1、17-2 多元函數的概念、多元函數的概念、 極限和連續極限和連續 21.柱面柱面:復復 習習1 222222 czbyax2. 橢球面橢球面3. 橢圓錐面橢圓錐面 22222xyzab4. 橢圓拋物面橢圓拋物面2222xyzab5. 雙曲拋物面雙曲拋物面 2222xyzab3第二節多元函數的概念、極限和連續 第七七章 一、平面區域一、平面區域 二、多元函數的概念二、多元函數的概念 三、二元函數的極限三、二元函數的極限四、二元函數的連續性四、二元函數的連續性 4一、平面區域一、平面區域1.1.平面點集平面點集: :坐標平面上具有某種性質坐標平面上具有某種性質 P 的點的集合的點的集合, ,稱為平

2、面點集稱為平面點集. .如：如： ( , ) ( , )Ex yx yP 記記作作：具具有有性性質質 221( , )14Ex yxy 2( , )0,0Ex y xy oxyoxy425),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx：0P),(000yxP ),(000yxP 0P ),(0 PU： xyo 0P幾何意義：幾何意義：0(, )U P 表示表示xoy面上以面上以),(000yxP 不包括圓周上的點不包括圓周上的點.60Pxyo 0P00(, ),U P 記記作作：00(, )U P 則則：.)()(0),( 2020 yyxxyx 00|PPP 注意注意:

3、 (1)如果不強調鄰域的半徑如果不強調鄰域的半徑,0()U p則則用用表表示示, ,00()U p去去心心鄰鄰域域用用表表示示. .0(2) (, )U p 在在圓圓平平面面上上表表示示形形鄰鄰域域. . 0(, )( , ) U Px y 2200()()xxyy 即即0(, )U p 在在空空間間表表示示球球形形鄰鄰域域： ,0()( , , ) U Px y z 222000()()()xxyyzz 7在討論實際問題中也常使用方鄰域在討論實際問題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域為平面上的方鄰域為。0P因為方鄰域與圓因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. . 0U( ,)(

4、, ) Px y 0,x x 0y y 83. 內點和開集內點和開集設有點集設有點集 E 及一點及一點 P : 若存在點若存在點 P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E ,E則稱則稱 P 為為 E 的的內點；內點；pp 若存在點若存在點 P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = ,則稱則稱 P 為為 E 的的外點外點 ; 若點集若點集 E 的點都是的點都是內點，內點，則稱則稱 E 為為開集；開集；41),(221 yxyxE94. 邊界點與邊界邊界點與邊界設有點集設有點集 E 及一點及一點 P : 若對點若對點 P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) 既含既含 E中的內點也含中的內點也含 EE則稱則稱

5、P 為為 E 的的邊界點邊界點 .的外點的外點 ,顯然顯然, E 的內點必屬于的內點必屬于 E , E 的外點必不屬于的外點必不屬于 E , E 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . p E 的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 E 的的邊界邊界, 記作記作 E ;10D5. 開區域及閉區域開區域及閉區域 若集若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連的折線相連 , 開區域連同它的邊界一起稱為開區域連同它的邊界一起稱為閉區域閉區域.則稱則稱 D 是是連通的連通的 ; 連通的開集稱為連通的開集稱為開區域開區域 ,簡稱簡稱區域

6、區域 ;。 。例如，在平面上例如，在平面上開區域開區域 xyo ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy xyo2111閉區域閉區域 xyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 點集點集 是開集，是開集， 整個平面整個平面 是最大的開區域是最大的開區域 , 也是最大的閉區域；也是最大的閉區域；但非開區域但非開區域 .11oxy ( , )1x yx 12 對區域對區域 D , 若存在正數若存在正數 K , 使一切點使一切點 P D 與某定點與某定點 A 的距離的距離 AP K , 則稱則稱 D 為為有界區域有界區域 , 無無界區域界區域 .否則稱

7、為否則稱為6. 有界區域及無界區域有界區域及無界區域例如：例如：.41| ),(22 yxyxxyo0| ),( yxyxxyo137. n 維空間維空間n 元有序數組元有序數組的全體稱為的全體稱為 n 維空間維空間,L12(,)nx xx(1) n維空間的維空間的記號記號為為;nRKRR RRn KK12(,)R,1,2,nkx xxxkn n 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為空間中的稱為該點的第稱為該點的第 k 個個坐標坐標 .一個一個點點, 當所有坐標當所有坐標稱該元素為稱該元素為 nR中的零元中的零元,記作記作O . K12(,)nx xxkx數數0kx 時時，

8、(2) n維空間中維空間中兩點間距離公式兩點間距離公式 K12R( ,)nnxx xx 中中的的點點K12( ,)nyy yy 與與點點的的距離距離記作記作( , ),x yxy 或或規定為規定為 14(2) n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ設兩點為設兩點為2221122( , )()()()nnx yx yxyxyxy = =KK2221122|()()()nnPQxyxyxy 與零元與零元 O 的距離為的距離為K12R(,)nnxx xx 中中的的點點K22212nxxxx 特殊地當特殊地當 時，便為數軸、平面、時，便為數軸、平面、空

