1、高中數(shù)學數(shù)列基本題型及解法例2 .已知數(shù)列設(shè)數(shù)列|an 中，Sn 是其前 n 項和，并且 Sn 1 4a0 2(n 1,2,L),a1 1,設(shè)數(shù)列求數(shù)列bnCnanan 1 2an(n茅（n 1,2,的通項公式及前1,2,），求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列;），求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列;n項和。分析：由于b口和仁n中的項都和an中的項有關(guān)，an中又有Sn1=4an+2,可由Sn2-Sn1作切入點探索解題的途徑.解：（1）由 Sn 1=4an 2據(jù)bn的構(gòu)造，如何把該式表示成二4an；b1 +2,兩式相減，得 Sn 2 -S n 1 =4(a n 1-a n ),即 a n 2 =4an1 -4an

2、1與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓練n.（根an2-2an1=2(ani-2an),又bn=an1-2an,所以bni=2bn已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3由和得，數(shù)列bn是首項為3,公比為2的等比數(shù)列，故bn=32n1因為、=:£助所以叫2n-32m+1=4'又"故數(shù)列%是首項為j公差是;的等差數(shù)列.WWW3 1=-ri-.4 4（3）因為,=板，又=亍口q所以蓑二年一3，%=（3nJ）,2哈,當n>2時，Sn=4an1+2=2n1（3n-4）+2;當n=1時，S1=a1二1也適

3、合上式.綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n1（3n-4）+2.說明：1.本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn14an2得出遞推公式。2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用.1一例3.設(shè)數(shù)列an的前項的和Sn二（an-1）（nN+）,（1）求a1；a2；（2）求證數(shù)列an為等比數(shù)列。3解：（I ）由S1，、一1 .1 一1)，得 a1一(a1 1) a1 又 S2321，八r一（a21），即 a13a2*231),得a2(n )當 n>1 時，an11Sn

4、Sn1"(an1)一11),33ran111,j,得口-,所以an是首項一,公比為一的等比數(shù)列an1222例4、設(shè)ai=i,a2=,an+2=an+1-33nan的前n項的和Sn。2an(n=1,2,-),令bn=an+1-an(n=1,2-)求數(shù)列bn的通項公式,3(2)求數(shù)列解：(I)因bn1an2an123anan12一故bn是公比為2的等比數(shù)列，且3bia2I.故bn守(n1,2,)(II)由bnOn得an1a1(an1an)(anan(a2ai)記數(shù)列Tn12|兩式相減得(“21(3)n1,可得n2n13n3Tn故Tn91從而Sna12n,E(n31,2,的前n項和為12T

5、Tn,(2)n33(守3n(|)32a2例6.數(shù)列an中，a1求數(shù)列設(shè)設(shè)解：(1)由題意得(手/2、nn(二)3/2、n12、n(-)n(-)33(3n)2nLnan3(18,a42且滿足an的通項公式;Sn|a111a211bn=n(12(nNan),均有Tn由題意，an283d31(針2、nn(-),33n1an2|anL求Sn；*),Tnb1b2n)2Tn3n(n21)-182an1anbn(n),是否存在最大的整數(shù)m,使得對任m成立？若存在，求出m的值；若不存在,請說明理由。322andan(2)若102n0則n81an)an85日t,Snan為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,2(n1)102n

6、.a1a2L102nann6時，Sn故Sn9na1S52na2(Sn2a5n9na6a7S5)2s5Snn5ann29n40、n29n40n 6bnTn1n(12an)11-(1-)<221(212n(n13)1)1(31214)n11Jn2(n1)若Tnm對任意n32成立,*1(nN)的取小值是一，2n1m16對任意16*N成立,1，一1,m的最大整數(shù)值是27。即存在最大整數(shù)m7,使對任意n,均有Tn說明：本例復習數(shù)列通項,32數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。, a2 a13，常用方法觀察法例1 ：根據(jù)數(shù)列的前4項,寫出它的一個通項公式:(1)9, 99,999,9999,(2

7、)12,25,(3)1,3解:(1)變形為:2一,5101 1(4)23,通項公式為:ann10 1102 11031,3義104,5104-1,4史,17an2n2;>n 1(3)2 n 1,(4) an(1)n觀察各項的特點,關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系。例2 :已知數(shù)列數(shù) f (x) = (x 1)2,且二、定義法q的(qC R且qw1)的等比數(shù)列，若函an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為a1=f(d1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q1),(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；.d=2. b3_ b1解：(1).a1=f(d-1)=(d2)2,a3=f(d

8、+1)=d2,-1a3a1=d2(d2)2=2d,1-an=a1+(n-1)d=2(n1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q1)=(q2)2,(qJ)=q2,由qCR,且qw1,得q=2,qbn=b-qn1=4-(-2)n1當已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。疊加法例3:已知數(shù)列6,9,14,21,30,求此數(shù)列的一個通項。解易知anan12n1,a3a25,a4a37,anani2n1,各式相加得ana13572(2n1)ann5(nN)一般地，對于型如an1an宜采用此方法求解。四、疊乘法例4：在數(shù)列an中，a1=1,f(n)類

9、的通項公式，只要f(1)f(2)(n+1)ani=nan,求an的表達式。f(n)能進行求和，則解：由(n+1)-an1=n/日anan仔一an包=曳曳a±a1a1a2a3an123n11=-an1234nn所以an般地，對于型如an1=f(n)an類的通項公式，當f(1)1nf(2)f(n)的值可以求得時，宜采用此方法。五、公式法若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項an可用公式SnanSnSn求解。例5：已知下列兩數(shù)列an的前n項和Sn的公式，求an的通項公式。(1)Snn3n1。(2)Snn21解：(1)a1s111133an=SnSn1=(nn1)(n1)(n

