1、第二講 因式分解 ( 二 )1雙十字相乘法分解二次三項式時， 我們常用十字相乘法 對于某些二元二次六項式(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 我們將上式按 x 降冪排列，并把 y 當作常數，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3) ，可以看作是關于 x 的二次三項式對于常數項而言，它是關于 y 的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對關于x 的二次三項式分解所以原式 =x+(2y-3) 2x+(-

2、11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程， 實施了兩次十字相乘法 如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2 ；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 進行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖 ( 有兩列 ) ；(2) 把常數項 f 分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的

3、十字交叉之積的和等于原式中的 ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式 =(x+y+1)(x-y+4)(3) 原式中缺 x2 項，可把這一項的系數看成 0 來分解原式 =(y+1)(x+y-2)(4)原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4) 中有三個字母，解法仍與前面的類似2求根法n+an-1+ +a x+

4、a (n 為非負整數 ) 的代數式稱為關于 x我們把形如 a xxnn-110的一元多項式，并用f(x) ，g(x)， 等記號表示，如f(x)=x 2-3x+2 ， g(x)=x 5+x2+6， ，當 x=a 時，多項式 f(x) 的值用 f(a) 表示如對上面的多項式 f(x) f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3 ×(-2)+2=12 若 f(a)=0 ，則稱 a 為多項式 f(x) 的一個根定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多項式 f(x) 的根，即 f(a)=0 成立，則多項式 f(x) 有一個因式 x-a 根據因式定理，找出一元多

5、項式 f(x) 的一次因式的關鍵是求多項式 f(x) 的根對于任意多項式 f(x) ，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式 f(x) 的系數都是整數時，即整系數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根定理 2的根，則必有 p 是 a0 的約數， q 是 an 的約數特別地，當 a0=1 時，整系數多項式 f(x) 的整數根均為 an 的約數我們根據上述定理， 用求多項式的根來確定多項式的一次因式， 從而對多項式進行因式分解例 2 分解因式： x3-4x 2 +6x-4 分析 這是一個整系數一元多項式， 原式若有整數根，必是 -4 的約數，逐個檢驗 -4 的約數：± 1，&

6、#177; 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22 +6×2-4=0，即 x=2 是原式的一個根，所以根據定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 原式 =(x 3-2x 2)-(2x 2 -4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2) 解法 2 用多項式除法，將原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 說明 在上述解法中， 特別要注意的是多項式的有理根一定是 -4 的約數，反之不成立，即 -4 的約數不一定是多項式的根因此，必須對 -4 的約數逐

7、個代入多項式進行驗證例 3 分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 分析 因為 9 的約數有± 1，± 3，± 9；-2 的約數有± 1，±為：所以，原式有因式9x2-3x-2 解 9x 4-3x 3+7x2-3x-2=9x4-3x 3 -2x 2+9x2-3x-2=x2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2=(9x 2-3x-2)(x2 +1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數多項式有分數根，可將所得出的含有分數的因式化為整系數因式，如上題中的因式可以化為 9x2-3x-2 ，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次

8、多項式f(x) ，如果能找到一個一次因式(x-a) ，那么 f(x) 就可以分解為 (x-a)g(x) ，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續對 g(x) 進行分解了3待定系數法待定系數法是數學中的一種重要的解題方法， 應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用在因式分解時， 一些多項式經過分析， 可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定， 這時可以用一些字母來表示待定的系數由于該多項式等于這幾個因式的乘積， 根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等， 或取多項式中原有字母的幾個特殊值， 列出關于待定系數的方程 ( 或方程組 ) ，解出

9、待定字母系數的值， 這種因式分解的方法叫作待定系數法例 4 分解因式： x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式， 那么它的兩個一次項一定是 x+2y+m和 x y n 的形式，應用待定系數法即可求出 m和 n，使問題得到解決解 設x2+3xy+2y2 +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數，則有解之得 m=3，n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1) 說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下例 5 分解因式： x

10、4-2x 3 -27x 2-44x+7 分析 本題所給的是一元整系數多項式，根據前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是± 1，±7(7 的約數 ) ，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數集內，原式沒有一次因式如果原式能分解，只能分解為 (x 2+ax+b)(x 2+cx+d) 的形式解 設原式 =(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2 +(ad+bc)x+bd ，所以有由 bd=7，先考慮 b=1，d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x 2+5x+7) 說明 由于因式分解的唯一性，所以對 b=-1， d=-7 等可以不加以考慮本題如果 b=1， d=7 代入方程組后，無法確定 a， c 的值，就必須將 bd=7 的其他解代入方程組，直到求出待定系數為止本題沒有一次因式， 因而無法運用求根法分解因式 但利用待定系數法，使我們找到了二次因式 由此可見，待定系數法在因式分解中也有用武之地練習二1用雙十字相乘法分解因式：(1)x 2-8xy+15y 2+2x-4y-3 ；(2)x 2-xy