9、間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n注注: n維空間中鄰域、區域等概念維空間中鄰域、區域等概念也可類似定義也可類似定義15二、多元函數的概念二、多元函數的概念 1.定義定義 設設D是平面上的一個點集，是平面上的一個點集， 如果對于每個點如果對于每個點，DyxP ),(變量變量z按照一定的對應法則總有確定的值按照一定的對應法則總有確定的值和它對應，和它對應，則稱則稱z是變量是變量yx、的的二元函數，二元函數，類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元及三元以上函數D稱為定義域稱為定義域. 函數值記為：函數值記為：),(,00),(0000yxfzzyxyyxx .1)sin(2y

10、xyz )1 ,2( z記為：記為：),(yxfz （或記為（或記為 ）.)(Pfz 如如則則當當2 n時，時，n元函數統稱為多元函數元函數統稱為多元函數. 211)12sin( . 21 16 013222yxyx 22242yxyx222)3arcsin(),(yxyxyxf xoy., 42| ),(222yxyxyxD 17114 . 12222 yxyxz) 2ln( . 2 yxyxz 04 : . 122 yxD0122 yx 4122 yx0 . 2 yxD：02 yx xy 2 xyoyx2 y=x+2 y=x -2xyo12.41: ),(22 yxyx.2,: ),( x

11、yxyyx183.二元函數幾何意義二元函數幾何意義 一元函數的圖象是平面上的曲線一元函數的圖象是平面上的曲線,二元函數的圖二元函數的圖形則是三維空間的曲面形則是三維空間的曲面.如二元函數如二元函數 的圖形就的圖形就是拋物面是拋物面,因此因此,二元函數在幾何上表示三維空間的二元函數在幾何上表示三維空間的一張曲面一張曲面.22yxz oxyzSD),(yxfz 192222azyx .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 22yxz xyzoxyzo20三、將平面區域表示為不等式三、將平面區域表示為不等式-平行線穿越法平行線穿越法1.如果平面區域為：如果平面區域為：)(2xy

12、 abD)(1xy oDba)(2xy )(1xy o, bxa ).()(21xyx X型區域的特點型區域的特點：區域邊界相交不多于區域邊界相交不多于兩個兩個交點交點.穿過區域穿過區域且且平行于平行于y軸的直線軸的直線與與其中函數其中函數 、 在區間在區間a,b上上連續連續.)(1x )(2x X型型212.如果區域為：如果區域為：)(2yx )(1yx Dcdocd)(2yx )(1yx Do, dyc ).()(21yxy Y型型Y型區域的特點型區域的特點：區域邊界相交區域邊界相交不多于兩個交點不多于兩個交點.穿過區域穿過區域且且平行于平行于x軸的直線軸的直線與與想得到想得到X-型區域型

13、區域時，時， 就就把區域投影在把區域投影在x軸軸上；上；想得到想得到Y-型區域型區域時，時， 就就把區域投影在把區域投影在y軸軸上上.一般地一般地:稱這種判斷區域類型的方法為：稱這種判斷區域類型的方法為：平行線穿越法平行線穿越法22, bxa dyc ，321DDDD 1D3D2D321DDD、xoyDcadb23例例3 .用不等式組表示平面區域用不等式組表示平面區域D，其中，其中2:(1)1,2,2.Dyxxyx 圍圍成成解解oxy作圖，作圖，:D則則212.21xyxx 122(2)1,(1) ,1.yx yxy 圍圍成成21yx 2xy 2x 24例例4 .用不等式組表示平面區域用不等式

14、組表示平面區域D，其中，其中2:(2)1,(1) ,1.Dyx yxy 圍圍成成oxy1yx 2(1)yx 1y 解解作圖作圖:D則則01.11yyxy 反過來反過來,給出平面區域給出平面區域D,會作出圖形會作出圖形.2522: 24-,Dxxyx 作出作出D的圖形的圖形.解解22,0yxxx 24-yx 0.y oxy22(1)1,xy ( , )sin ,(4,)(,).2f x yxyff xy xy 求求、解解(4,)2f 4sin2 2，(,)f xy xy ()sin().xyxy 224xy 263(1)( ).zyfxyzxf xz 并并且且1 1時時, , ,求求及及解解3(

15、1):yzxzyfx 將將1 1時時, ,代代入入得得3(1)1,fxx 31,xt 令令3(1) ,xt 3( )(1)1f tt 3233 ,ttt ( )f x 3233 ,xxx 3(1)1,fxx 又又3(1)zyfx 1.yx 27小結小結1.平面點集、平面點集、n維空間相關概念維空間相關概念鄰域鄰域0(, )U P .)()(| ),(2020 yyxxyx2.二元函數的概念二元函數的概念 3.會求函數的定義域及函數值會求函數的定義域及函數值.4.會用不等式組表示平面區域會用不等式組表示平面區域.5.得到得到X-型區域、型區域、 Y-型區域的型區域的一般方法：一般方法：(1)想得到想得到X-型區域型區域時，時，就就把區域投影在把區域投影在x軸軸上；上；(2)想得到想得到Y-型區域型區域時，時，就就把區域投影在把區域投影在y軸軸上上.286.判斷區域類型的方法是：判斷區域類型的方法是：將將D投影到投影到x軸上，軸上，若投影區間為若投影區間為a,b,則則; bxa 用一組用一組平行于平行于y軸軸且且與與y軸同方向的直線軸同方向的直線穿越穿越D， 入口入口線線