10、1)1=3n23n2此時，a2S10an=3n23n2為所求數(shù)列的通項公式。(2)&s0,當n2時anSnSn1(n21)(n1)212n1由于現(xiàn)不適合于此等式0(n1)2n1(n2)注意要先分n=1和n2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)例6.設(shè)數(shù)列an的首項為a1=1,前n項和Sn滿足關(guān)系3tSn(2t3)Sn13t(t0,n2,3,4,)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列。解析：因為3tSn(2t3)Sn13t(t0,n2,3,4,)所以3tSn1(2t3)Sn23t(t0,n2,3,4,(1)得:3t(SnSn1)(2t3)(Sn13tan(2t3)an1anan1Sn2)2t3t0(

11、t3(n0,n2,n2,3,4,N)所以，數(shù)列列。六、an是等比數(shù)階差法例7.已知數(shù)列an的前n項和Sn與an的關(guān)系是Snban1求出用n和b表示的1苴中n，八1(1b)an的關(guān)系式。b是與n無關(guān)的常數(shù)，且1。解析：首先由公式:anSnSnSn1得:2anaianbanb1b2(1b)2ban1b1()2ab1(1n2a2(b)3ab1(n2)b2(b1)n1b3(b1)n1bn1(b1)n1bb2bn(b1)n1(bb(bn11)n1bn1bb2an(1b)n1bnn2n1bbn1(1b)(1b)n1利用階差法要注意：遞推公式中某一項的下標與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為n。七、待定系數(shù)法ci

12、=2 , C2=4, C3=7, C4=12,求通例8：設(shè)數(shù)列g(shù)的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和，若項公式Cn解：設(shè)cna(n1)dbqn1ab2q2adbq4d1n12Cnn2n1a2dbq27b1a3dbq312a1點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列an為等差數(shù)列：則an bn c, snbn2cn（b、c為常數(shù)），若數(shù)列an為等比數(shù)列，則anAqn1,SnAqnA(Aq0,q1)。輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個數(shù)列求其通項公式。例9.在數(shù)列an

13、中，a1an 21 七-an，求 an。3解析：在an n2 an 131-an兩邊減去 n3得an 2an 11-(an 1 an)31an是以a2a11為首項,1 ，一為公比的等比數(shù)列,3, , an 1an (-）n1,由累加法得 3an = (anan 1)(an 1an 2)a1)a1二（3)/1 n 3(-)(33)11 1=-1、n13)13=41(¥1 13(1)n143例10. （2003年全國高考題）a0為常數(shù)，且an3n12an 1 ( n N ),證明：X任意n>1, an13n (51 ) 2n(1)nn2 a0證明：設(shè)，an t 3n2(an 1 t

14、3n 1)n1用an32an1代入可得t3nan -5是公比為2 ,首項為ai-的等比數(shù)歹U,53nan 5(1 2a03) ( 2)n1 (n5*N ),3n (即：an 3(n 1 n1)25(1)n 2n a。型如an+1=pan+f(n)(p為常數(shù)且pw。，pw1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.(1)f(n)=q(q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k),得an+k是以a1+k為首項，p為公比的等比數(shù)歹U。例11：已知數(shù)an的遞推關(guān)系為an12an1,且a,1求通項an。n1n1nn.bnbq即an1(a11)q2/.an21an例12：已知數(shù)列an中a11且an1一n(nN)，,求數(shù)

15、列的通項公式。an111bn1(n1)nan一bnn3a例13.(07全國卷n理21)設(shè)數(shù)列an的首項a(0,1),an3an1,n2,3,4,2(1)求an的通項公式;3a,解：(1)由an3an1,n2,3,4,，2jm1整理得1an-(1an1).21又1a10,所以1%是首項為1a1，公比為一的等比數(shù)列，得2n11an1(1a1)-2注：一般地，對遞推關(guān)系式q是特征方程 x=px+q的1 pa一a-pU 1 ,令bn=-n ,可轉(zhuǎn)化qqan+1=pan+q(p、q為常數(shù)且，pw0,pw)可等價地改寫成an 1p(an-q)則an-q成等比數(shù)列，實際上，這里的1p1p根。一a彳(2)f(

16、n)為等比數(shù)列，如f(n)=qn(q為常數(shù))，兩邊同除以qn,得q卑q為bn+1=pbn+q的形式。例14.已知數(shù)列an中，a1=5,an+1=1an+(1)n+1,求an的通項公式。632解：an+1=1an+(1)n+1乘以2n+1得2n+1易得bn=4(2)n1332an=3nf(n)為等差數(shù)列例15.已知已知數(shù)列an中，ai=1,4an=一31an+1=.2(2nan)+1令bn=2nan則3(-)n133bn+1=bn+13an+i+an=3+2n,求an的通項公式。解：an+1+an=3+2n,an+2+an+1=3+2(n+1),兩式相減得an+2-an=2因此得，a2n+i=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),an=n,n是奇數(shù)n2,n是偶數(shù)注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點與難點內(nèi)容，要理解掌握。(4)f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例16.(07天津卷理)在數(shù)列an中，a12,an1an(2)2n(nN),其中0.(I)求數(shù)列an的通項公式;解：由anan(