m)=h(0),h(M),h(mM),h(N-M) h0(m)=h(0),h(M),h(mM),h(N-M)；同樣令同樣令 xi(m)=x(mM-i), i=0,1,M-1; xi(m)=x(mM-i), i=0,1,M-1;令令k=qk=q，那么抽取器的輸出可寫成，那么抽取器的輸出可寫成

34、式中式中 為子濾波器的輸出，抽取器的多相濾波器構造如以下為子濾波器的輸出，抽取器的多相濾波器構造如以下圖圖 6.5.2 6.5.2 內插的內插的FIRFIR構造構造 為了能保證濾波器的延遲總是針對密采樣序列，為了能保證濾波器的延遲總是針對密采樣序列，對內插的低通濾波器采用轉置型構造，本來對內插的低通濾波器采用轉置型構造，本來x(n)x(n)插插0 0后再做濾波需求大量對后再做濾波需求大量對0 0的乘加運算，為此，將相乘的乘加運算，為此，將相乘的運算移到插的運算移到插0 0前，然后再延遲相加，使得運算效率前，然后再延遲相加，使得運算效率提高了提高了L L倍。倍。 同樣，假設取內插濾波器的長度同樣，假設取內插濾波器的長度N N是內插因子是內插因子L L的整數的整數倍，那么可