1、空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算1、向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。 表示方法：用有向線段表示。 規(guī)定：同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。aboAaBbbBO Aaab留意：空間任意兩個留意：空間任意兩個向量一定是共面向量向量一定是共面向量或共線向量或共線向量2、加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算: OB=OA+AB= a + b BA=OA OB= a + b OP= a (R)4、平行六面體：平行四邊形ABCD 平移向量a到ABCD的軌跡所 形成的幾何體,叫做平行六面體。ABCCDABDa3、運(yùn)算律：、運(yùn)算律： 加法交換律：加法交換律：a + b = b

2、+a 加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：( a + b )+c = a +( b +c) 數(shù)乘分配律：數(shù)乘分配律：（a +b）=a +bADADCBBCMG例例1 已知平行六面體已知平行六面體ABCDABCD ， 化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡 結(jié)果的向量：結(jié)果的向量： （1AB + BC （2AB + AD +AA （3） (AB + AD +AA) （4AB + AD + CC2131留意：留意：1、a / b時，時，a ，b所在直線既可能是平行直線也可能是同一條所在直線既可能是平行直線也可能是同一條 直線。直線。2、a 與與 b共線時，共線時， a ，b所在直線既可能

3、是平行直線也可能是同所在直線既可能是平行直線也可能是同 一條一條ab1、共線向量或平行向量：表示空間向量的有向線段所在的直、共線向量或平行向量：表示空間向量的有向線段所在的直 線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。 a 平行于平行于 b 記作記作 a / bab共線向量與共面向量共線向量與共面向量2、共線向量定理：對空間任意兩個向量、共線向量定理：對空間任意兩個向量 a 、b （b0），）， a / b的充要條件是存在實(shí)數(shù)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使使 a = baAOBPl 3. 假設(shè)假設(shè) L為經(jīng)過已知點(diǎn)為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行與已知向

4、量且平行與已知向量a 的直線，那的直線，那 么對任一點(diǎn)么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)，點(diǎn)P在直線在直線L上充要條件是存在實(shí)數(shù)上充要條件是存在實(shí)數(shù) t ， 滿足等式滿足等式 OP=OA + t a （1） 其中其中 a 叫做直線叫做直線L的方向向量。的方向向量。 OP =（1 t ）OA + t OB （2） 當(dāng)當(dāng) t = 時，點(diǎn)時，點(diǎn)P 是線段是線段AB的中點(diǎn)，那么的中點(diǎn)，那么 OP= （OA+OB）-線段線段AB的中點(diǎn)公式的中點(diǎn)公式 （1和和2叫做空間直線的向量參數(shù)方程叫做空間直線的向量參數(shù)方程 作用：解決三點(diǎn)共線問題作用：解決三點(diǎn)共線問題 12124. 向量與平面平行：已知平面向量與平面平行：已知平面內(nèi)

5、的向量內(nèi)的向量a，作，作OA= a ，如，如 果直線果直線OA平行于平面平行于平面或在或在內(nèi)，那么我們就說向量內(nèi)，那么我們就說向量 a 平平 行于平面行于平面 。 記作記作 a /5. 共面向量：通常我們把平行于同一共面向量：通常我們把平行于同一 平面的向量，叫平面的向量，叫 做共面向量。做共面向量。aaOA6. 共面向量定理共面向量定理; 如果兩個向量如果兩個向量 a, b 不共線，則向量不共線，則向量 p 與向量與向量a , b 共面的充要共面的充要 條件是存在實(shí)數(shù)對條件是存在實(shí)數(shù)對x ,y，使，使 p = x a + y b.共面向量定理的推論：共面向量定理的推論： 空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P 位于平面位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崈?nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對數(shù)對 x ,y，使，使 MP = xMA + yMB ,或?qū)臻g任一定點(diǎn)或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有，有 OP = OM + xMA + yMB .作用：解決四點(diǎn)共面問題作用：解決四點(diǎn)共面問題對空間任一點(diǎn)對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，問滿足向，問滿足向 量式量式 OP = xOA + yOB + ZOC （其中（其中 x + y + z = 1) 的四個點(diǎn)的四個點(diǎn)P、A、B、C 是否共面？是否共面？ 2.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外